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求通项公式的几种方法


第四节:求通项公式的几种方法
一、由 ?an ? 的前 n 项和 Sn 与 an 间的关系,求通项
例1 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

习题
1、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方 程 x2-5x+6=0 的根.
?an? (1)求{an}的通项公式;(2)求数列?2n?的前 n 项和. ? ?

? 3 n2 ? n(n ? N? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式.
2

解:当 n ? 1 时, a1 当 n ≥ 2 时, an

? S1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ;

? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? n ? 3(n ? 1)2 ? n ? 1 ? 6n ? 4 .

此式对 n ? 1 也适用.

? an ? 6n ? 4(n ? N? ) .
点评:利用数列的前 n 项和 S n 求数列的通项公式 a n 时,要注意 a1 是否也满足
an ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2) 得出的表达式,若不满足,数列的通项公式就要用分段形式写出.

二、利用递推关系,求通项公式 例 4 根据下列条件,求数列的通项公式 an (n ? N? ) . (1) 数列 ?an ? 中, a1 (2) 数列 ?an ? 中, a1

2.(2013 课标全国Ⅰ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5.

?1 ,an ?1 ? an ? 3n ;
? 1,an ?1 ? 2an ? 1 .

? ? 1 ? ? 的前 n 项和. (1)求{an}的通项公式;(2)求数列 a a ? 2 n?1 2 n?1 ?

(3)数列 ?an ? 中,

a1 ? 1 ,an?1 ? 2an ? 1

3(2013 课标全国 2,文 17)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且
a1 , a11 , a13 成等比数列。

5.(2010 课标全国Ⅰ)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n?2 ;

4. (2011 课标全国Ⅰ,文 17)已知等比数列 {a} 中, a2 ? ,公比 q ? 。 (I) Sn 为 {a} 的前 n 项和,证明: S n ?

1 3

1 3

1 n ?1 6.(2009 全国卷Ⅰ理)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? n n 2
(I)设 bn ?

1 ? an 2

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ,求数列 bn 的通项公式。

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn


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