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6.正方体认识


高考数学母题规划,助你考入清华北大!杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生! 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-06):正方体认识(320) 807 正方体认识 [母题]Ⅰ(14-06): (2001 年安徽春招试题)右图是正方体的平面展开图, 在这个正方体中,①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60? 角;④DM 与 BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( (A)①②③ (B)②④ (C)③④ ) (D)②③④ N E D A B F C M [解析]:以正方形 ABCD 为下底面还原正方体如图: 由图知,BM 与 ED 不平行,①错误;CN∥BE ? CN 与 BE 不是异面直线 ? ②错误;由 BM∥AN,且△ACN 是正三 角形 ? CN 与 BM 所成的角=CN 与 AN 所成的角=∠ACN =60 ? ③正确;由 DM⊥CN,DM⊥BC ? DM⊥平面 BCN ? DM⊥BN ? ④正确.故选(C). 0 [点评]:正方体是简单、常见的也是重要的几何体,依托正方体为载体,可以设计很多灵活多变,富有思维量的高考试题, 正方体是生成高考试题的重要“母体”. [子题](1): (2008 年全国高中数学联赛试题)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564cm2,则这 三个正方体的体积之和为( 3 3 (A)764cm 或 586cm 2 2 2 ) (B)764cm 3 (C)586cm 或 564cm 3 3 (D)586cm 3 [解析]:设这三个正方体的棱长分别为 a,b,c,则有 6(a2+b2+c2)=564 ? a2+b2+c2=94.不妨设 1≤a≤b≤c<10,从而 3c2≥a2+ b +c =94 ? c >31,故 6≤c<10,c 只能取 9,8,7,6. 若 c=9,则 a +b =13,得一组解(a,b,c)=(2,3,9);若 c=8,则 a +b =30,此时无解;若 c=7,则 a +b =45,得一组解(a,b,c)= (3,6,7);若 c=6,则 a +b =58,此时无解;体积为 V=2 +3 +9 =764cm 或 3 +6 +7 =586cm . 2 3 注:对正方体的认识源于基本的数量关系:棱长为 a 的正方体的表面积 S=6a ,体积 V=a ,面的对角线长= 2 a,体的对角 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 线长= 3 a. [子题](2): (2009 年全国Ⅱ高考试题)纸制的正方体的六个面根据其方位 分别标记为上、下、东、南、西、北.现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、 外面朝上展平,得到右侧的平面图,则标“△”的面的方位是( (A)南 (B)北 (C)西 (D)下 ) △ 上 东 [解析]:还原该正方体,由其方位的对称性知,标“△”的下面为“下”,“下” 与“上”之间为“西”,由上北下南 ? “△”的面为“北”.故选(B). 注:正方体的侧面展开共有 11 种不同的方式,其逆向问题:“给出正方体的一种侧面展开图,研讨正方体的相关问题” 是高考试题的一种生成方式,解决问题的基本方法为还原法,即由所给的正方体的侧面展开图,还原该正方体. [子题](3): (2010 年江西高考试题)如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列命题:①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都相交; ②过

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