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2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.3对数函数的图像和性质学业分层测评北师大版必修1

3.5.3 对数函数的图像和性质 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( ) ? 1 ? A.?- ,0? ? 2 ? ? 1 ? C.?- ,+∞? 2 ? ? 【解析】 由题意 ? 1 ? B.?- ,0? ? 2 ? D.(0.+∞) log 1 2 (2x+1)>0,则 0<2x+1<1, 1 解得- <x<0,故选 A. 2 【答案】 A 2. 如图 3?5?2 是三个对数函数的图像,则 a,b,c 的大小关系是( ) 图 3?5?2 A.a>b>c C.c>a>b 【解析】 令 y=1,如图所示. B.c>b>a D.a>c>b 则 b<c<1<a. 故选 D. 【答案】 D 3. 设 a=log54,b=(log53) ,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c 【解析】 ∵1=log55>log54>log53>log51=0, ∴1>a=log54>log53>b=(log53) . 2 2 ) B.b<c<a D.b<a<c 又∵c=log45>log44=1,∴c>a>b,故选 D. 【答案】 D 4. 函数 y=x·ln|x|的大致图像是( ) 【解析】 函数的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且 f(-x)=-xln|- x|=-xln x=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除选项 B.又当 0<x<1 时,f(x)<0,排除选项 A、C.故选 D. 【答案】 D ? ?log2x,x>0, 5. 已知函数 f(x)=? x ?3 ,x≤0, ? 直线 y=a 与函数 f(x)的图像恒有两个不同的交 点,则 a 的取值范围是( A.0<a≤1 C.0<a<1 ) B.0≤a<1 D.a<1 【解析】 作出函数 f(x)的图像如图所示, 若直线 y=a 与函数 f(x)的图像恒有两个不 同的交点,则 0<a≤1. 【答案】 A 二、填空题 1+x 1 6. 已知 f(x)=lg ,x∈(-1,1),若 f(a)= ,则 f(-a)=________. 1-x 2 1-x ?1+x?-1=-lg1+x=-f(x), 【解析】 ∵f(-x)=lg =lg? ? 1+x 1-x ?1-x? 1 ∴f(x)为奇函数,即 f(-a)=-f(a)=- . 2 1 【答案】 - 2 7. 不等式 log 3 (5+x)< 1 log 1 3 1 (1-x)的解集为________. 【解析】 因为函数 y= log 3 x 在(0,+∞)上是减函数, 5+x>1-x, ? ? 故?1-x>0, ? ?5+x>0, 【答案】 (-2,1) 解得-2<x<1. 8. 函数 y= log 2 (1-2x)的单调递增区间为________. 1? 1 ? 【解析】 令 u=1-2x,函数 u=1-2x 在区间?-∞, ?内递减,而 y= log 2 u 是减 2? ? 函数, 故函数 y= 1 log 1 2 ? 1? ? (1-2x)在?-∞, ?内递增. 2? ? 1? ? 【答案】 ?-∞, ? 2 ? 三、解答题 9 .比较下列各组中两个数的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ ,loga3.141. 【解】 (1)因为函数 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数,1.9<2, 故 log31.9<log32. (2)因为 log23>log22=1,log0.32<log0.31=0, 故 log23>log0.32. (3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,π >3.141,故 logaπ >loga3.141;当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数,π >3.141,故 logaπ <loga3.141. 10. 已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0 且 a≠1). (1)求函数的定义域和值域; (2)若函数 f(x)有最小值为-2,求 a 的值. 【导学号:04100065】 ? ?1-x>0, 【解】 (1)由? ?x+3>0 ? 得-3<x<1. ∴函数的定义域为{x|-3<x<1}, f(x)=loga(1-x)(x+3). 设 t=(1-x)(x+3)=4-(x+1) , ∴t≤4,又 t>0,则 0<t≤4. 当 a>1 时,y≤loga4,值域为(-∞,loga4]; 2 当 0<a<1 时,y≥loga4,值域为[loga4,+∞). (2)由题意及(1)知,当 0<a<1 时,函数有最小值, ∴loga4=-2, 1 ∴a= . 2 [能力提升] 1. 函数 f(x)=log2(x -ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤4 C.-4<a≤4 2 2 B.a≤2 D.-2≤a≤4 【解析】 ∵函数 f(x)=log2(x -ax+3a)在[2,+∞)上是增函数, ∴y=x -ax+3a 在[2,+∞)上是增函数且大于零, 2 a ? ? ≤2, 故有?2 ? ?4-2a+3a>0, 【答案】 C 2. 已知 f(x)=? 取值范围是( A.(0,1) ) 求得-4<a≤4,故选 C. ? ??3a-1?x+4a,x<1, ?logax,x≥1 ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的 ? 1? B.?0, ? ? 3? ?1 ? D.? ,1? ?7 ? ?1 1? C.? , ? ?7 3? 【解析】 ∵f(x)=logax(x≥1)是减函数, ∴0<a<1 且 f(1)=0. ∵f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)为减函数, 1 ∴3a-1<0,∴a< . 3 ??3a-1?x+4a,x<1, ? 又∵f(x)=?

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