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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第8章 平面解析几何 第1节]


[课堂练通考点] π 1.(2014· 云南检测)直线 x= 的倾斜角等于 ( 3 A.0 π C. 2 π π 解析:选 C 直线 x= ,知倾斜角为 . 3 2 2.直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 D.- 3 3 ) π B. 3 D.π )

C.- 3

sin 30° 3 解析:选 A 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos 150° 3 3.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)

解析:选 D 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 4.若过点 P(1-a,1+a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 ________. 2a-?1+a? a-1 解析:k=tan α= = . 3-?1-a? a+2 a-1 ∵α 为钝角,∴ <0,即(a-1)(a+2)<0,故-2<a<1. a+2 答案:(-2,1) 5.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方 程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6 4 解:(1)设直线 l 的方程为 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k

4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ? k+3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 1 (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b , 则直线 l 的方程是 y= x+b, 它在 x 轴上的截距是- 6 6b, 已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 3 C.- 2 ) 1 B.- 3 2 D. 3

解析: 选 B 设 P(xP,1), 由题意及中点坐标公式得 xP+7=2, 解得 xP=-5, 即 P(-5,1), 1 所以 k=- . 3 2.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

解析:选 A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将 a c a c 方程变形为 y=- x- .易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. b b b b 3.若实数 a,b 满足 a+2b=3,则直线 2ax-by-12=0 必过定点( A.(-2,8) C.(-2,-8) B.(2,8) D.(2,-8) )

解析:选 D a+2b=3?4a+8b-12=0,又 2ax-by-12=0,比较可知 x=2,y=-8 故选 D. 4.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 C.y=3x-3 1 B.y=- x+1 3 1 D.y= x+1 3 )

1 解析:选 A 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=- x,再向右平移 1 个 3 1 1 1 单位,所得直线的方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 5.(2014· 浙江诸暨质检)已知两点 M(2,-3),N(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线 段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( 3 A.k≥ 或 k≤-4 4 3 C. ≤k≤4 4 解析: 选 A 如图所示, ∵kPN= )

3 B.-4≤k≤ 4 3 D.- ≤k≤4 4 1-?-2? 3 1-?-3? = , kPM= =-4, 1-?-3? 4 1-2

∴要使直线 l 与线段 MN 相交,当 l 的倾斜角小于 90° 时,k≥kPN;当 l 3 的倾斜角大于 90° 时,k≤kPM,由已知得 k≥ 或 k≤-4,故选 A. 4 6.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=________. 解析:因为 kAB= 7-5 x-5 x-5 =2,kAC= =- . 4 4-3 -1-3 x-5 =2, 4

A,B,C 三点共线,所以 kAB=kAC,即- 解得 x=-3. 答案:-3

7.已知两点 A(0,1),B(1,0),若直线 y=k(x+1)与线段 AB 总有公共点,则 k 的取值范 围是________. 解析:y=k(x+1)是过定点 P(-1,0)的直线,kPB=0,kPA= ∴k 的取值范围是[0,1]. 答案:[0,1] 8.过点 M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________. 5 解析:(1)当过原点时,直线方程为 y=- x, 3 x y (2)当不过原点时,设直线方程为 + =1, a -a 即 x-y=a.代入点(-3,5),得 a=-8. 即直线方程为 x-y+8=0. 5 答案:y=- x 或 x-y+8=0 3 9.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; 1-0 =1. 0-?-1?

(2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

?

3 ? ,0 ∪(0, 3 ], 3 ?

1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? π π? ?π 2π? ∴α∈? ?6,2?∪?2, 3 ?. π 2π? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈? ?6, 3 ?. 10.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线 l 过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k -y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是[0,+∞). 1+2k 1+2k ? (3)依题意, 直线 l 在 x 轴上的截距为- , 在 y 轴上的截距为 1+2k, ∴A?- ,0 , k k ? ? B(0,1+2k). 1+2k 又- <0 且 1+2k>0,∴k>0. k 1 1 1+2k 故 S= |OA||OB|= × (1+2k) 2 2 k

1 1 1 4k+ +4?≥ (4+4)=4, = ? k ? 2 2? 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号. k 2 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 第Ⅱ组:重点选做题 π 1.(2014· 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by 4 +c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π? π 解析:选 D 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?2?,即-b 4 =a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135° . 2.已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时,直线 l1,l2 与 两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则 a=________. 解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 的纵截距为 2-a,直线 l2 的横截距 1?2 15 1 1 为 a2+2, 所以四边形的面积 S= ×2×(2-a)+ ×2×(a2+2)=a2-a+4=? 当 ?a-2? + 4 , 2 2 1 a= 时,面积最小. 2 1 答案: 2


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