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北京师大附中2011-2012学年高一数学上学期期中考试试题


北京市师大附中 2011-2012 学年上学期高一年级期中考试数学试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(模块卷) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 设全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6,7,8?,集合 S ? ? 1,3,5? , T ? ?3,6?,则 CU (S ? T ) 等于( ) A. ? B.

?2,4,7,8?

C. ? 1,3,5,6?

D. ?2,4,6,8?

2. 给定映射 f : ( x, y) ? ( x ? 2 y,2 x ? y) ,在映射 f 下(3,1)的原象为( ) A. (1,3) B. (1,1) C. (3,1) D. (

1 1 , ) 2 2

3. 下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是( )
1 1

A. y ? ? x 3 A. a ? b ? c

B. y ? x 4
0.3

C. y ? x 2 , c ? 0.3
0.2

D. y ? x ?2 D. c ? b ? a

4. 已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 5. 设函数 y ? x 3 与 y ? ( ) A. (0,1)

,则 a, b, c 三者的大小关系是( )

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

1 2

x?2

的图象的交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间是( ) C. (2,3)
x

B. (1,2)

D. (3,4)

6. 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的反函数,其图象经过点 ( a , a) , 则 f ( x) ? ( ) A. log2 x 7. 函数 f ( x) ? B. log 1 x
2

C.

1 2x

D. x

2

2x ? 5 ? x ? 5 10 ? x 2

( ) B. 是偶函数但不是奇函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数

A. 是奇函数但不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数

2 2 8. 已知实数 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,则 (a ? 1) ? (b ? 1) 的取值范围为( )

A. ? ,5? ?2 ?

?9 ?

B. ? ,?? ? ?2 ?

?9

?

C. ?0, ? 2

? 9? ? ?

D. ?0,5?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

1 8 ? ? ( ) ?2 ? ( ) 3 ? 2 27 10. 函数 y ? 2 ? log3 x 的定义域是
9. 27 3 ? 16
?

2

1 2

2

2 ) ,则 log2 f (2) ? 2 12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (?2) ?
11. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 13. 有下列命题: ①函数 y ? f (? x ? 2) 与 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称; ②若函数 f ( x ? 2010 ) ? x 2 ? 2x ? 1( x ? R) ,则函数 f ( x) 的最小值为-2;

1 2

-1-

③若函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上单调递增,则 f (?2) ? f (a ? 1) ; ④ 若 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 是 (??,??) 上 的 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ?loga x, ( x ? 1)


1 ( 0, ) 。其中正确命题的序号是 3

三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分。要求写出必要演算或推理过程。 14. 已知集合 A ? ?x | log2 (3 ? x) ? 2?,集合 B ? ? x |

? ?

2 ? ? 1? ,求 A ? B 。 x?2 ?

15. 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆 车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆, 租出的车每辆每月需维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
x 16. 已知: 2 ? 256且 log 2 x ?

1 , 2

(1)求 x 的取值范围; (2)求函数 f ( x) ? log2 ( ) ? log

x 2

2

(

x ) 的最大值和最小值。 2

第Ⅱ卷(综合卷) 四、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。 17. 若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ?0, m?,值域为 ??
2 2

? 25 ? ,?4? ,则 m 的取值范围是 ? 4 ?

18. 已知 a 是实数, 若函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a 在区间 ?? 1,1? 上恰好有一个零点, 则

a 的取值范围

2 19. 已知函数 y ? f ( x ? 4) 的定义域是 ?? 1,5? ,则函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为

五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分。要求写出必要演算或推理过程 20. 已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f (2) ? 1 。 (1)求 f (8) (2)求不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 的解集 21. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)判断 f ( x) 的单调性,并用单调性定义证明; (3) 若对任意的 t ? R , 不等式 f (t ? 2t ) ? f (?k ) ? 0 恒成立, 求实数 k 的取值范围。
2 2 22. 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象以 y 轴为对称轴,已知 a ? b ? 1 ,而且若点

b ? 2x 是奇函数 2x ? a

( x, y ) 在 y ? f ( x) 的图象上,则点 ( x, y 2 ? 1) 在函数 g ( x) ? f ( f ( x)) 的图象上 (1)求 g ( x) 的解析式

-2-

(2)设 F ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 F ( x) 在 (??,? 在 (?

2 ) 内是减函数, 2

2 ,0) 内是增函数。 2

【试题答案】
一、选择题 1-5 BBDCB 二、填空题 9. 3; 10. ?0,9? ; 11. 6-8 BAA

1 ; 12. 0; 13. ② 2

三、解答题 14. 解:由 log2 (3 ? x) ? 2 ? ? 则 ?1 ? x ? 3 ∴ A ? ?? 1,3?

?3 ? x ? 0 ?3 ? x ? 4

2 ? 1 ? ?2 ? x ? 0 x?2 ∴ B ? ?? 2,0? ∴ A ∩ B ? ?? 1,0?
由 15. 解: (1)当每辆车月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为 这时租出了 88 辆。

3600 ? 3000 ? 12 ,所以 50

x ? 3000 x ? 3000 )( x ? 150 ) ? ? 50 50 50 x2 1 ? 162x ? 21000? ? ( x ? 4050 ) 2 ? 307050 整理得: f ( x) ? ? 50 50 ) ? 307050元 ∴当 x ? 4050 时, f ( x) 最大,最大值为 f (4050 1 x 16. 解: (1)由 2 ? 256得 x ? 8 ,由 log 2 x ? 得 x ? 2 ∴ 2 ? x ? 8 2 f ( x) ? (100 ?

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则公司月收益为

-3-

(2)由(1) 2 ? x ? 8 得

1 ? log 2 x ? 3 2
2

x x f ( x) ? log2 ( ) ? log 2 ( ) ? (log2 x ? log2 2)(log 2 x ? log 2 2 3 2 1 ∴ f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) ? 。 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x ) min ? ? ,当 log2 x ? 3 , f ( x) max ? 2 2 4
四、填空题: 17. ? ,3? ; 18. 1 ? a ? 5 或 a ? ?2 ?

2)

?3 ?

?3? 7 ? 5 ? ; 19. ? ? ,10? 2 ? 2 ?

五、解答题: 20. 解: (1)由题意得 f (8) ? f (4 ? 2) ? f (4) ? f (2) ? f (2 ? 2) ? f (2)

? f (2) ? f (2) ? f (2) ? 3 f (2) 又∵ f (2) ? 1 ∴ f (8) ? 3 (2)不等式化为 f(x) ? f(x - 2) ? 3 ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (8) ? f (8x ? 16) ∴ f (8) ? 3 ∵ f ( x) 是 (0,??) 上的增函数 ?8( x ? 2) ? 0 16 ∴? 解得 2 ? x ? 7 ? x ? 8( x ? 2) b ?1 ? 0 ,∴ b ? 1 2 分 21. 解: (1)∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,∴ f (0) ? a ?1 1? 2x f ( x) ? , a ? 2x x x x x ∴ a ? 2 ? 1 ? a ? 2 即 a(2 ? 1) ? 2 ? 1 对一切实数 x 都成立, ∴ a ? 1∴ a ? b ? 1 1? 2x 2 ? ? 1 , f ( x) 在 R 上是减函数 (2) f ( x) ? x 1? 2 1? 2x 证明:设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2
则 ∵ x1 ? x 2 ,∴ 2
2

? 2 x1 , 1 ? 2 x1 ? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 R 上是减函数
x2

不等式 f (t ? 2t ) ? f (?k ) ? 0 ? f (t ? 2t ) ? f (k )
2

又 f ( x) 是 R 上的减函数,∴ t ? 2t ? k
2

∴ k ? t ? 2t ? ?2(t ? ) ?
2 2

1 4

1 对 t ? R 恒成立 8

∴k ?

1 8
2 2 2

22. 解(1) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? ( x ? 1) ? 1。
-4-

(2)由(1)可得 F ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? 2 ? ? 。

2 , 2 2 2 2 则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x12 ? x2 ? 2 ? ?)
设 x1 ? x 2 ? ?

2 2 ) 内为减函数,只需 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,但 x12 ? x2 ? 0 ,故只 2 2 2 2 2 要 x1 ) 时, ? x2 ? 2 ? ? ? 0 , 所 以 ? ? x12 ? x2 ? 2 , 然 而 当 x1 , x2 ? (??,? 2 ? 2? 2 ? 内是减函数。 ? ? , ? x12 ? x2 ? 2 ? 3 ,因此,我们只要 ? ? 3 , F ( x) 在 ? ? ? 2 ? ?
要使 F ( x) 在 (??,?

2 ,0) 内是增函数。 2 综上讨论,存在唯一的实数 ? ? 3 ,使得对应的 F ( x) 满足要求。
同理,当 ? ? 3 时, F ( x) 在 (?

-5-


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