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黄冈市2015年春季高一年级期末考试数学试题及答案


黄冈市 2015 年春季高一年级期末考试

数 学
黄冈市教育科学研究院命制

试 题
2015 年 6 月 29 日下午 2:00~4:00

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项:1.答题前请将密封线内的项目填写清楚。 2.请将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案统一填写在“答题卷”中,否则作零分处理。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是是符合 题目要求的) 1.已知各项均为正数的等比数列{an},a2=5,a8=10,则 a5= A.5 5 B.7 C.6 D.4 2

2.若 a,b,c 为实数,则下列命题正确的是 A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 C.若 a<b<0,则 < a b B.若 a<b<0,则 a2>ab>b2 b a D.若 a<b<0,则 > a b

3.已知直线 l1:x+2ay-1=0 与 l2:(2a-1)x-ay-1=0 平行,则 a 的值是 A.0 或 1 1 B.1 或 4 1 C.0 或 4 1 D. 4

x2-4x+8 4.已知 x>2,则函数y= 的最小值是 x-2 A.5 B.4 C.8 D.6
1 1 1
正(主)视图

1 1 1

1

1

5.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是 23 A. 3 22 B. 3 47 C. 6 D.7

侧(左)视图

6.关于直线 m,n 与平面 α,β,有以下四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; 其中正确命题的序号是 A.①② B.③④ C.①④

1 1 1 1
俯视图

(第 5 题图)
1

D.②③

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A= A.30° B.60° C.120° D.150°

8.已知点 A(1,3),B(-2,-1),若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 没有交点,则 k 的取值范围是
1

1 A.k> 2

1 B.k< 2

1 C.k> 或 k<-2 2

1 D.-2<k< 2

sin2a3cos2a6-sin2a6cos2a3 =1,公差 d∈(-1,0),当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 9.设等差数列{an}满足 sin(a4+a5) n 项和取得最大值,则该数列首项 a1 的取值范围为 7π 4π? A.? , ? ?6 3? ? 7π 4π? B.? , ? ?6 3? ? 4π 3π? C.? , ? ?3 2? ? 4π 3π? D.? , ? ?3 2? ?

10.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则 1 1 A. + 有最大值 4 a b C. a+ b有最大值 2 1 B.a·b 有最小值 4 D.a2+b2 有最小值 2 2

? ?0≤x≤ 3 (1) (2) 表示的平面区域 Ω 内的一动点, 11. 点 M(x, y)是不等式组?y≤3 且不等式 2x-y+m≥0 恒成立, ? (3) ?x≤ 3y
则 m 的取值范围是 A.m≥3-2 3 B.m≥3 C.m≥0 D.m≥1-2 3 2 ,则下列结论 2
B1
E D1
F

12.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且EF= 中错误的是 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值
D C

A1

B

A
第 12 题图

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡的相应位置. 13.经过点 P(3,-1),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是_____________. 14.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等,则圆锥轴截面顶角的余弦 值是______________. 15.△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知∠A=60°,a= 3,b=x,若满足条件的三角形有 两个,则 x 的取值范围是______________. an 16.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n (n∈N*),则 的最小值为____________. n

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 ax2-3x+2≤0 的解集为{x|1≤x≤b} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; x-c (Ⅱ)解关于 x 的不等式: >0 ax-b (c 为常数)

18.(本题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 1,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (Ⅱ)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 a1 a2 an

19.(本题满分 12 分) 在△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,tanC= (Ⅰ)求 A,B; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB

3

20.(本题满分 12 分) 已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中 m∈R (Ⅰ)求证:直线恒过定点; (Ⅱ)当 m 变化时,求点 Q(3,4)到直线的距离的最大值; (Ⅲ)若直线分别与 x 轴负半轴、 y 轴负半轴交于 A, B 两点, 求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程.

21.(本题满分 12 分) A、B 两个仓库分别有编织袋 50 万个和 30 万个,由于抗洪抢险的需要,现需调运 40 万个到甲地,20 万个到乙地.已知从 A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为 120 元/万个、180 元/万个;从 B 仓库调 运到甲、乙两地的运费分别为 100 元/万个、150 元/万个.问如何调运,能使总运费最小?总运费的最 小值是多少?

22.(本题满分 12 分) 已知几何体 A-BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正 视图为直角梯形. E (Ⅰ)求此几何体的体积 V 的大小; D (Ⅱ)求异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值; 4 2 (Ⅲ)求二面角 A-ED-B 的正弦值. C
4
正视图

4
侧视图

B

A

直观图

俯视图
第 22 题图

4

黄冈市 2015 年春季高一年级期末考试数学试题 参考答案
一、选择题:
1-5 ABCBA 6-10 11-12

DACCC
3 5

BD
21 2

二、填空题:
13.x+2y-1=0 或 x+3y=0 14. 15.( 3,2) 16.

三、解答题:
17.解: (1)由题知 1,b 为关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 的两根,

?b=2 a 即 ? 3 ?1+b=a

∴a=1,b=2 .

……………………5 分

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0, 所以:当 c>2 时解集为{x|x>c 或 x<2}; 当 c=2 时解集为{x|x≠2,x∈R}; 当 c<2 时解集为{x|x>2 或 x<c}. 18.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则
∵a2,a5,a14 构成等比数列,∴a5=a2a14
2

……………………10 分(注:闭区间一样给分)

………………………2 分

即(1+4d)2=(1+4d)(1+13d),解得 d=0(舍去) ,或 d=2.
∴ an=1+(n-1)×2=2n-1.
……………………………………………5 分

bn 1 b1 1 1 b1 b2 (Ⅱ)由已知 + +…+ =1- n (n∈N*),当 n=1 时, = ;b1= 。 2 2 a1 a2 an a1 2 bn 1 1 1 当 n≥2 时, =1- n-? 1- n-1? = n. ? ? 2 ? 2 ? 2 an bn 1 ∴ = n (n∈N*). an 2 由(Ⅰ),知 an=2n-1 ………………7 分 2n-1 (n∈N*) ,∴bn= n (n∈N*) ……………8 分 2

2n-1 1 3 5 又Tn= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +…+ n + n+1 , 2 n 22 23 2 2 ……………9 分

2n-1 1 2 ? 2n-1 3 1 1 2 2 两式相减,得 Tn= +? 2+ 3+…+ n?- n+1 = - n-1- n+1 , 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2n+3 ∴Tn=3- n . ………………………………………………………………12 分 2

5

19.解:(1) 因为tanC=

sinA+sinB sinC sinA+sinB ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB

所以 sinCcosA+sicCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sicCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C) 所以 C-A=B-C,或 C-A=180°-(B-C) (不成立). π 2π 即 2C=A+B, 得C= ,所以B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则B-A= 或B-A= (舍去), 6 6 2 π 5π 得A= ,B= . …………………………………………6 分 4 12 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 sin A sin C 8 2 3 2 2 得a=2 2,c=2 3 . ………………………12 分 20. (1)证明:直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+(3m+4)=0, 可化为(2x+y+4)+(-x+2y+3)=0
?-x+2y+3=0 ? ? 2x+y+4=0 ? ? x=-1 ? ? y=-2 ?

21 世纪教育网

对任意 m 都成立,所以?

,解得?

,所以直线恒过定点(-1,-2).……4 分

(2)解:点 Q(3,4)到直线的距离最大,可知点 Q 与定点(-1,-2)的连线的距离就是所求最大值, 即 (3+1)2+(4+2)2=2 13. (3)解:若直线分别与 x 轴,y 轴的负半轴交于 A,B 两点,直线方程为 y+2=k(x+1) 则A? -1,0? ,B(0,k-2), (k<0)

?2 ?k

? ?

1 2 1 2 ? 2 -k? S△ABC= ? -1?·| k-2|= ? -1?(k-2)=2+? + ?≥2+2=4, 2? 2? 2? ?k ? ? ?k ? ? ?-k
当且仅当 k=-2 时取等号,面积的最小值为 4,此时直线的方程为 2x+y+4=0.…………12 分

21.解:设从 A 仓库调运 x 万个到甲地,y 万个到乙地,总运费记为 z 元.那么需从 B 仓库调运(40-x)万 个到甲地,调运(20-y)万个到乙地. ? ?40-x+20-y≤30 (1) (2) 从而有?0≤x≤40 ……………………………………………5 分 ? (3) ? 0≤y≤20 z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y) =20x+30y+7 000,……………………6 分 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示),即可行域.

6

令 z′=z-7 000=20x+30y. 作直线 l:20x+30y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 M(30,0), 且与原点距离最小, 即 x=30, y=0 时,z=20x+30y 取得最小值,从而 z=z′+7 000=20x+30y+7 000 亦取得最小值,zmin=20×30 +30×0+7 000=7 600(元). …………………………………11 分 答:从 A 仓库调运 30 万个到甲地,从 B 仓库调运 10 万个到甲地,20 万个到乙地,可使总运费最小, 且总运费的最小值为 7 600 元. ……………………12 分 1 22.(1)? AC⊥平面 BCE, 则 V= SBCED·AC=16 3
∴几何体的体积 V 为 16.
………………………………… 4 分

(Ⅱ)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE, ∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所 成的角.
…………………………………………………………6 分

在△BAF 中,AB=4 2,BF=AF=2 5.∴ cos∠ABF= ∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 . 5

10 . …………………………………………8 分 5

(Ⅲ)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG, 从而 AG⊥DE,∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角.…………………………………10 分 在△ECD 中,ED=CD=BF=2 5,CG= 8 , 5 8 5 5 ,∴tan∠AGC= ,∴sin∠AGC= . 2 3 5

在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=
∴二面角 A-ED-B 的正弦值为

5 . …………………………………………………………12 分 3

7


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