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人教A版高中数学必修5第一章1.1《正弦定理》(张艳萍)教学设计

正弦定理及其实际应用教学设计
授课人:张艳萍 【教学目标分析】 知识与技能
(1)通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证

明方法。
(2)通过正弦定理在实际生活中的应用,提高分析建模的能力,并掌握一些测

量方法和常识。 过程与方法 从已有的知识出发, 探究在任意三角形中,边与其对角的关系,通过观察、 归纳、猜想、证明,由特殊到一般得到正弦定理等方法,体验数学发现和创造的 历程。 情感、态度、价值观
(1)通过实际问题引例,探索发现知识,并讨论了实际问题中的应用,体现了数学来源于 实际,又服务于实际的思想。 (2)通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善于 发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的兴趣。

【教学重点与难点 】
重点:正弦定理的探究,正弦定理在实际中的应用 难点:正弦定理的推导及应用

【教材及教学内容分析 】
本节内容为普通高中课程标准实验教科书《数学必修 5》(人教 A 版)第一章第一节, 是在初中解直角三角形和必修 4 三角函数知识基础上的延伸, 是三角函数知识在具体数学问 题及生产、生活实际问题中的应用,因此具有十分重要的的价值。 本节课是〈正弦定理〉的第一课时,主要任务是引入证明正弦定理并体会定理在实际中 的简单应用,因此,“观察发现---归纳猜想---推理论证---实践应用”这一数学研究方法 就是本节的主线。以此来培养学生认真观察、大胆推测、善于思考、勇于创新的精神,让学

生以一名数学研究者的身份来发现问题、提出问题、探索问题和解决问题,在思考、探索的 过程中品味成功的喜悦, 增强学习的信心, 激发学习的兴趣, 因此把本节课设计为 “探究课” 最合适不过了,引导我们的学生以数学家的身份、严谨的治学态度来研究数学,训练思维、 提高能力,为将来的继续深造打下良好的基础。

【学生情况分析】
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容,又在必修 4 中学了三角函数的相关知识, 已形成初步的知识框架, 有了学习正弦定理的认知基础。 而正弦定理是研究任意三角形边角 和相关量的重要定理之一, 本节内容重在强调定理的探究过程, 并能运用它解决一些实际问 题, 使学生进一步了解数学在实际中的应用, 从而激发学生学习数学应用数学的兴趣和学习 数学的主动性。

【教学媒体设计】 1.多媒体辅助教学:充分利用多媒体教学课件的动态演示效果和直观性,帮助学生感知
和理解射影的概念,并增强课堂学习的趣味性;同时增加课堂容量。

2.学案:充分发挥学案的导学作用,真正做到“恰如其分”又“恰到好处”,,让学生以
主体的身份参与课堂学习,获得实实在在的提高。

【学法设计】
指导学生掌握“观察—类比—猜想—证明—应用”这一思维方法,采取个人、小组、集 体等多种解难释疑的尝试活动, 从学生思维的“最近发展区”入手, 用已有知识解决位置问 题,探求未知世界。让学生在问题情境中学习,观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试 相结合,体现学生的主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,

【教学过程】 一、问题呈现 如图,小明与北塔隔湖相对,为测量出北塔的高度,小明在岸边 选取两点 B、C(B、C 与塔身处于同一竖直平面) ,测得 BC 的 距离是 a ,北塔在 B、C 两处的仰角分别为 ? , ? ,他如何计算塔高 AD? 二、定理探究
A
D B C A

1、 观察: 在直角三角形 ABC 中, 内角 A, B, C 的对边的长分别

b

c

a,b,c.则各角的正弦如何表示?

sinA=
C a B

,sinB= = =

,sinC=

=

c=

2、猜想:
a b c ? ? 可以看到,结论 sin A sin B sin C 非常有特征、有规律,那么这个结论具

不具备普遍性, 在非直角三角形中是否也成立呢? 请考察以下各个三角形的边角 是否满足上述关系。
(1) a ? 1, b ? 1, c ? 1. A ? B ? C ? 60 .
0

a ? sin A
(2) a ?



b ? sin B



c ? sin C

2, b ?

6? 2 , c ? 1. A ? 450 , B ? 1050 , C ? 300. 2

a ? sin A



b ? sin B



c ? sin C

(3) a ? 3, b ? 3, c ? 3 3. A ? 300 , B ? 300 , C ? 1200.

a ? sin A



b ? sin B



c ? sin C

(4) a ? 4 2, b ? 4 3, c ? 2 6 ? 2 2. A ? 450 , B ? 600 , C ? 750.

a ? sin A



b ? sin B



c ? sin C

3、证明: (1)直角三角形(已证) (2)锐角三角形 证明: (1)过点 C 作 CD⊥AB 则 CD ? a sin B ? b sin A
a b 。 ? sin A sin B b c 同理可得 ? sin B sin C

因此,

D

(3)钝角三角形(与在锐角三角形中的证明有何异同) 相同之处:原理相同,转化的思想 不同之处:sinB 的表示
sin ?ABC ? sin(? ? ?CBD) ? sin ?CBD ? CD a

(结探究过程:观察—类比—猜想—证明;分类讨论;转化的思想) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等,即 a b c ? ? sin A sin B sin C 练习: 在△ABC 中,已知 A=45°,C=120°,c=10,解三角形. (学生简单应用,巩固记忆定理) 【实际应用】 应用案例 1:六盘山风景区为激发游客的游览兴致,计划在如图的凉亭 A 处与 对面山头的 B 处之间架设吊桥(山头相对较平坦) 。在山头任取一点 C,测得
BC ? 44m, ?ABC ? 940 , ?BCA ? 600 ,请计算吊桥的长度。

分析:在△ABC中,由三角形内角定理
?BAC ? ? ? ?BCA ? ?ABC
B A C B

再由正弦定理有
AB BC ? sin C sin A

因此, AB ? 87m

应用案例 2: 如图,小明与北塔隔湖相对,为测量出北塔的高度,小明在岸边选 取两点 B、C(B、C 与塔身处于同一竖直平面) ,测得 BC 的距离是 a ,北塔在 B、C 两处的仰角分别为 ? , ? ,他如何计算塔高 CD?
A

分析:分别在△ABC,和△ABD 中,依次求得 AB,和 AD

D B C

(总结: 有些测量不能直接得到, 只能通过间接的方式

测量计算,正弦定理就是一个有力的工具)

【发散提升】 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不 禁会问,月亮离我们地球有多远呢?你能否利用今天的知识,设计一个测量地月距 离的方案。 (请学生依据前面的学习经验,开动思维,设计方案,培养创新能力) 事实上, 早在 1671 年,两个法国天文学家就已经算出了地球与月球之间的距离, 两位科学家利用几乎位于同一本初子午线上的柏林和好望角, 先分别测量出月亮 在两地的仰角 α 和 β , 以及两地之间的距离 AB,从而推算出地球与月亮之间的 距离为 CD = 385400km.

【课堂小结】 1.知识方面: a b c (1) ? ? sin A sin B sin C (2)正弦定理在实际当中的应用。 2.方法方面: (1)由特殊到一般,观察—归纳—猜想—论证。 (2)证明过程构造直角三角形转化斜三角形问题。 3.情感方面: 整节课的学习思路体现了数学来源于实际,又服务于实际的观念。 【实习作业】 作业1:请你设计一个测量我校旗杆高度的方案。 作业2:我班一位同学被选为升旗手,如果他希望在国歌奏唱的过程中,五星红旗能够匀
速由底部上升到旗杆顶端,请你设计一个方案,帮助他确定国旗上升的速度,

【结束语】 正弦定理的功能非常强大,有诗为证: 近测高塔远看山, 量天度海只等闲; 古有九章勾股法, 今看三角正余弦。

【板书设计】

正弦定理及其实际应用 正弦定理:
a b c ? ? sin A sin B sin C

实际应用: 应用实例1:

思想方法: (1) (2) (3)

应用实例2:


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