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高中立体几何与空间向量(理科)

高二数学期末复习(三)练习题(理科)2010.5.
立体几何与空间向量 ? ? ? ? 一.相关公式:直线 l , m 的方向向量为 a, b ,平面 ? , ? 的法向量为 u , v ? ? ?? a ? b a ? v ? ? 1. 线 a 线 b 夹角 ? (0 ? ? ? ),cos ? ? ? ? ; 2.线 a , 面 ? 夹角 ? (0 ? ? ? ),sin ? ? ? ? ; 2 2 a b a v ?? ? ? u? v ? ? ? ? ? ? a? b ? 3.面,面夹角 ? (0 ? ? ? ),cos ? ? ? ? ;4. a, b夹角 a , b , cos a , b ? ? ? 2 a b u v 二 1。 (05-06 信宜) 如图, 在直三棱柱 ABC- A1 B1C1 中, ?ACB ? 900 , AC ? BC ? CC1 ? 2, (1)求证: AB1 ? BC1 ; (2)求 BC1 与平面 AB1C1 所成的角的大小; (3)求二面角 C1 ? AB1 ? A1 的大小。

2. (信宜 2010 一模)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形, PA ? 底面 ABCD, PA=AB,F 是 PA 上的点, (1).求证:无论点 F 在 PA 上如何移动,都有 BD ? FC; (2)若 PC//平面 FBD,求二面角 A-FD-B 的余弦值.

3. (08-09 信宜)如图,在长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2, ,点 E 在 棱 AB 上移动, (1)若 E 为 AB 的中点,求三棱锥 C ? D1 DE 的体积; (2)求证: D1 E ? DA1 ; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 点 E 的位置;若不存在,请说明理由。

? ,若存在,确定 4

4.(07 茂二模)已知底面是矩形的四棱锥 P-ABCD,PA ? 底面 AC,E 是 PD 的中点,F 是 AB 的中点,以 PB 为直径的球的面积为 4? ,PA=1,二面角 P-DC-B 的大小是 450 , (1).求证:AE ? CD;AE // 面 PCF; (2).求证:点 E 在以 PB 为直径的球面上。

5. 如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平 面 VAD ? 底面 ABCD. (1)证明:AB ? 平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值.

6

如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 在 四 棱 锥

S-ABCD

中 ,

?ABC ? 600 , SA ? AB ? a, SB ? SD ? 2SA, 点 P 在 SD 上,且 SD=3PD。
(1)求证:SA ? 平面 ABCD; (2)设 E 是 SC 的中点,求证: BE // 面 APC;

?ABC 是等腰直角三角形, ?ABC ? 900 7. (08 指南 7 章 19) 如图, 在几何体 ABCDE 中,

BE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 BE=AB=2,点 F 是 AE 的中点, (1).求证: DF // 面 ABC; (2)求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.

8. (信宜 05-06) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于 F (1).求证:PB ? 平面 EFD; (2)求 AP 与 BE 所成的角的大小.

9. (信宜 06-07)如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 E 在棱 C C1 上, (1)求证: A1 E ? BD; (2)是否存在点 E,使二面角 A1 ? BD ? E 为直二面角?若存在,请确定点 E 的位 置,若不存在,请说明理由.

10. (信宜 07-08)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是正 方形,PD=DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点, (1)求证:EF ? CD; (2)在 AD 上是否存在一点 G,使得 FG ? 平面 PCB?并证明你的结论; (3)求 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值.

11. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD, AB= 3 , BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (1)求直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE ? 面 PAC, 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.

1 12. 如图,ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 900 , S A ? 底面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= , 2 求 SC 与平面 SBD 所成角的正弦值.

13. 如图,在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 B B1 ,D D1 上,且 AE ? A1 B, AF ? A1 D. (1)求证: AC ? 平面 AEF; 1 (2)当 AB=4,AD=3,A A1 =5 时,求平面 AEF 与平面 D1B1 BD 所成的角的余弦值.

2. 如图, 在三棱锥 S-ABC 中,? ABC 是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC ? 平面 ABC, SA=SC= 2 2 ,M 为 AB 的中点. (1)求证: AC ? SB; (2)求二面角 S-CM-A 的余弦值.

7. 如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平 面 VAD ? 底面 ABCD. (1)证明:AB ? 平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值.

8.正三棱柱 ABC- A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 C C1 中点, (1)求证:A C1 ? 平面 A1BD ; (2)求二面角 A- A1D ? B 的大小; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离.

9.在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2, ?ACB ? 900 , AP=BP=AB,PC ? AC, (1)求证:PC ? AB; (2)求二面角 B-AP-C 的余弦值.

补充。 (07 佛山一模)如图,四边形 ABCD 为矩形,且 AD=2,AB=1,PA ? 平 面 ABCD,E 为 BC 上的动点, (1) 当 E 为 BC 的中点时,求证:PE ? DE; (2) 设 PA=1,在线段 BC 上存在这样的点 E,使得二面角 P-ED-A 的大小 ? 为 ,试确定点 E 的位置。 4 解:以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系, (1) 不妨设 AP= a ,则 P(0,0, a), E (1,1,0), D(0,2,0), 从而 PE ? (1,1,?a), DE ? (1,?1,0)

? PE ? DE ? (1,1,?a) ? (1,?1,0) ? 1 ? 1 ? 0
? PE ? DE ? PE ? DE.
(2) 设 BE= x ,则 P(0,0,1), E (1, x,0), D(0,2,0), 则 PE ? (1, x,?1), DE ? (1, x ? 2,0) 易知 AP ? (0,0,1) 为平面 AED 的一个法向量,设平面 PDE 的法
? ?n ?PE ? 0 ? a ? bx ? c ? 0 ?? 向量为 n ? (a, b, c), 则有 ? ? ?a ? b( x ? 2) ? 0 ? n DE ? 0

令 b ? 1, 则c ? 2, a ? 2 ? x从而n ? (2 ? x,1,2)

由题意 cos

?
4

?

n ? AP n AP

?

2 ? 2

2 ( x ? 2) ? 5
2

?

2 2

x ? 2 ? 3 所以点 E 在线段 BC 上距 B 点 2 ? 3


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