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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆课件


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一部分
微专题强化练

第一部分 一 14 考点强化练 直线与圆

1

考 向 分 析

3

强 化 训 练

2

考 题 引 路

4

易 错 防 范

考向分析

1.以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断,常

常是求参数值或取值范围,有时也与命题、充要条件结合,属
常考点之一. 2 .与三角函数、数列等其他知识结合,考查直线的斜

率、倾斜角、直线与圆的位置关系等,以客观题形式考查.
3 .本部分内容主要以客观题形式考查,若在大题中考 查,较少单独命制试题,常常与圆锥曲线相结合,把直线与圆 的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出 现,只要掌握最基本的位置关系,一般都不难获解.

考题引路

考例1 方程是(

(文)(2015·北京文,2)圆心为(1,1)且过原点的圆的 )

A.(x-1)2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 [立意与点拨 ] [答案] D

B.(x+1)2+(y+1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=2

考查圆的方程;可依题意直接求得圆的半

径或用验证排除法求解.
[解析] 解法一:由题意可得圆的半径为 r= 2,则圆的标准 方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 解法二:由圆心排除 B、C;由过原点排除 A,故选 D.

(理)(2015· 广东理,5)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2 =5 相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0

[立意与点拨] 本题考查直线与圆的位置关系, 解答本题可先 设出直线方程,再由 d=r 求解;也可用检验排除法求解.
[答案] A

|0+0+c| [解析] 设所求切线方程为 2x+y+c=0,依题意有 2 2 +12 = 5,解得 c=± 5,所以所求的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y -5=0,故选 A.

考例 2 (文)(2015· 新课标Ⅰ文,20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.
[立意与点拨] 考查直线与圆的方程及平面向量的数量积及 运算求解能力;(1)由直线与圆相交?d<r,列不等式求解;(2)将 直线和圆的方程联立得到关于 x 的一元二次方程,根据韦达定理 和数量积的定义列出关于 k 的方程求解.

[解析] (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. |2k-3+1| 因为 l 与 C 交于两点,所以 <1. 2 k +1 4- 7 4+ 7 解得 3 <k< 3 . 4- 7 4+ 7 所以 k 的取值范围为( 3 , 3 ).

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4?k+1? 7 所以 x1+x2= 2 ,x 1 x 2 = 2. 1+k 1+k 4k?1+k? → → 2 OM· ON=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+k(x1+x2)+1= 2 +8. 1+k 4k?1+k? 由题设可得 +8=12, 1+k2 解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在直线 l 上,所以|MN|=2.

(理)(2015·广东文,20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+ y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3) 是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k(x - 4) 与曲线 C 只有

一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理
由.

[立意与点拨]

考查:1.圆的标准方程;2.直线与圆的位置

关 系 ; (1) 化 为 标 准 方 程 求 解 ; (2) 由 圆 的 几 何 性 质 知

C1M⊥AB,据此用斜率可建立点M的方程,由直线l与⊙C1相交
知Δ≥0,确定轨迹的范围;(3)假设l与C只有一个交点,用数形 结合法,结合对称性求解.

[解析] (1)圆 C1:x2+y2-6x+5=0 化为(x-3)2+y2=4,所 以圆 C1 的圆心坐标为(3,0). (2)设线段 AB 的中点 M(x0,y0),由圆的性质可得 C1M 垂直于 直线 l. 设直线 l 的方程为 y = mx( 易知直线 l 的斜率存在 ) ,所以 y0 y0 2 2 kC1M· m=-1,y0=mx0,所以 · =- 1 ,所以 x - 3 x + y 0 0 0=0, x 0 -3 x 0
? 3?2 2 9 即?x0-2? +y0=4. ? ?

|3m| 4 2 因为动直线 l 与圆 C1 相交,所以 2 <2,所以 m <5, m +1 所以 4 2 2 2 2 y0=m x0< x0,所以 5 4 2 2 3x0-x0< x0,解得 5 5 x0>3或 x0<0,

5 又因为 0<x0≤3,所以3<x0≤3. 所以
? ? 3?2 2 9?5 M(x0,y0)满足?x0-2? +y0=4?3<x0≤3?, ? ? ? ? ? ? 3?2 2 9?5 的方程为?x-2? +y =4?3<x≤3?. ? ? ? ?

即 M 的轨迹 C

(3)由题意知直线 L 表示过定点 T(4,0),斜率为 k 的直线.
? ? 3?2 2 9?5 ?x0- ? +y0= ? <x0≤3?表示的是一段关于 结合图形, 2? 4?3 ? ?

x 轴对

?5 ?5 2 5? 2 5? ? ? ? ? 称,起点为? ,- 按逆时针方向运动到 , ? ?3 ?的圆弧.根据 3 3 3 ? ? ? ?

2 5 ?5 3 2 5? ? ? 对称性, 只需讨论在 x 轴下方的圆弧. 设 P? ,- 则 kPT= 5 ?, 3 3 ? ? 4-3 3k | 2 -4k| 2 5 3 3 = 7 ,而当直线 L 与轨迹 C 相切时, 2 =2,解得 k=± . 4 k +1 3 2 5 3 在这里暂取 k=4,因为 7 <4,所以 kPT<k.

2 5 3 可得对于 x 轴下方的圆弧,当 0≤k≤ 7 或 k=4时,直线 L 2 5 与 x 轴下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知- 7 2 5 3 ≤k≤ 7 或 k=± 4. 2 5 2 5 3 综上所述:当- 7 ≤k≤ 7 或 k=± 4时,直线 L:y=k(x- 4)与曲线 C 只有一交点.

易错防范

案例1 忽视圆的一般方程中隐含条件致误 已知⊙ C : x2 + y2 - 2ax + 2(a - 1)y + 3a2 - 2a - 3 = 0 ,点 A(0,1),若点A在⊙C外,求实数a的取值范围. [ 易错分析 ] 本题常因忽视二元二次方程 x2 +y2 + Dx + Ey +F=0表示圆的条件D2+E2-4F>0致误.

[解答] ∵点 A 在圆外, ∴1+2(a-1)+3a2-2a-3>0,即 3a2-4>0, 4 ∴a >3,
2

2 3 2 3 ∴a> 3 或 a<- 3 . 又∵方程表示圆, ∴(-2a)2+4(a-1)2-4(3a2-2a-3)>0. 即-4a2+16>0,∴a2<4,∴-2<a<2. 2 3 2 3 综上知,-2<a<- 3 或 3 <a<2. [警示] 二元二次方程表示圆是有条件的,解题时可直接用

D2+E2-4F>0,也可以先配方化为标准方程形式,令右端>0.


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