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2.1.1 曲线与方程ppt


1.曲线和方程

复习回顾

在必修二,我们研究了直线和圆的方程,讨论了 这些曲线和相应的方程的关系.
1.经过y轴截距为b 和斜率为k的直线l的方程 y 2.圆心为(a,b) ,半径为r的圆C的方程为

? kx ? b .

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

.

热身练习

3、说出下列方程所表示的曲线:

(1) x = a

(2) y = b

解: (1) 过点 ( a , 0 ) 垂直于 x 轴的直线

(2) 过点 ( 0 , b ) 垂直于 y 轴的直线

想想:曲线和方程之间有什么对应关系呢?
1 .第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0. 第一、三象限角平分线 l ? 点的横坐标与纵坐标相等 条件 曲线
y

l
0

x-y=0 x

x=y(或x- y=0) 方程

(1) l 上点的坐标都是方程x-y=0的解 含有关系:

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

1.一、三象限平分线方程是x-y=0 – 如果点M(x0,y0)是这条直线上的任意一点,它到两 坐标轴的距离一定相等,即x0=y0,它的坐标是方 程x-y=0的解 即:直线上的点的坐标都是直线方程的解. – 如果(x0,y0)是方程x-y=0的解,即x0=y0,那么这 个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条 平分线上. 即:以直线方程的解为坐标的点都在直线上. 2.以(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. – 如果点M(x0,y0)是圆上的点,那么(x0,y0)一定是这个 方程的解 – 如果(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解,那么以它为 坐标的点一定在这个圆上.

某曲线C(看做 适合某种条件的 点的集合或轨迹) 纯 这条直线上的所 这条曲线上的所有 上的点与一个二 粹 有点的坐标都是 点的坐标都是这个 元方程f(x,y)=0 方程的解 性 这个方程的解 的实数解
直线的方程和 方程的直线 曲线的方程和 方程的曲线 完 备 性 定 义
以一个方程的 解为坐标的点 都是这条直线 上的点 这个方程就叫 做直线的方程, 这条直线就叫 做方程的直线

以这个方程的解 为坐标的点都是 这条曲线上的点 这个方程就叫做 曲线的方程, 这条曲线就叫做 方程的曲线

两个方面 同时成立

一个定 义的两 个方面

知识探究

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f (x,y)=0的 实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
y

这个方程f (x,y)=0叫做这条曲线C的方程; 这条曲线C叫做这个方程f( x,y)=0的曲线.

f(x,y)=0
x

0

说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.

知识探究

2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上?点P ( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y) ? 0 的解.
即如果曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 , 那么点 P ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是方 程 f ( x0 , y0 ) =0.
即曲线 C 是点集 ?( x, y ) f ( x, y ) ? 0? .

3.集合的观点:曲线 C 是坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点 P( x0 , y0 ) 的点的集合(又叫点的轨迹).

根据定义,判断下列曲线与方程的关系:
说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ① 直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2; ② 满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上. 结论: 过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2.
y

0

2

A

x

解题探究
例1:判断下列结论的正误并说明理由 1.过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3; 对 2.到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ; 错 3.△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点, 则中线AD的方程x=0. 错

解题探究
k (k ? 0) 例 2:证明与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程是 xy ? ?k .
证明:(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x轴的距离为|x0|,所以|x0|· |y0|=k,即(x0,y0)是方 程xy=±k的解. (2)设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解,则x1y1=±k, 即|x1|· |y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距 离,因此点M1到这两条直线的距离的积是常数,点M1是曲 线上的点. 由(1) (2)知, xy=±k与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程.

归纳小结:
证明已知曲线的方程的方法和步骤 第一步:设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步:设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证 明点M (x0,y0)在曲线C上.

2.求曲线的方程

把利用坐标系来研究几何图形的方法,叫做坐标法.
坐标法
形成

解析几何
A

y

在平面上建立直角坐标系:
迪卡尔

点 曲线

一一对应 坐标化 研究

坐标(x,y)
O

M x B

曲线的方程

用坐标法来研究几何图形,也就是利用代数方法来研究几何 问题,形成了数学的一个重要分支—解析几何

平面解析几何研究的主要问题: (1)利用已知条件,求出平面曲线的方程; (2)通过方程研究平面曲线的性质.
下面研究如何求曲线的方程.

例3 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程?
y B

方法1:利用现成的结论——直线方 程的知识求解.
解1 :因为 k AB
7? (? 1 ) ? ?2 3? (? 1 )
M

1 所以所求直线的斜率k= ? , 2

x A O

又因为线段AB的中点坐标为(1,3)

所以线段AB垂直平分线的方程依据两点式可以求得 x+2y-7=0.

例1 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程. y
B

M

方法2:若没有现成的结论怎么 办?──需要掌握一般性的方法.
x A O

问题1 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线 段 AB 的垂直平分线的方程. 解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,
我们的目标就是要 找x与y的关系式 则|MA|=|MB|,

需要尝试、摸索

先找曲线上的点满足的几何条件
2 2 2 2 坐标化 所以 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ? (x ? 3) ? (y ? 7)

所以x 2 ? 2 x ? 1 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9 ? y 2 ? 14 y ? 49 化简

所以x ? 2 y ? 7 ? ( 0 *)
( )

1 由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程 的解; 证明 (2)设点M1(x1,y1)是方程(*)的解,即x1+2y1-7=0,因为 2 2 2 2 上面的变形过程步步可逆,所以 (x1 ? 1) ? (y1 ? 1 ) ? (x1 ? 3) ? (y1 ? 7) 所以|M1A|=|M1B|, 综上所述,所求线段 AB 的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.

坐标法求轨迹方程
? 设A(-1,-1),B(3,7),求线段 AB的垂直平分线的方程.
在直角坐标系中,设点M(x,y) 是线段AB的垂直平分线上的 任意一点
符合上述条件的点的集合:

求轨迹方程的步骤 建立适当的直角坐标系, 用(x,y)表示曲线上任意一 点M的坐标 写出适合条件P的点M的 集合P={M|P(M)} 用坐标表示条件P(M),列 出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式 写出x的取值范围(判断 是否要轨迹的全部)

p ? ?M || MA |?| MB |?
( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 7) 2

x ? 2y ?7 ? 0

第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路, 但这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤 :
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系 ,设曲线上任一点 M的坐标; √ √ 2.写出适合条件P的几何点集(限) √; 3.用坐标表示条件,列出方程(代); √ 4.化简方程为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:

“建---设---现(限)---代---化---说明”

练习1:已知点M与轴的距离和点M与点F(0,4)的 距离相等,求点M的轨迹方程. 建立坐标系,设点 的坐标 因为点M与x轴的距离为 | y | , 解:设点M的坐标为(x,y)

又 | FM |? x ? (y ? 4),
2 2 2 所以 | y |? x 2 ? (y ? 4) ,
2 y 2 ? x2 ? (y ? 4) ,即x 2 ? 8 y ? 16。

限(找几何条件)

代(把条件坐标化) 化简 说明

这就是所求的点的轨迹方程.

热身练习
练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是所列出的方 程吗?为什么? 1.曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折线(如图(1)) 其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 不是

2.曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ y =0;

3.曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距离乘积为1的点 集其方程为y= 。 是
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1

y
x

y
x

-2 -1 0 1 2







热身练习
练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个? ① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y Y

1
O 1 X

1
O 1 X -1 O

Y 1 1 -1 X

Y

1
O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

热身练习
练习3 :设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 , 直 线的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么 C
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上;

C.点P既在圆上,也在直线上
D.点P既不在圆上,也不在直线上

解题探究 例3:证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是

x2 +y2 = 25.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标 原点的距离等于5,所以 x0 2 ? y0 2 ? 5, 也就是x02 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解,那么

x0 +y0 = 25 两边开方取算术根,得 x0 ? y0 ? 5,
2 2

2

2

即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5,点M (x0,y0)是 这个圆上的一点. 由(1)、(2)可知,x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心,半径等于5的圆的方程.

课堂练习3:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线 经过点 A(1,?2), B(?2,1) ,则m=_____, 4
2 2

n=________.

4 5

5

课时小结
一、证明已知曲线的方程的方法和步骤:
1.用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 设点 2.写适合条件p的点M的集合P={M|P(M)}; 列式 3.用坐标表示条件P(M),列方程f(x,y)=0; 化简 4.化方程f(x,y)=0为最简形式; 5.说明化简以后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 二、在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程,当 说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味 着具备上述两个条件,只有具备上述两个方面的要求, 才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问 题,以数助形正是解析几何的思想,本节课正是这一思 想的基础.

(1)建立适当的直角坐标系,用有序实数对例如 (x,y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M│p(M)} ; (3)把曲线上的点所适合的条件 p(M) 用坐标来 表示,列出方程 f ( x,y ) = 0 ; (4)把方程 f ( x,y ) = 0 化为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点. 注:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的, 步骤5可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明. 另外,根据情况,也可以省略步骤2,直接列出曲线的方 程。

再 见


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