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高二数学晚间小练习8


古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志!! !

高二数学晚间小练习(024)
班级 姓名 成绩
.

一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1.若关于 x 的方程 x2 ? (1 ? 2i) x ? (3m ?1)i ? 0 有实根,则纯虚数 m 等于 2.f (n) ? 1 ?

1 1 1 3 5 ? ? ? ? ( n ? N* ) , 计算得 f (2) ? ,f (4) ? 2 ,f (8) ? , f (16) ? 3 , 2 3 n 2 2

7 .由此推测,当 n ? 2 时,有 . 2 a ?i 3.已知 z ? ,其中 a ? 0 , i 为虚数单位.复数 ? ? z ( z ? i) 的虚部减去它的实部所得 1? i 3 的差为 ,则 a ? . 2 f (32) ?

3] 3] 4.已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a( a 为常数) [?3, 上有最小值 3 ,那么在 [?3, 上 f ( x ) 的 ,在
最大值是 . 5.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上 述命题,可以得到命题:“ ”.

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 2 6. (本小题 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ln x . 2 , (1)求函数 f ( x ) 在区间 [1 e] 上的最大、最小值; 2 3 , (2)求证:在区间 (1 ? ?) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x) ? x 的图象的下方. 3

与其用泪水悔恨今天,不如用汗水拼搏今天。高二数学晚间练习

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志!! !

高二数学晚间小练习(024)答案
1

1 i 12

2

f (2n ) ?

n?2 2

3

2

4

57

5 夹在两个平行平面简的平行线

段相等

(2)证明:设 F ( x) ?

1 2 2 1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) x ? ln x ? x 3 ,则 F ?( x) ? x ? ? 2 x 2 ? . 2 3 x x

因为 x ? 1 ,所以 F ?( x) ? 0 ,

, 所以函数 F ( x) 在区间 (1 ? ?) 上单调递减,
1 1 2 ? 0 ,所以在区间 (1 ? ?) 上, F ( x) ? 0 ,即 x 2 ? ln x ? x3 , , 6 2 3 2 3 , 所以在区间 (1 ? ?) 上函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x) ? x 图象的下方. 3
又 F (1) ? ?

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高二数学晚间小练习(025)
班级 姓名 成绩
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1 ? 1.已知三次函数 f ( x) ? x3 ? (4m ? 1) x2 ? (15m2 ? 2m ? 7) x ? 2 在 x ? (?∞, ∞) 上是增 函数, 3 则 m 的取值范围为 .
2.若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 4 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 9 ,则 f (4) ? f ?(4) ? .

? 3.已知 f ( x) ? ln( x2 ? ax ? 2a ? 2)(a ? 0) ,若 f ( x ) 在 [1, ?) 上是增函数,则 a 的取值范
围是 .

2] 4.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? m 在区间 [ ?2, 上的最大值是 20,则实数 m 的值等于

. 5.仔细观察下面 4 个数字所表示的图形:

请问:数字 100 所代表的图形有

个小方格.

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3 g 6. 本小题 15 分) ( 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1 , ( x) ? f ?( x) ? ax ? 5 , 其中 f ?( x ) 是 f ( x )
的导 函数. (1)对满足 ?1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值,都有 g ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)设 a ? ?m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 3 只有 一个公共点.
2

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高二数学晚间小练习(025)答案
1

2?m?4

2 3

3

1? a ? 2

4

-2

5 20201

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高二数学晚间小练习(026)
班级 姓名 成绩
. 一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内) 1 如果函数 y=f(x)的图象如图所示, 那么导函数 y=f′(x)的图象可能是

2.设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是

.

3. 设 a ∈ R, 若 函 数 y=ex+ax,x ∈ R 有 大 于 零 的 极 值 点 , 则 a 的 取 值 范 围 为 .

4.已知函数 y=f(x)=x3+px2+qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y极小值 =-4, 那么 p、q 的值分别为 . .

5.已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x2y 的最大值为 6. (本小题 15 分)已知函数 f(x)=x3- 1 x2+bx+c.
2

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取 值范围.

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高二数学晚间小练习(026)答案
1 答案 2 答案 3 答案 4 答案 5 答案 6解 ①
? 4? ? 0, ? ? 3?

a<-1 6,9 36 (1)f′(x)=3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥
2

0.即 3x2-x+b≥0, ∴b≥x-3x2 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x2. 当 x= 1 时,g(x)max=
6 1 12

,∴b≥

1 12

.

(2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c2 即 可. 因 f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- 2 .∵f(1)=- 3 +c,
3 2

f( ? 2 )= 22 +c,f(-1)= 1 +c,f(2)=2+c.
3
27

2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得 c>2 或 c<-1, 所以 c 的取值范围为 (-∞, -1)∪(2,+∞).

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高二数学晚间小练习(027)
班级
2

姓名

成绩
(填序号).

一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1.下列关于函数 f(x)=(2x-x )ex 的判断正确的是 ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. 2.函数 f(x)的图象如图所示,则 0,f(3)-f(2),f′(2),f′(3)的大小顺序为 .

3.设 f(x)=

x e ?2 ? x 2

,g(x)=

f ( x1 ) g ( x2 ) ex ,对任意 x1,x2∈(0,+∞),若有 ≤ 恒成立,则正数 k k k ?1 x

的取值范围是 4. 若 函 数 f(x)= 是 .
4x x2 ?1

. 在 区 间 ( m,2m+1) 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

5.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x +2xf′(2),则 f′(5)=
2

.

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 6. (本小题 15 分)如图所示,P 是抛物线 C:y= x 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C
2

1 2

在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q,当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线 段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离.

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高二数学晚间小练习(027)答案
1 答案 2 答案 3 答案 4 答案 5 答案 解 ①② 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) [1,+∞) (-1,0] 6

2 设 P(x0,y0) ,则 y0= 1 x 0 ,

2

∴过点 P 的切线斜率 k=x0, 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0. ∴直线 l 的斜率 kl=- 1 =k 2

1 x0

,
1 x0

2 ∴直线 l 的方程为 y- 1 x 0 =-

(x-x0).

此式与 y= 1 x2 联立消去 y 得
2

x2+

2 x0

2 x- x 0 -2=0.

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,
x0 ? x1 ? 1 ?? ?x ? 2 x0 ∴? , ? 2 ? y ? ? 1 (? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x 0 ? 1 0 0 2 ? x0 x0 2 2 x0 ?

消去 x0,得 y=x2+ ∴y=x2+
1 2x
2

1 2x
2

+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x2>0,
1 2x 2

+1≥2

x2 ?

+1=

2

+1.

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上式等号仅当 x2=

1 2x 2

,即 x=± 4 1 时成立,
2
2

所以点 M 到 x 轴的最短距离是

+1.

高二数学晚间小练习(028)
班级 姓名 成绩
一 填空题(每小题 5 分共 35 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1.一件工作可以用两种方法完成,有 5 人会用第 1 种方法完成,有 4 人会用第 2 种方法完 成,从中选出 1 人来完成这件工作,不同选法的总数是 2.从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经过 B 村去 C 村不 同走法的总数是 3. 1、 9、 中任意一个数作分子, 8、 16 中任意一个数作分母, 用 5、 13 4、 12、 可构成 个 不同的分数?可构成 个不同的真分数? 4.设 a ? N ? 且 a<20,则(27-a)(28-a)(29-a)(30-a)…(34-a)用排列数可表示为 5.有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有 种不同的报名 方法? 6.有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军,有 种不同的结果?

7.已知 A 2 =7A 2?4 ,则 n= n n
二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)8 8 (本小题 15 分)

1 1 1 1 1 当 n ? N *时,S n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n 1 1 1 1 Tn ? ? ? ? ? ? , (1)求S1 , S 2 , T1 , T2 . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n (2)猜想 S n 与Tn 的关系, 并用数学归纳法证明.

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高二数学晚间小练习(028)答案
8 1:9,2:6,3:16,10,4: A34?a ,5: 3 ,6: 4 ,7:7
4
3

8.解: (1) S1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 ? ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12
即:

?2 分

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N * )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . (n∈N*)??5 分 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n
下面用数学归纳法证明 (1)n=1 时,已证 S1=T1 ???6 分 (2) 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? . ??????8 分 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k 1 1 1 1 ? ? Tk ? ? 则 Sk ?1 ? Sk ? ??10 分 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1)

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ?? ? ? k ?2 k ?3 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ?

?

11



?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? Tk ?1 (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立. ??14 分

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