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2016-2017学年高中北师大版数学必修2:第1章章末检测 Word版含解析


第一章章末检测

一、选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,c 与 b 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 答案:D 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 C1D,BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 答案:A 解析:因为 A1B∥D1C,D1C∩EF=E,又 E,F,A1,B 四点都在平行四边形 A1BCD1 上,所以 E,F,A1,B 四点共面,所以 EF 与 A1B 相交,故选 A. 3.如图为一零件的三视图,根据图中所给数据(单位:cm)可知这个零件的体积为 ( )

A.(64-π)cm3 B.(64-4π)cm3 C.(48-π)cm3 D.(48-4π)cm3 答案:B 解析:由三视图,可知这个零件是一个棱长为 4 的正方体,中间挖去了一个底面半 径为 1、高为 4 的圆柱所形成的几何体,其体积为 43-π×12×4=(64-4π)cm3. 4.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比 为( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:2:4 D.3:1:2 答案:D 5.已知正方体的棱长为 2,则外接球的表面积和体积分别为( ) A.48π,32 3π B.48π,4 3π C.12π,4 3π D.12π, 32 3π 答案:C 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点.那么正 方体的过 P、Q、R 的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

答案:D 7. 已知 α, β 为两个不同的平面, m, n 为两条不同的直线, 下列结论正确的是( ) A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m?β,且 α⊥β,则 m⊥α D.若 m⊥β,且 α∥β,则 m⊥α 答案:D 解析:A 中可能 n?α;B 中 m,n 还可能相交或异面;C 中 m,α 还可能平行或斜 交;一条直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个,所以 D 正确. 8.四面体 S-ABC 中,各个面都是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 答案:C 9.设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 答案:A 10.直线 m⊥平面 α,垂足是 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,点 C 在平面 α 上运 动,点 B 在直线 m 上运动,则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是( ) 4 2-5 4 2+5 A.[ , ] 2 2 B.[2 2-2,2 2+2] 3-2 2 3+2 2 C.[ , ] 2 2 D.[3 2-2,3 2+2] 答案:B 解析:

由题意,直线 BC 与动点 O 的空间关系: 点 O 是以 BC 为直径的球面上的点, 所以 O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离, 最大距离为 AD 到球心的距离(即 BC 与 AD 的公垂线)+半径=2 2+2. 最小距离为 AD 到球心的距离(即 BC 与 AD 的公垂线)-半径=2 2-2. ∴点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是:[2 2-2,2 2+2]. 二、填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知圆锥的表面积为 6π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半 径为________.

答案: 2 12.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则 三棱锥 B-B1EF 的体积为________. 1 答案:3 13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 BB1 和 CD 的中点,则直线 AM 和 D1N 所成的角为________. 答案:90° 14.如图,梯形 A′B′C′D′是水平放置的四边形 ABCD 的用斜二测画法画出的 2 直观图.若 A′D′∥ y′轴, A′B′∥ C′D′, A′B′= 3 C′D′= 2 , A′D′= O′D′=1,则四边形 ABCD 的面积为________.

答案:5 解析:如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD=O′D′=1,OC=O′C′ =2. 过点 D 作 y 轴的平行线,并在平行线上截取 DA=2D′A′=2. 过点 A 作 x 轴的平行线,并在平行线上截取 AB=A′B′=2.连接 BC,即得到了四 边形 ABCD.

可知四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底边分别为 AB=2,CD=3,高 AD=2,所 2+3 以四边形 ABCD 的面积 S= 2 ×2=5. 15.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出以下四个结论:

①直线 D1C∥平面 A1ABB1; ②直线 A1D1 与平面 BCD1 相交; ③直线 AD⊥平面 D1DB; ④平面 BCD1⊥平面 A1ABB1. 其中正确结论的序号为________. 答案:①④ 解析:因为平面 A1ABB1∥平面 D1DCC1,D1C?平面 D1DCC1,所以 D1C∥平面 A1ABB1,①正确;直线 A1D1 在平面 BCD1 内,②不正确;显然 AD 不垂直于 BD,所以 AD 不垂直于平面 D1DB,③不正确;因为 BC⊥平面 A1ABB1,BC?平面 BCD1,所以平 面 BCD1⊥平面 A1ABB1,④正确.

三、解答证明题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 16.(12 分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 2 cm ,母线与轴的夹角是 45° ,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

解:圆台的轴截面如右图所示,设圆台上下底面半径分别为 x cm,3x cm. 延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S, 在 Rt△SOA 中,∠ASO=45° ,则∠SAO=45° , ∴SO=AO=3x,∴OO1=2x, 1 又 S 轴截面=2(6x+2x)· 2x=392,∴x=7. 故圆台的高 OO1=14 cm,母线长 l= 2O1O=14 2 cm,两底面半径分别为 7 cm,21 cm. 17.(12 分)如图,在圆锥 SO 中,AB,CD 为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,SO =OB=2,P 为 SB 的中点.

(1)求证:SA∥平面 PCD; (2)求圆锥 SO 的表面积. 解:(1)连接 PO, ∵P,O 分别为 SB,AB 的中点,∴PO∥SA. 又 PO?平面 PCD,SA?平面 PCD,∴SA∥平面 PCD.

(2)设母线长为 l,底面圆半径为 r,则 r=2,l=SB=2 2, ∴S 底=πr2=4π,S 侧=πrl=4 2π, ∴S 表=S 底+S 侧=4( 2+1)π. 18.(12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 PC,且分别交 AC,PC 于 D,E 两点,PB=BC,PA=AB.

(1)求证:PC⊥平面 BDE; (2)试确定线段 PA 上点 Q 的位置,使得 PC∥平面 BDQ. 解:(1)∵PB=BC,E 为 PC 的中点,∴PC⊥BE. ∵DE 垂直平分 PC,∴PC⊥DE.

又 BE?平面 BDE,DE?平面 BDE,且 BE∩DE=E, ∴PC⊥平面 BDE. 3 1 (2)不妨令 PA=AB=1,则有 PB=BC= 2,计算得 AD= 3 =3AC. 1 ∴点 Q 在线段 PA 上靠近点 A 的三等分点处,即 AQ= AP 时,PC∥QD,从而 PC 3 ∥平面 BDQ. 19.(13 分)如图,在直三棱柱 ADF-BCE 中,AB=AD=DF=a,AD⊥DF,M,G 分别是 AB,DF 的中点.

(1)求该直三棱柱的体积与表面积; (2)在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证明. 1 1 解:(1)由题意,可知该直三棱柱的体积为2×a×a×a=2a3, 1 表面积为 a2×2+ 2a2+a2+a2=(3+ 2)a2. 2 (2)当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH. 1 ∵G 是 DF 的中点,∴GH 綊 CD. 2 又 M 是 AB 的中点,AB 綊 CD, 1 ∴AM 綊2CD. ∴GH∥AM 且 GH=AM, ∴四边形 GHMA 是平行四边形, ∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA?平面 FMC, ∴GA∥平面 FMC, 即当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 20.(13 分)如图①,有一个等腰直角三角板 ABC 垂直于平面 α,BC?α,AB=BC =5,有一条长为 7 的细线,其两端分别位于 B,C 处,现用铅笔拉紧细线,在平面 α 上移动.

(1)图②中的 PC(PC<PB)的长为多少时,CP⊥平面 ABP?并说明理由. (2)在(1)的情形下,求三棱锥 B-APC 的高. 解:(1)当 CP=3 时,CP⊥平面 ABP.

证明如下:若 CP=3,则 BP=4,而 BC=5, 所以三角形 BPC 为直角三角形,且 CP⊥PB. 又平面 ABC⊥平面 α,AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 α,于是 CP⊥AB. 又 PB?平面 ABP,AB?平面 ABP,PB∩AB=B, 所以 CP⊥平面 ABP. (2)解法一:如图,过点 B 作 BD⊥AP 于点 D,

由(1),知 CP⊥平面 ABP,则 CP⊥BD. 又 AP?平面 APC,CP?平面 APC,AP∩CP=P, 所以 BD⊥平面 APC,即 BD 为三棱锥 B-APC 的高. 由于 PB=4,AB=5,AB⊥平面 α, 所以 AP= AB2+PB2= 25+16= 41, 4×5 20 41 由 AP· BD=AB· PB,得 BD= = 41 . 41 20 41 即三棱锥 B-APC 的高为 41 . 解法二:由(1),知 CP⊥平面 ABP,所以 CP⊥AP. 又 CP=3,BP=4,AB=5,AB⊥BP, 所以 AP= AB2+PB2= 25+16= 41, 1 3 41 所以 S△APC=2· CP· AP= 2 . 1 41 设三棱锥 B-APC 的高为 h,则 VB-APC=3· S△APC· h= 2 h. 1 1 1 又 VA-PBC=3· S△PBC· AB=3×2×CP×BP×AB=10, 41 20 41 而 VB-APC=VA-PBC,得 h=10,所以 h= . 2 41 20 41 即三棱锥 B-APC 的高为 . 41 21.(13 分)已知正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面互相垂直,M 为 AC 上一点,N 为 BF 上一点,且 AM=FN=x,设 AB=a (1)求证:MN∥平面 CBE; (2)求证: MN⊥AB; (3)当 x 为何值时,MN 取最小值?并求出这个最小值. 证明:(1)在平面 ABC 中,作 MG∥AB,在平面 BFE 中,作 NH∥EF, MG MC NB 连接 GH,∵AM=FN,∴MC=NB,∵ AB = NC =EF ∴MG∥NH, ∴MNHG 为平行四边形,∴MN∥GH 又∵GH?面 BEC,MN?面 BEC,∴MN∥面 BEC (2)∵AB⊥BC,AB⊥BE,∴AB⊥面 BEC, ∵GH?面 GEC,∴AB⊥GH,∵MN∥GH,∴MN⊥AB (3)∵面 ABCD⊥面 ABEF,∴BE⊥面 ABCD,∴BE⊥BC

∵BG=

2a-x x ,BH= 2 2

∴MN=GH= BG2+BH2 = x2+x2-2 2ax+2a2 2

= x2- 2ax+a2(0<a< 2a) 2 2 ?2 a2 ? = ? x- a ? + 2 ≤ 2 a 2 ? ? 2 当且仅当 x= 2 a 时,等号成立; 2 2 ∴当 x= 2 a 时,MN 取最小值 2 a.


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