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2015-2016学年云南省昭通市水富县云天化中学高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年云南省昭通市水富县云天化中学高二(下)期中 数学试卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意. ) 1.设集合 P={x|0≤x≤3},N={x∈Z|﹣3<x<3},则 P∩N=( ) A.{x|0≤x<3} B.{x|﹣3<x<3} C.{0,1,2} D.{0,1,3} 2.设复数 Z 满足 Z(1﹣i)=3﹣i,i 为虚数单位,则 Z=( ) A.1﹣2i B.1+2i C.2﹣i D.2+i 3.已知向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=( )

A. B. C. D.10 4.如果执行如图的程序框图,那么输出的 S=(



A.22 B.46 C.94 D.190 5.如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个几 何体的外接球的表面积为( )

A.16π B.12π C.8π

D.4π

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6.已知函数 f(x)=sin(ωx+ 则 ω 的最小值是( A.6 B.3 C. ) D.

)+2(ω>0)的图形向右平移

个单位后与原图象重合,

7.设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点,PF2 )

⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

8.若函数 f(x)=x3﹣6bx+3b 在(0,1)内只有极小值,则实数 b 的取值范围是( A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (0,+∞) D. (0, ) )



9. (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( A.﹣40 B.﹣20 C.20 D.40 )

10.设 a,b,c 大于 0,则 3 个数 a+ ,b+ ,c+ 的值(

A.都大于 2 B.至少有一个不大于 2 C.都小于 2 D.至少有一个不小于 2 11.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数位( ) A.85 B.56 C.49 D.28 12.已知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,当 x≠0 时,f′(x)+ 数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数为( A.1 B.0 C.2 D.0 或 2 ) >0,则关于 x 的函

二、填空题:

13.已知 x、y 满足约束条件

,则 的最小值为



14.椭圆

+

=1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6, . = .

7},则这样的椭圆的个数为

15.若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x3+x2f′(1) ,则

16.若函数 f(x)=﹣ eax(a>0,b>0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b 的最大值是 .
第 2 页(共 17 页)

三、解答题: 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,已知 2cos2 +(cosB﹣ (I)求角 C 的值. (Ⅱ)若 c=2,且△ABC 的面积为 18.设 a>0,f(x)= sinB)cosC=1.

,求 a,b. .

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 19. Sn 为其前 n 项和, 已知数列{an}的各项均为正数, 对于任意的 n∈N*, 满足关系式 2Sn=3an ﹣3. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的通项公式是 bn= ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任

意的 n∈N*总有 Tn<1. 20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PB⊥面 ABCD,BA=BD= AD=2,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°,求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.



21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 ? =﹣ ,求 k 的值.

22.已知 e 是自然对数的底数,F(x)=2ex﹣1+x+lnx,f(x)=a(x﹣1)+3 (1)设 T(x)=F(x)﹣f(x) ,当 a=1+2e﹣1 时,求证:T(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若? x≥1,F(x)≥f(x) ,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年云南省昭通市水富县云天化中学高二 (下)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意. ) 1.设集合 P={x|0≤x≤3},N={x∈Z|﹣3<x<3},则 P∩N=( ) A.{x|0≤x<3} B.{x|﹣3<x<3} C.{0,1,2} D.{0,1,3} 【考点】交集及其运算. 【分析】例举出 N 中的元素,找出 P 与 N 的交集即可. 【解答】解:∵P={x|0≤x≤3},N={x∈Z|﹣3<x<3}={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴P∩N={0,1,2}, 故选:C. 2.设复数 Z 满足 Z(1﹣i)=3﹣i,i 为虚数单位,则 Z=( A.1﹣2i B.1+2i C.2﹣i D.2+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据复数的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵Z(1﹣i)=3﹣i ∴Z= 故选:D = = , )

3.已知向量 A. B.

=(x,1) , C.

=(1,﹣2) ,且 D.10



,则|

+

|=(



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. =0,由此解得 x 的值,可得 + 的坐标,从而根据向量的模的计 【分析】由题意可得 算公式求得| + |的值. =(x,1)?(1,﹣2)=x﹣2=0,解得 x=2. 【解答】解:由题意可得 再由 + =(x+1,﹣1)=(3,﹣1) ,可得| + |= , 故选 B. 4.如果执行如图的程序框图,那么输出的 S=( )

第 4 页(共 17 页)

A.22

B.46

C.94

D.190

【考点】循环结构;设计程序框图解决实际问题. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输出 S 值. 【解答】解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 10 是 第三圈 4 22 是 第四圈 5 46 是 第五圈 6 94 否 S 94 故输入的 值为 故选 C. 5.如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个几 何体的外接球的表面积为( )

A.16π B.12π C.8π

D.4π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】该几何体是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形,根据公式求解即可
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【解答】解:由几何体的三视图知,几何体如图所示的三棱锥, ∵几何体的三视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形, ∴AB=BC=CD=1,且∠ABC=∠BCD=∠ABD=90°,

可以看作是从长方体中截得的一部分,故外接球的直径是长方体的对角线,为 2 故外接球的表面积为:4 故选:B. =12π,



6.已知函数 f(x)=sin(ωx+ 则 ω 的最小值是( A.6 B.3 C. ) D.

)+2(ω>0)的图形向右平移

个单位后与原图象重合,

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】函数 y=sin(ωx+ )的图象向右平移 个单位后与原图象重合可判断出 是周

期的整数倍,由此求出 ω 的表达式,判断出它的最小值. 【解答】解:∵函数 y=sin(ωx+ ∴ =n× ,n∈z, )的图象向右平移 个单位后与原图象重合,

∴ω=6n,n∈z, 又 ω>0,故其最小值是 6. 故选:A.

7.设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点,PF2 )

⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设|PF2|=x,在直角三角形 PF1F2 中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心 率的性质即可求得答案. 【解答】解:设|PF2|=x,
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∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2x,|F1F2|= x, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ∴2a=3x,2c= x, ∴C 的离心率为:e= 故选 A. 8.若函数 f(x)=x3﹣6bx+3b 在(0,1)内只有极小值,则实数 b 的取值范围是( A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (0,+∞) D. (0, ) ) = .

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出导函数,据函数的极值点是导函数的根;由已知函数只有一个极小值,画出导 函数的图象,结合图象列出不等式组,求出 b 的范围. 【解答】解:∵f′(x)=3x2﹣6b,由题意,函数 f′(x)图象如右. ∴



得 0<b< . 故选:D

9. (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( A.﹣40 B.﹣20 C.20 D.40



【考点】二项式系数的性质. 【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为 2,故可以令 x=1,建立 a 的方程,解出 a 的值,然后再由规律求出常数项. 【解答】解:令 x=1 则有 1+a=2,得 a=1,故二项式为(x+ ) (2x﹣ )5 故其常数项为﹣22×C53+23C52=40. 故选:D.

10.设 a,b,c 大于 0,则 3 个数 a+ ,b+ ,c+ 的值( A.都大于 2 B.至少有一个不大于 2
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C.都小于 2 D.至少有一个不小于 2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;不等式比较大小. 【分析】假设 3 个数 a+ <2,b+ <2,c+ <2,则 a+ +b+ +c+ <6,又利用基本不 等式可得 a+ +b+ +c+ ≥6,这与假设所得结论矛盾,故假设不成立.从而得出正确选项. 【解答】证明:假设 3 个数 a+ <2,b+ <2,c+ <2,则 a+ +b+ +c+ <6, 利用基本不等式可得 a+ +b+ +c+ =b+ +c+ +a+ ≥2+2+2=6,这与假设所得结论矛盾, 故假设不成立, 所以,3 个数 a+ ,b+ ,c+ 中至少有一个不小于 2. 故选 D. 11.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数位( ) A.85 B.56 C.49 D.28 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】由题意知丙没有入选,只要把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个,甲、乙至少有 1 人入选, 包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况, 根据分类计数原理得到 结果. 【解答】解:∵丙没有入选, ∴只要把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个, ∵甲、乙至少有 1 人入选, ∴由条件可分为两类:一类是甲乙两人只选一个的选法有:C21?C72=42, 另一类是甲乙都选的选法有 C22?C71=7, 根据分类计数原理知共有 42+7=49, 故选 C.

12.已知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,当 x≠0 时,f′(x)+ 数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数为( A.1 B.0 C.2 D.0 或 2 )

>0,则关于 x 的函

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由题意可得,x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的.当 x>0 时,利用导数的知识可得 xg(x)在(0,+∞)上是递增函数,xg(x)>1 恒成立, 可得 xg(x)在(0,+∞)上无零点.同理可得 xg(x)在(﹣∞,0)上也无零点,从而得 出结论. 【解答】解:由于函数 g(x)=f(x)+ ,可得 x≠0, 因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的, 故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.
第 8 页(共 17 页)

由于当 x≠0 时,f(x)+

>0, )>0,

①当 x>0 时, (x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ 所以,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)单调递增函数. 又∵ [xf(x)+1]=1,

∴在(0,+∞)上, 函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立, 因此,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1 没有零点. ②当 x<0 时,由于(x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ )<0,

故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上是递减函数,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立, 故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上无零点. 综上可得,函数 g(x)=f(x)+ 在 R 上的零点个数为 0, 故选:B 二、填空题:

13.已知 x、y 满足约束条件

,则 的最小值为



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 则 的几何意义是区域内的点到原点的斜率, 由图象知,OA 的斜率最小,



,得

,即 A( , ) ,

的最小值为

= ,

故答案为: .

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14.椭圆

+

=1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6, 20 .

7},则这样的椭圆的个数为

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】根据题意可知要使椭圆的焦点在 y 轴上,需满足 n>m,对 n=1,2,3,4,5,6, 7,看 m 能取的数的个数,最后向加即可求得答案. 【解答】解:要使椭圆的焦点在 y 轴上,需 n>m, 故 n=2 时,m 可取 1 个数, n=3 时,m 可取 2 个数, n=4 时,m 可取 3 个数, n=5 时,m 可取 4 个数, n=6 时,m 可取 5 个数, n=7 时,m 可取 5 个数, 故椭圆的个数 1+2+3+4+5+5=20 故答案为:20. 15.若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x3+x2f′(1) ,则

= ﹣4 .

【考点】定积分. 【分析】先根据导数的运算法则求导,再求出 f′(1)=﹣3,再根据定积分的计算法计算即 可. 【解答】解:∵f(x)=x3+x2f′(1) , 2 ∴f′(x)=3x +2xf′(1) , ∴f′(1)=3+2f′(1) , ∴f′(1)=﹣3, ∴f(x)=x3﹣3x2, ∴ =( )| =4﹣8=﹣4,

故答案为:﹣4.

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16.若函数 f(x)=﹣ eax(a>0,b>0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b 的最大值是 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;圆的切线方程. 【分析】求导数,求出切线方程,利用切线与圆 x2+y2=1 相切,可得 a2+b2=1,利用基本不 等式,可求 a+b 的最大值. 【解答】解:求导数,可得 f′(x)=﹣ 令 x=0,则 f′(0)=﹣ 又 f(0)=﹣ ,则切线方程为 y+ =﹣ ∵切线与圆 x2+y2=1 相切, ∴ =1 ,即 ax+by+1=0

∴a2+b2=1 ∵a>0,b>0 ∴2(a2+b2)≥(a+b)2 ∴a+b≤ ∴a+b 的最大值是 . 故答案为: . 三、解答题: 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,已知 2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosC=1.

(I)求角 C 的值. (Ⅱ)若 c=2,且△ABC 的面积为 ,求 a,b. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣ sinBcosC, 结合范围 B∈(0,π) ,sinB≠0,解得 tanC= ,又 C∈(0,π) ,即可求 C 的值. (Ⅱ)由三角形面积公式可解得 ab=4,又由余弦定理可解得 a+b=4,联立可解得 a,b 的值. 【解答】解: (I)∵2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosC=1,

∴1+cosA+(cosB﹣ sinB)cosC=1,可得:﹣cosA=(cosB﹣ sinB)cosC, ∴cos(B+C)=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣ sinBcosC,可得:﹣sinBsinC=﹣ sinBcosC, ∵B∈(0,π) ,sinB≠0, ∴sinC= cosC,即:tanC= , ∵C∈(0,π) , ∴C= . ,△ABC 的面积为 = absinC= ab,

(Ⅱ)∵c=2,C=

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∴解得:ab=4,① 又∵由余弦定理可得:4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=(a+b)2﹣12,解得: a+b=4,② ∴①②联立可解得:a=b=2.

18.设 a>0,f(x)= (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论.



【考点】数学归纳法;数列递推式;归纳推理. 【分析】 (1)根据所给函数及递推关系式,进行计算,从而可猜想数列{an}的通项公式; (2)利用数学归纳法的证明步骤,进行证明,注意利用归纳假设. 【解答】 (1)解:∵a1=1,∴ , 猜想 … … ,…

(2)证明:①n=1 时,猜想正确. ②假设 n=k 时猜想正确,即



这说明,n=k+1 时猜想正确. 由①②知, …



19. Sn 为其前 n 项和, 已知数列{an}的各项均为正数, 对于任意的 n∈N*, 满足关系式 2Sn=3an 3 ﹣ . (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的通项公式是 bn= 意的 n∈N*总有 Tn<1. 【考点】数列的应用;数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I) 由已知得 此可求出 an=3n(n∈N*) . (Ⅱ) ,所以 Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ . =2an=3an﹣3an﹣1. , 故2 (Sn﹣Sn﹣1) 由 ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任

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【解答】解: (I)由已知得 故 2(Sn﹣Sn﹣1)=2an=3an﹣3an﹣1 即 an=3an﹣1,n≥2 故数列 an 为等比数列,且 q=3 又当 n=1 时,2a1=3a1﹣3,∴a1=3, ∴an=3n,n≥2. 而 a1=3 亦适合上式 ∴an=3n(n∈N*) . (Ⅱ) 所以 Tn=b1+b2+…+bn = =1﹣ .

20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PB⊥面 ABCD,BA=BD= AD=2,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°,求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.



【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明. (2)根据二面角平面角的定义先找出平面角,结合直线和平面所成角的定义作出线面角, 根据三角形的边角关系进行求解即可. 【解答】 (1)证明:取 PB 的中点 M,连接 MF,AM. 又∵F 为 PC 的中点,∴FM∥BC,FM= BC, (中位线定理) , ∵E 为 AD 的中点,ABCD 是平行四边形, ∴AE∥BC,AE= BC, ∴FM∥AE,FM=AE, ∴四边形 AEFM 为平行四边形 ∴EF∥AM, ∵MA? 平面 PAB,EF??平面 PAB,
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∴EF∥平面 PAB. (2)∵BA=BD,PA=PD 且 E 为 AD 的中点, ∴BE⊥AD,PE⊥AD, ∴∠PEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角,∴∠PEB=60°, ∵在 Rt△ABD,BA=BD= ,AD=2, ∴BE=1, ∵∠PEB=60°,∴Rt△PBE 中,PB= , ∵BE⊥AD,AD∥BC,∴BE⊥BC,? ∵PB⊥面 ABCD,∴PB⊥BE,? 由 BC∩PB=B,∴BE⊥平面 PBC, ∴∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成角, ∵在 Rt△ABM 中,AM= ∴ ,

∴在 Rt△EBF 中,sin∠EFB=

=

=



∴直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为



21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 【考点】椭圆的标准方程. 【分析】 (I)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在有椭圆 C: + =1(a>b>0)过点(1, ? =﹣ ,求 k 的值.

)建立方程求解即可; (II)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,利用直线与圆相切 的从要条件得到一个等式,把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想,根据 ? = ﹣ 建立 k 的方程求 k.
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【解答】解: (I)由题义长轴长为 4,即 2a=4,解得:a=2, ∵点 在椭圆上,∴ 解得:b2=3

椭圆的方程为:



(II)由直线 l 与圆 O 相切,得:

设 A(x1,y1)B(x2,y2)





整理得: (3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0, ∴ , ,

∴y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

=



=

∵m2=1+k2∴



解得: ∴

, .

22.已知 e 是自然对数的底数,F(x)=2ex﹣1+x+lnx,f(x)=a(x﹣1)+3 (1)设 T(x)=F(x)﹣f(x) ,当 a=1+2e﹣1 时,求证:T(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若? x≥1,F(x)≥f(x) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导数,证明 T′(x)>0,即可证明结论; (2)若? x≥1,F(x)≥f(x) ,则 2ex﹣1+x+lnx≥a(x﹣1)+3,求出左边的最小值,即可 求实数 a 的取值范围. 【解答】 (1)证明:当 a=1+2e﹣1 时,T(x)=F(x)﹣f(x)=2ex﹣1+x+lnx﹣(1+2e﹣1) (x 1 3 ﹣ )﹣ T′(x)=2ex﹣1+1+ ﹣(1+2e﹣1) )=2ex﹣1+ ﹣2e﹣1, ∵x>0,∴T′(x)>0, ∴T(x)在(0,+∞)上单调递增;
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(2)解:若? x≥1,F(x)≥f(x) ,则 2ex﹣1+x+lnx≥a(x﹣1)+3 令 y=2ex﹣1+x+lnx,则 y′=2ex﹣1+1+ , ∵x≥1,∴y′=2ex﹣1+1+ >0,函数单调递增, ∴y≥3, ∴? x≥1,3≥a(x﹣1)+3 ∴a(x﹣1)≤0 ∵x≥1,∴a≤0.

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2016 年 8 月 30 日

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