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第12课时 二次函数


第12课时 二次函数

基础自主导学

规律方法探究

考点一

考点二

考点三

考点四

考点五

考点六

考点七

考点一 二次函数的概念
一般地,如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 注意:(1)二次项系数 a≠0;(2)ax2+bx+c 必须是整式;(3)一次项系数可以 为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;(4)自变量 x 的 取值范围是全体实数.

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考点二 二次函数的图象及性质
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
b

(a>0) 开口向上 直线 x=b 2a

(a<0) 开口向下 直线 x=b 2a

b 4ac-b2 - , 2a 4a 当 x<- 时,y 随 x 的增大而
2a b

b 4ac-b2 - , 2a 4a

增减性 最值

减小;当 x>- 时,y 随 x 的
2a

b

当 x<- 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>- 时,y 随 x 的增大而减小
2a b 2a

增大而增大 当 x=- 时,y 有最小值
2a b 4ac-b2 4a

当 x=- 时,y 有最大值
2a

b

4ac-b2 4a

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考点三 二次函数图象的特征与 a,b,c 及 b2-4ac 的符号之间的 关系
项目字母 a b 字母的符号 a>0 a<0 b=0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号) c=0 c>0 c<0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一交点(顶点) 与 x 轴有两个交点 与 x 轴没有交点

c

b2-4ac

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考点四 二次函数图象的平移
抛物线 y=ax2 与 y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k 中 a 相同,则图象的形 状和大小都相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:

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考点五 二次函数关系式的确定
1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式 y=ax2+bx+c(a≠0),将 已知条件代入,求出 a,b,c 的值. 2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(xx1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a,最后 将关系式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值 ,则设顶 点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.

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考点六 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 y=0 时,就变成了 ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与 x 轴交点的横坐标. 3.当 Δ=b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有两个不同的交点;当 Δ=b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当 Δ=b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 4.设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点坐标分别为 A(x1,0),B(x2,0),则 x1+x2=- ,x1· x2= .


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考点七 二次函数的应用
1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审 题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的 最值确定最大利润、最节省方案等问题. 2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结 合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函 数的解析式是解题关键.

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一、二次函数的图象及性质
【例 1】 (1)二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2)
2

)

D.(1,-4)

(2)(2014 福建三明中考)已知二次函数 y=-x +2bx+c,当 x>1 时,y 的值 随 x 值的增大而减小,则实数 b 的取值范围是( A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 ) D.b≤1

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解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.则 -6 4- ==-1, 2 2× (-3) 4
2

=

4× (-3)×5-(-6) 4× (-3)
2 2

2

= 8.
2 =b, 2× (-1)

所以二次函数 y=-3x -6x+5 的图象的顶点坐标是(-1,8).故选 A. (2)∵抛物线 y=-x +2bx+c 的对称轴为直线 x=而 a<0,∴当 x>b 时,y 随 x 的增大而减小. ∵当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小,∴ b≤ 1. 故选 D. 答案:(1)A (2)D

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二、利用二次函数图象判断 a,b,c 的符号

【例 2】 如图所示,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,图象经过 点(-1,2)和(1,0),且与 y 轴交于负半轴. (1)给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确结论的序 号是 ; (2)给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1,其中正确结论 的序号是 .

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解析:(1)因为抛物线开口向上, 所以 a>0; 对称轴在 y 轴右侧,则- >0,故 b<0; 与 y 轴的交点在 x 轴下方,所以 c<0; 当 x=1 时,y=0, 所以 a+b+c=0,故填①④. (2)由(1)问知 a>0,b<0,c<0,所以 abc>0; 又知- <1,所以 2a+b>0; 又知 x=1 时,y=0;x=-1 时,y=2, + + = 0, 则 所以 a+c=1; - + = 2, 又知 c<0,所以 a=1-c>1,故填②③④.
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2

2

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答案:(1)①④

(2)②③④

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三、二次函数图象的平移
( 【例 3】 二次函数 y=-2x2+4x+1 的图象怎样平移得到 y=-2x2 的图象 ) A.向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 B.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 解析:首先将二次函数的解析式配方化为顶点式,然后确定如何平移,即 y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,将该函数图象向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位就得到 y=-2x2 的图象. 答案:C

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四、确定二次函数的解析式
【例 4】 (2014 陕西中考)已知抛物线 C:y=-x2+bx+c 经过 A(-3,0)和 B(0,3)两点.将这条抛物线的顶点记为 M,它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的表达式 ; (2)求点 M 的坐标; (3)将抛物线 C 平移到抛物线 C',抛物线 C'的顶点记为 M',它的对称轴 与 x 轴的交点记为 N',如果以点 M,N,M',N'为顶点的四边形是面积为 16 的 平行四边形,那么应将抛物线 C 怎样平移 ?为什么 ? 解:(1)根据题意,得 -9-3 + = 0, 解之,得 = -2, = 3. = 3. 2 ∴y=-x -2x+3. (2)∵x=- = 2 -2 =-1,∴y=4.∴M(-1,4). 2× (-1)

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(3)由题意,以点 M,N,M',N'为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 M'N'.

∴MNM'N'.∴MN· NN'=16.∴ NN'=4.

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①当以 M,N,M',N'为顶点的平行四边形是? MNN'M'时,将抛物线 C 向 左或向右平移 4 个单位可得到符合条件的抛物线 C'. ②当以 M,N,M',N'为顶点的平行四边形是? MNM'N'时,将抛物线 C 先 向左或右平移 4 个单位,再向下平移 8 个单位,可得到符合条件的抛物线 C'. 故上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线 C'.

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