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高二下期理科数学期末复习试题(六)


高二下期理科数学期末复习试题(六)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.从集合 {0,1,2,3,4,5} 中任取两个互不相等的数 x , y 组成复数 z ? x ? yi ,其中虚数的个 数有( C ) . A.5 B.30 C.25 D.36

2.函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? m( x ? R) 的最小值为 ?1 ,则 A.2 B.

?

2 1

. f ( x)dx 等于( B ) D. 7

16 3

C. 6 )

3.下面几种推理过程是演绎推理的是( A

A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠ A,∠ 是两条平行直线被第三条直线所截 B 得的同旁内角,则∠ A+∠ B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有 班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 4.若函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 x f '(1) ? ln x ,则 f '(1) 等于(B A、 ?e B. ?1 C. 1 D.-4 e ) .

5.将三个标有 A , B , C 的小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则 1 号盒子 内没有球的不同放法的总数为(B A.27 6.设 a B.37
?

). C.64 D.81

? ?0 sin

xdx, 则二项式 ? a x ?
?

?

1 ? ? 的展开式的常数项是( A ) x?

4

A.24 B. ? 24 C.48 D. ? 48 7.在学校的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获奖,将这六 名同学排成一排合影,要求同年级的同学相邻,那么不同的排法共有 ( C) A.6 种 B.36 种 C.72 种 D.120 种 8. ?ABC 的三边长分别为 a , b , c , ?ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则

r?

2S ;类比这个结论可知:四面体 P ? ABC 的四个面的面积分别为 S1 、 S2 、 a?b?c

. S3 、 S4 ,内切球的半径为 R ,四面体 P ? ABC 的体积为 V ,则 R =( C )

1

A.

V S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

B.

2V S1 ? S2 ? S3 ? S4 4V S1 ? S2 ? S3 ? S4

C.

D.

9.从 1 到9这 9 个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的3位数, 这个数不能被3 整除的概率为( A ) A. 5 B. 9 C. 11 D. 3 4 14 14 14 10.设点 P 在曲线 y ? A

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为( B 2
C

)

2

B

2 ?1 ? ln 2?

2 ?2 ? ln 2 ? D 3?1 ? ln 2?

11. 1 是一个水平摆放的小正方体木块, 2, 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的, 图 图 图 按照这样的规律放下去,在第 6 个叠放的图形中,小正方体木块总数是( B ) . A.25 B.66 C.91 D.120

12.函数 f ( x ) 对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? 1 时,其导函数 f ?( x ) 满足 . xf ?( x) ? f ?( x) ,若 1 ? a ? 2 ,则 ( D ) A. f (2a ) ? f (2) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (2) B. f (2) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2) ? f (2a )

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置) . 13. 把 长 为 1 的 线 段 分 成 三 段 , 则 这 三 条 线 段 能 构 成 三 角 形 的 概 率 为 。1

4
14. 用红、黄、蓝、绿、黑 5 种颜色给如图的 a、b、c、d 四个 区域染色,若相邻的区域不能用相同的颜色,不同的染色方法 的种数有 种。
1 2 3 n 15. 求和:Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn =
' '

( n ? N * )n ? 2

n ?1

.

'' 16. 设函数 y ? f (x) 在区间 a, b ) ( 的导函数 f ( x ) , f ( x ) 在区间 a, b ) ( 的导函数 f ( x ) ,

若在区间( a, b )上 f '' ( x) ? 0 恒成立,则称函数 f (x) 在区间( a, b )为凸函数,已

2

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x , 若当实数 m 满足 | m |? 2 时, 函数 f (x) 在 ( a, b) 上为凸 12 6 2 函数,则 b ? a 最大值是_________.2
知 f ( x) ? 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的指定区域内) 17.(本小题满分 10 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 5 ? a . (1)求函数的极值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的实数根,求 a 的取值范围. 17.解: (1) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,……………………………………………………1 分 当 x ? 1 ,或 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??, ?1) 和 (1, ??) 递增; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (?1,1) 递减;……………………………3 分 故 f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? 7 ? a , f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 3 ? a ,…………5 分 (2)要使方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的实数根,只需

?7 ? a ? 0 ,…………………………………8 分 ? ?3 ? a ? 0
即 3 ? a ? 7 ,故实数 a 的取值范围是 3 ? a ? 7 …………10 分
3 解法 2.分离参数: x ? 3x ? 5 ? a

3 转化为:函数 y ? a 与函数 y ? x ? 3x ? 5 有三个公共点,

g ' ( x) ? 3x2 ? 3 ,…………………………………6 分
当 x ? 1 ,或 x ? ?1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, ?1) 和 (1, ??) 递增; 当 ?1 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (?1,1) 递减; 故 g ( x) 的极大值为 g (?1) ? 7 , g ( x) 的极小值为 g (1) ? 3 ,……………………8 分 ,故实数 a 的取值范围是 3 ? a ? 7 …………………………………………10 分 18.(本小题满分 12 分)用反证法证明: 已知 a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? 0 , abc ? 0 ,求证: a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 。 18. [证明] 用反证法: 假设 a,b,c 不都是正数,由 abc>0 可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数, 不妨设 a<0,b<0,c>0,则由 a+b+c>0, 可得 c>-(a+b),又 a+b<0,∴ c(a+b)<-(a+b)(a+b) ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab 即 ab+bc+ca<-a2-ab-b2

3

∵ 2>0,ab>0,b2>0,∴ 2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即 ab+bc+ca<0, a -a 这与已知 ab+bc+ca>0 矛盾,所以假设不成立. 因此 a>0,b>0,c>0 成立. 19.(本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的

2 ? 2 列联表:
喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的 2 ? 2 列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布 列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
-----------------------3 分 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

19.解:(1)

列联表补充如下:

喜爱打篮球 男生 女生 合计
2

20 10 30

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 (2)∵K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25

4

∴ 在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----7 分 (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 . 其概率分别为 P(? ? 0) ? 故 ? 的分布列为:
0 2 C10C15 7 C1 C1 1 C2 C0 3 ? , P(? ? 1) ? 10 2 15 ? , P(? ? 2) ? 10 2 15 ? 2 C25 20 C25 2 C25 20

?
P

0
7 20

1

2

1 2

3 20

? 的期望值为: E? ? 0 ?

7 1 3 4 ? 1? ? 2 ? ? ---------------------12 分 20 2 20 5

20. (本小题 12 分)观察下列不等式

1? 1?
1? 1?

1 3 ? , 22 2 1 1 5 ? ? , 22 32 3
1 1 1 7 ? ? ? , 22 32 42 4 1 1 1 1 9 ? ? ? ? 22 32 42 52 5

(1)请归纳当 n ? 2 时,符合上述规律的一个不等式; (2)用数学归纳法证明上述猜想的正确性. 20.解: (1)猜想:当 n ? 2 时, 1 ? (2)证明:①当 n ? 2 时, 1 ?

1 1 1 1 2n ? 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? ? 2 ? ……5 分 2 2 3 4 n n n

1 3 ? ,显然成立;……………6 分 22 2 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? , 2 2 3 4 k k

②假设当 n ? k 时,不等式成立,即 1 ? 则当 n ? k ? 1 时, 1 ? 只需证明 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2? ? ………8 分 2 2 2 3 4 k (k ? 1) k (k ? 1)2

1 1 1 ? ? 2? , 2 k (k ? 1) k ?1

?k (k ? 1) ? (k ? 1)2 ? k 1 1 1 1 ? [2 ? ? )] ? 由于 2 ? ? ?0 2 2 k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k (k ? 1)2

5

故1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2? ? 2 2 2 k ?1 2 3 4 k (k ? 1) k (k ? 1)

所以,当 n ? k ? 1 时,不等式成立.…………………………………………11 分 综合①和②,当 n ? 2 时,所证不等式成立.………………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮测试中,规定每人最多投 3 次,每次投篮的结果相互独立. .. 在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,否则得 0 分. 将学生得分逐次累加并 用 ? 表示,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止投篮,否则继续投篮,直到投 .... 完三次为止.投篮的方案有以下两种:方案 1:先在 A 处投一球,以后都在 B 处投;方案 2: 都在 B 处投篮.甲同学在 A 处投篮的命中率为 0.5 ,在 B 处投篮的命中率为 0.8 . (Ⅰ )甲同学选择方案 1. 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率; 求甲同学测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (Ⅱ )你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 21.解: )在 A 处投篮命中记作 A ,不中记作 A ;在 B 处投篮命中记作 B ,不中记作 B ; (Ⅰ 甲同学测试结束后所得总分为 4 可记作事件 ABB ,则

P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
解: ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

……………2 分

P(? ? 0) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.02
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P( A) P(B) P( B ) ? P( A) P( B ) P(B)
? 0.5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.5 ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? P(A) ? 0.5
P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
……………6 分

? 的分布列为:

?

0

2

3

4

6

P

0.02

0.16

0.5

0.32

………………7 分

E? ? 0 ? 0.02 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.32 ? 3.1 ,

………………9 分

(Ⅱ )解:甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P ,选择方案 2 通过测试的概率为 P2 , 1

P ? P(? ? 3) ? 0.5 ? 0.32 ? 0.82 1 P2 ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) = 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896
因为 P2 ? P 1 所以 甲同学应选择方案 2 通过测试的概率更大 22(本小题满分 12 分)已知函数 g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ax 2 ? (1 ? a ) x ( a ? R 且 a ? 0 ). (1)设 f ( x) ? g1 ( x) ? g2 ( x) ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设函数 g1 ( x) 的图象曲线 C1 与函数 g2 ( x) 的图象 C2 交于的不同两点 A 、 B ,过线段 ………………12 分

1 2

AB 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N .证明:C1 在 M 处的切线与 C2 在

N 处的切线不平行.
22、解: (1)∵ f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x 2

∴函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) ……1 分

由已知得, f ?( x) ? 1 ? ax ? a ? 1 ? ? x

1 a( x ? 1)( x ? ) a …………2 分 x

①当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减…………3 分 ②当 a ? 0 时,

1 1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a 1 令 f '( x) ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 . a 1 1 ∴函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( ? ,1) 上单调递减…4 分 a a 1 ②当 ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增………5 分 a 1 1 ③当 ? ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ; a a
①当 ?
7

令 f '( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? ? ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( ?

1 . a

1 1 , ??) 上单调递增,在 (1, ? ) 上单调递减…………6 分 a a

综上所述,⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减; ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( ? ⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ⑷当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (? 1 , ??) 上单调递增,在 (1, ? 1 ) 上单调递减…7 分
a a

1 a

1 ,1) 上单调递减; a

(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,且不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则

y1 ? ln x1 ?

1 2 ax1 ? (1 ? a) x1 …………① 2

y2 ? ln x2 ?

1 ax2 2 ? (1 ? a ) x2 …………② 2

由①-②得: ln x1 ? ln x2 ? ? 1 a ? x1 ? x2 ? ? 1 ? a ? ( x1 ? x2 ) …………③ ?2 ? ? ? 假设 C1 在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线平线,则有

ln x2 ? ln x1 2 1 2 , ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? a 代入(3)化简可得: ? x1 ? x2 2 x2 ? x1 x2 ? x1
即 ln x2 ? 2( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ? x1
2( x2 ? 1) x 2(t ? 1) 4 x1 设 2 ? t ( t ? 1 ),上式化 ln t ? , ? 2? t ?1 t ?1 x1 x2 ?1 x1

即 ln t ?

4 ?2 t ?1

令 g (t ) ? ln t ?

(t ? 1)2 1 4 4 , g '(t ) ? ? . 2 t ?1 t (t ? 1) t (t ? 1)2

∵ t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,∴ g (t ) 在 (1, ??) 上递增, 显然有 g (t ) ? 2 恒成立. ∴在 (1, ??) 内不存在,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.∴ C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线不平线…………12 分

8

9


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