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一元二次不等式的解法_图文

一元二次不等式的解法
(一) “三个一次”的关系
复习一元一次方程和一元一次 不等式的解法

2x-7=0 2x-7>0 2x-7<0

x=3.5 x>3.5 x<3.5

y

o

3.5

x

观察得出结论:

-7

①2x-7=0的解是函数y=2x-7的图象与 x轴交点的横坐标 ②2x-7>0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的上方的点的横坐标的集合 ③2x-7<0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的下方的点的横坐标的集合

引例:

解一元二次方程:
解之得:

x ? x?6 ? 0
2

x1 ? ?2, x2 ? 3

观察二次函数 y ? x ? x ? 6的图像
2

y

-2

o
-6

3

x

看一看:函数图象与x轴的位置关系 说一说

方程x ? x ? 6 ? 0的解是 x ? ?2或x ? 3
2

不等式x ? x ? 6 ? 0的解集是
2

?x x ? ?2或x ? 3?
2

不等式x ? x ? 6 ? 0的解集是

?x ? 2 ? x ? 3?

问: 方程ax2+bx+c=0、 不等式ax2+bx+c <0、

或ax2+bx+c >0
与函数y= ax2+bx+c的图象有什么关 系?

方程的解即函数图象与x轴交点的横标, 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上 方图象所对应x的范围。

利用二次函数图象能解一元
二次不等式!

问:y= ax2+bx+c(a>0)与x轴 的交点情况有哪几种?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c

?>0 y


?=0 y x2 x

y

?<0

o 的图像 ● o x (a>0) ?b? ? b 2 x1 ? x2 ? ? ax +bx+c=0 x1, 2 ? 2a 2a 的根(a>0) b 2 { x | x ? R , x ? ? } ax +bx+c>0 {x | x ? x 或x ? x } 2a 的解集 (a>0) {x | x1 ? x ? x2 } ax2+bx+c<0 的解集
1 2

x1



o

?
R

x

?

?

这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具, 必须熟练掌握,其关键是抓 住相应的二次函数的图像。

记忆口诀:
大于0取两边,小于0取中间 .

首先,我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种:

(1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(3)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

以上四个不等式中我们规定了

a?0

如果题目中给出的不等式中二次项系

数小于0,哪怎么办呢? 对了,我们只要在不等式两边同乘-1,
然后把不等式的方向改变一下,就可 化为以上四种形式中的一种。

三、例题讲解
例1 解不等式2x2-3x-2>0
-1/2


o



2

x

解: 因为?>0,
? ? b 2 ? 4ac ? 32 ? 4 ? 2 ? (?2) ? 25 ? 0

方程2x2-3x-2=0 的解是

1 ( x ? )( x ? 2) 2

1 x1 ? ? , x2 ? 2 2

所以不等式的解集是

1 {x | x ? ? 或x ? 2}. 2

2x2-3x-2

>0

1 {x | x ? ? , 或x ? 2} 2

-2x2+3x+2 > 0 2x2-3x-2 < 0 1 {x | ? ? x ? 2} 2 1 2 {x | ? ? x ? 2} 2x -3x-2 ≤ 0
2

-

1 2

2

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
(a>0) 的步骤是:

(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)求⊿,并求出方程ax2+bx+c=0 的实根 (3)根据图象写出解集(可记忆为:大于零取 两边,小于零取中间)

解法步骤总结:一化正→二算Δ→ 三求根→四写解集 例2.解不等式: -3x2+6x>2 解: ∵ -3x2+6x>2 ∴ 3x2-6x+2<0 因为,△>0,方程3x2-6x+2=0的解 y 3 3 是
x1 ? 1 ? 3 , x2 ? 1 ? 3

所以,原不等式的解集是 3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3

o





x

三、例题讲解

例3解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是

1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?
o

y



x

观察4x2-4x+1 <0的解

无解

例4:解不等式- x2+2x-3>0 解:整理,得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程x2-2x+3=0无实数根 所以原不等式的解集为ф

? ? ? ? ?

作业:解下列不等式: (1)3x2-7x+2<0 (2)-6x2-x+2≤0 (3)4x2+4x+1<0 (4)x2-3x+5>0

参考答案:

1 (1) {x | ? x ? 2} 3

1 2 (2) {x | x ? 或 x ? ? } 2 3 ( 4) R (3) ?

本课小节:
解一元二次不等式的步骤: (1)化成标准形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集

小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2) 判定⊿与 0 的关系,并求出方程 ax2+bx+c=0 的实根 (3)写出不等式的解集

(a>0) 的步骤是:

课堂练习

课本P20.1、2、3

练习

课本P20.1、2、3


? 1 ? 2 1? ? x | 〈 x 〈 2 ? ? x | x ? ? 或 x ? ? ? 1. (1) ( , 2 ) 3 ? ? 3 2? ?

( 3)

ф

2 . (1) 当x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3时,y ? 0

(2)

当x〉 2 ? 3或x〈2 ? 3时,y〉 0

(3) 当2 ? 〈 3 x〈2 ? 3时,y〈0 3.

?x | x ? ?4或x ? 3?

y 五、小结 x2 o x (1)一元二次不等式的解集与一元二次方程 的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的 位置密切相关.解题时要注意解题格式,头脑 中要想象图像或划出草图. (2)对于a<0的一元二次不等式可转化为 a>0的情形求解. (3)一元二次不等式的解法是今后学习其他 不等式的基础,要求大家熟练掌握解法,准 确运算结果.
● ●

x1

利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:

先求出Δ和相应方程的解, 再画出函数图象,根据图象 写出不等式的解。 若a<0时,先变形!

谢 谢 大 家! 再 见!

请同学们完成下表:
方程或不等式 (a>0) Δ >0 {x|x=x1 或 x=x2} 解 Δ =0
b

集 Δ <0

ax +bx+c=0、

2

{- 2a



ф

ax2+bx+c >0

ax2+bx+c <0

一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 (a>0) ax +bx+c=0、
2

解 Δ >0 {x|x=x1 或 x=x2} {x|x<x1 或 x>x2} {x|x 1 <x <x2} Δ =0 {-

集 Δ <0 ф

b } 2a

ax +bx+c >0

2

{x|x≠-
b } 2a

R

ax2+bx+c <0

ф

ф

⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根

⊿>0

⊿=0

⊿<0

x1

x2

x1(x2) 无实根

有两个相 有两个不等实 等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) ﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜ 的解集

R Φ

ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集

Φ

?=b2-4ac

y


?>0


y

?=0


y

?<0

二次函数 x1 x2 x y=ax2+bx+c o o x 的图像 b b± Δ x1 = x2 = x = 2 1 , 2 ax +bx+c=0 2a 2a { x | x ∈ R , 的根 {x | x < x
1

o

φ
R

x

ax2+bx+c>0
的解集

或x > x2 }

{x | x1 < ax2+bx+c<0 x < x2 }

b x ≠- } 2a

φ

φ

?=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c 的图像 (a>0) ax2+bx+c=0 的根(a>0) ax2+bx+c>0 o
x1, 2

?>0 y


?=0 y y

?<0

x1



x2 x

o



?b? ? ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a
{ x | x ? R, x ? ?

x

?
R

o

x

的解集 (a>0) {x | x1 ? x ? x2 } ax2+bx+c<0
的解集

{x | x ? x1或x ? x2}

b } 2a

?

?

例2:解不等式-3x2+6x>2
解: 整理,得 3x2-6x+2<0 因为△=>0 方程3x2-6x+2=0的解是
x1 ? 1 ? 3 3 , x2 ? 1 ? 3 3

所以原不等式的解集为
3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3


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