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2.1.1曲线与方程ppt课件


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的

y ? kx ? b

x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

为什么?

思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

曲线
y

l?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

x=y(或x- y=0)方程

?

l
0

x-y=0
x

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.

说明:

0

x

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.

4、由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0

例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0), D为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,不具备(2) ,应为x=3, (2)不正确,不具备(1) ,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2),应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

证明:)如图,设M ( x0 , y0 ) (1 是轨迹上的任意一点, 因为点M与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 ? y0 ? k ,即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。
o y

M
x

(2)设点M 1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ? k的解, 即x1 y1 ? ? k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是曲线上的点。

由(1), (2)可知,xy ? ? k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程。

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.

练习1:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?

Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

x - y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

练习 2: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) =0 的解” 是“方程 f ( x, y ) =0 是曲线 C 的方程”的( )条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要


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