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2016-2017苏教版高中数学必修4检测:第2章2.4向量的数量积 Word版含解析


第2章 2.4

平面向量

向量的数量积
A级 基础巩固

π 1.已知|a|=3,向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方向上的投影 3 为( ) 3 3 A. 2 3 2 B. 2 1 C. 2 3 D. 2

解析:向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos θ=3×cos 答案:D 2. (2014· 课标全国Ⅱ卷)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b| = 6,则 a· b=( ) π 3 = . 3 2

A.1 B.2 C.3 D.5 解析:因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=10, |a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a· b=6, 两式相减得:4a· b=4,所以 a· b=1. 答案:A 3.(2015· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD → → → → 是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=( A.5 B.4 C.3 D.2 解析:由四边形 ABCD 为平行四边形, → → → 知AC=AB+AD=(3,-1), )

→ → 故AD·AC=(2,1)· (3,-1)=5. 答案:A 4.已知|e1|=|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,则(2e1-e2)· (- 3 e 1 +2e2)=( ) 9 23 D.- 2 2

A.-1 B.1 C.-

解析:因为|e1|=|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°, 7 2 所以(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6e2 1+7e1·e2-2e2 =- 6+ -2= 2 9 - . 2 答案:C 5.(2015· 福建卷)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c, 则实数 k 的值等于( A.- )

3 5 5 3 B.- C. D. 2 3 3 2

解析:c=a+kb=(1+k,2+k),又 b⊥c, 3 所以 1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得 k=- . 2 答案:A 6. 已知向量 a=(1, -2), b=(x, 4), 且 a∥b, 则|a-b|=________. 解析:因为 a∥b,所以 4+2x=0. 所以 x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6). 所以|a-b|=3 5. 答案:3 5 7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足 3a+mb+7c=0,其中 a 与 b 的 夹角为 60°,则实数 m=________.

解析:因为 3a+mb+7c=0,所以 3a+mb=-7c, 所以(3a+mb)2=(-7c)2, 化简得 9+m2+6m a· b=49. 1 又 a· b=|a||b|cos 60°= , 2 所以 m2+3m-40=0,解得 m=5 或 m=-8. 答案:5 或-8 → → → → → → 8.已知OA=(-2,1),OB=(0,2),且AC∥OB,BC⊥AB,则 点 C 的坐标是________. 解析:设 C(x,y), → → → 则AC=(x+2,y-1),BC=(x,y-2),AB=(2,1). → → → → 由AC∥OB,BC⊥AB,得
? ? ?-2(x+2)=0, ?x=-2, ? 解得? ?2x+y-2=0, ?y=6. ? ?

所以点 C 的坐标为(-2,6). 答案:(-2,6) 9.已知|a|=1,|b|= 2. (1)若 a∥b 且同向,求 a· b; (2)若向量 a· b 的夹角为 135°,求|a+b|. 解:(1)若 a∥b 且同向则 a 与 b 夹角为 0°, 此时 a· b=|a||b|= 2. (2)|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a· b= 1+2+2 2cos 135°=1. 10.设平面三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5).

→ → (1)试求向量 2AB+AC的模; → → (2)若向量AB与AC的夹角为 θ,求 cos θ. 解:(1)因为 A(1,0),B(0,1),C(2,5), → 所以AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1), → AC=(2,5)-(1,0)=(1,5). → → 所以 2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7). → → 所以|2AB+AC|= (-1)2+72=5 2.

→ → (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5), 所以 cos θ= (-1,1)· (1,5) 2 13 = . 13 (-1)2+12× 12+52 B级 能力提升

11.已知 A,B,C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1, 2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.以上均不正确 )

→ → 解析:AC=(-1,-3),AB=(3,-1). → → 因为AC·AB=-3+3=0,所以 AC⊥AB. → → 又因为|AC|= 10,|AB|= 10,所以 AC=AB. 所以△ABC 为等腰直角三角形. 答案:C

→ 12.如图所示, △ABC 中∠C=90°且 AC=BC=4, 点 M 满足BM → → → =3MA,则CM·CB=________.

→ → ?→ 1→? → 1→ → 1 → → → 解析:CM·CB=?CA+ AB?·CB= AB·CB= (CB-CA)· CB 4 4 4 ? ? 1→ = CB2=4. 4 答案:4 13.(2014· 湖北卷)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a -λb),则实数 λ=________. 解析:由题意得,(a+λb)· (a-λb)=0, 则 a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得 λ=± 3. 答案:± 3 14.已知向量 a=(2,0),b=(1,4). (1)求|a+b|的值; (2)若向量 ka+b 与 a+2b 平行,求 k 的值; (3)若向量 ka+b 与 a+2b 的夹角为锐角,求 k 的取值范围. 解:(1)因为 a=(2,0),b=(1,4), 所以 a+b=(3,4). 则|a+b|=5. (2)因为 a=(2,0),b=(1,4), 所以 ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8). 因为向量 ka+b 与 a+2b 平行,

1 所以 8(2k+1)=16,则 k= . 2 (3)因为 a=(2, 0),b=(1,4), 所以 k a+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8). 因为向量 k a+b 与 a+2b 的夹角为锐角,

?4(2k+1)+32>0, 所以? 1 ?k≠2.
9 1 解得 k>- 或 k≠ . 2 2 15.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|3a-b|= 5. (1)求|a+3b|的值; (2)求 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值. 解:(1)由|3a-b|= 5,得(3a-b)2=5, 所以 9a2-6a· b-b2=5. 因为 a2=|a|2=1,b2=|b2|=1, 所以 9-6a· b+1=5. 5 所以 a· b= . 6 5 所以(a+3b)2=a2+6a· b+9b2=1+6× +9×1=15. 6 所以|a+3b|= 15. (2)设 3a-b 与 a+3b 的夹角为 θ. 5 20 因为(3a-b)· (a+3b)=3a2+8a· b-3b2=3×1+8× -3×1= , 6 3 20 (3a-b)· (a+3b) 3 4 3 所以 cos θ= = = . 9 |3a-b||a+3b| 5× 15 因为 0°≤θ ≤180°,

所以 sin θ= 1-cos2θ=

?4 3?2 33 ? = 1-? . 9 ? 9 ?

所以 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值为

33 . 9


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