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小波分析与傅里叶分析的比较及其在故障诊断中的应用


第 31 卷第 2 期   2005 年 3 月

中国测试技术 CHINA MEASUREMENT TECHNOLOGY

小波分析与傅里叶分析的比较及其在故障诊断中的应用
杨   , 张振文 , 孙宏强 , 张永弟 梅
( 河北科技大学机械电子工程学院 ,河北 石家庄 050054)

摘   :小波分析是傅里叶分析的发展与延拓 。本文首先对小波分析与傅里叶分析的概念及特征进行比较 ,然后 要 简要论述了这两种分析方法在故障诊断中的应用 。 关键词 : 小波分析 ; 傅里叶分析 ; 故障诊断 中图分类号 :TP20613      文献标识码 :A      文章编号 :167224984 (2005) 0220058202

The comparison of w avelet and fourier analysis and their application to fault diagnosis

1    引 言

在故障诊断技术领域中 , 目前最为普遍的是利 用快速傅里叶变换 ( FFT) 的频域分析方法 , 这种方

法虽然能够分辨振动信号在频域中的位置与大小 , 但在对故障信号的非线性问题及时 - 频变化规律等 方面的分析就显得力不从心 。小波分析是近几年迅 速发展起来的新兴学科 , 是傅里叶分析思想方法的 发展与延拓 ,是对一百多年来调合分析研究工具和 方法的重大突破 , 应用小波分析能将不同频率组成 的混合信号分解成不同频率成份的块信号 , 可有效 地进行信噪分离 、 特征提取 、 故障诊断等 。

2  小波分析与傅里叶 ( Fourier) 分析

小波 ( Wavelet ) ,即小区域的波 ,是一种特殊的长 度有限 、 平均值为零的波形 [1 ] 。任意能量有限函数 f (t ) ( 即 f ( t ) ∈ 2 ( R) ) 的小波分析定义为以函数族 L Ψa ,b = 1 Ψ ( t - b ) 为积分核的积分变换 : a a
Wf ( a , b) = ( WΨf ) ( a , b) =

- ∞



其中 a 是尺度因子 ,b 是定位参数 ,函数 Ψa ,b ( t ) 称为小波 ,改变 a 值 , 对函数 Ψ ( t ) 具有伸展 ( a > 1 )

收稿日期 :2004206208 ; 收到修改稿日期 :2004208224

Abstract :Wavelet analysis develops from fourier analysis1This article first compares the conception and the character of wavelet analysis and fourier analysis ,and then simply discuss the two analysis means in the use of fault diagnosis1 Key words :Wavelet analysis ;Fourier analysis ;Fault diagnosis

Y ANG Mei , ZHANG Zhen2wen , SUN Hong2qiang , ZHANG Y 2di ong ( College of Mechanical Electronic Engineering ,Hebei University of Science and Technology ,Shijiazhuang 050054 ,China)

或收缩 ( a < 1) 的作用 [2 ] 。

傅里叶分析的思想在于将一般的函数 f ( t ) 表示 为具有不同频率的谐波函数 {eiωt | ω ∈R} 的线性叠

加 ,从而将对原来的函数的研究转化为对这个叠加 的权系数 ,即傅里叶变换 f (ω) 的研究 。从实用的角 ^ 换和傅里叶级数 [3 ] 。 函数 f ( t ) ∈ 2 ( R) 的连续傅里叶变换定义为 : L
^ (ω) = f

度出发 ,我们考虑傅里叶分析时 ,通常是指傅里叶变

∫e
- ∞

+∞

- ωt i

f ( t ) dt

f ( ) 的傅利叶逆变换定义为 : ^ω
f ( t) =

1 2π

∫e
- ∞

+∞

ω i t

ω ^ (ω) d f

3  小波分析与傅里叶分析的比较

小波分析源于信号分析中函数的伸缩和平移 。

它是傅里叶分析 、 Gabor 分析 、 短时傅里叶分析发展

的直接结果 ,是傅里叶分析思想方法的发展与延拓 。 它自产生以来 ,就一直与傅里叶分析密切相关 ,但不 能代替傅利叶分析 , 二者是相辅相成的 。两者相比 较主要有以下不同 [4 ] : (1) 傅里叶变换的实质是把能量有限信号 f ( t ) 分解到以{eiωt }为正交基的空间上去 ; 小波变换的实 质是把能量有限信号 f ( t ) 分解到 W - j ( j = 1 ,2 , …,J ) 和 V - 所构成的空间上去 。 ( 2) 傅里叶分析的权系数只是频率的函数 ,而小

Vol131   12 No Mar ,2005  

f ( t ) Ψa , b ( t ) dt =





- ∞

f ( t)

1

Ψ ( t - b) dt
a

a

   第 31 卷第 2 期

   杨  梅等 : 小波分析与傅里叶分析的比较及其在故障诊断中的应用

      59

波变换的权系数是频率和时间的二元函数 。 ( 3) 小波变换将信号分解为对数中具有相同大 小频带的集合 ,与加窗傅里叶变换相比 : 加窗傅里叶 变换对不同的频率分量 ,在时域中都取相同的窗宽 , 而小波变换的窗宽则是可调的 , 它在高频时使用短 窗口 ,而在低频时则使用宽窗口 ,这充分体现了常相 对带宽频率分析和自适应分辨分析的思想 。 ( 4) 傅里叶变换离散化后即得按正交三角函数 系展开的傅利叶系数 ; 对于 Gabor 变换无论如何离 散化均不可能存在这样的正交基 ; 但是 ,对于离散化 的小波变换 ,仍然具有离散的正交基的优良特性 。 (5) 傅 里 叶 变 换 用 到 的 基 本 函 数 只 有 sin t , ω ω ω cos t ,exp ( i t ) , 具有唯一性 ; 小波分析用到的函数
( 即小波函数) 具有多样性 , 用不同的小波基分析同

度可变的函数 。这使得小波分析具有良好的时 - 频 定位特性以及对信号的自适应能力 , 故而能够对各 种时变信号进行有效的分解 , 为控制系统故障诊断 提供了新的 、 强有力的分析手段 [5 ] 。 在对傅里叶分析和小波分析比较的基础上 , 对 采集到的齿轮裂纹故障振动信号进行分析 , 电机转 速为 420r/ min ,采样频率 fs = 1024Hz 。图 1 是采集的 振动加速度信号的时域波形 , 从图上看不出该信号 有何特征 。

一个问题会产生不同的结果 。 ( 6) 傅里叶变换采用 FFT 算法 ,其计算工作量为
NlogN ; 小波变换采用 FWT (Mallat ) 算法 , 其计算工作

量为 O (N) 。 ( 7) 傅里叶分析适合于渐变信号处理和实时信 号处理 ,但不能敏感地反映信号的突变 ; 小波分析适 合于突变信号或具有孤立奇异性的函数的处理和自 适应信号处理 ,但其变换系数不具有对信号的平移 不变性 。因此 ,在处理渐变信号时 ,小波分析不如傅 里叶分析有效 。 ( 8) 小波展开保留了傅里叶展开的优点 ,且在时 间上和频率上都可进行局部分析 。同时由于 Ψa ,b (t ) 是基本小波函数 Ψ ( t ) ( 或称为母波 ) 经平移和伸 缩变换构造的 , 因此频谱分析仍可进行 , 只是基波 eit 须用 Ψ ( t ) 来代替 。

图 2 是该信号的基于 FFT 的自功率谱分析 , 因 为裂纹的故障幅度不是很大 , 因而在图上只能找到 啮合频率 f x ( 260Hz) 以及一阶上边频 a ( 250Hz) ,没有 办法识别该齿轮裂纹的故障模式 。

图 3 是该信号的基于 Mexican hat 调制复小波的 小波变换相位的功率谱 。图中在 220 ~ 270Hz 之间 存在一段明显谱线 , 即为啮合频率 fx 及其边频带 a ~h 。齿轮存在局部故障时的特征在边频带结构中 清晰地反映了出来 。

4  傅里叶分析与小波分析在故障诊断中的

应用
目前已有的故障诊断技术 , 大都采用傅里叶变 换进行信号分析 , 但是傅里叶分析存在时域和频域 局部化的矛盾 ,缺乏空间局部性 ,而且傅里叶分析是 以信号平稳性假设为前提的 , 而大多数的控制系统 的故障信号往往包含在瞬态信号及时变信号中 。正 因如此 ,基于傅里叶分析的信号处理方法只能提供 响应信号的统计平均结果 , 很难在时域和频域中同 时得到非平稳信号的全部和局部化结果 , 使非平稳 动态信号分析难以达到令人满意的程度 。 小波分析是一种全新的时 - 频分析方法 , 它继 承了傅里叶分析用简谐函数作为基函数来逼近任意 信号的思想 ,只不过小波分析的基函数是一系列尺 同传统的自功率谱方法相比较 , 基于复小波基 函数的连续小波变换功率谱有较强的抗噪声干扰能 力 。利用 Mexican hat 调制复小波函数来分析齿轮局 部故障振动信号 , 其连续小波变换相位的频谱能够 突出包含着重要故障信息的边频带结构 , 从而能够 有效地识别故障模式 。

5  结束语
小波方法是傅里叶分析思想方法的发展与延 拓 。虽然我们的实验证明了小波方法 ( 下转第 61 页)

   第 31 卷第 2 期

   杨庆华等 : 采用光纤传感器的电子塞规的设计

      61

311   光纤位移传感器结构设计
( 上接第 59 页)

I0 为发射信号强度 ; F ( X) 为与位移 X 、 光纤芯径和数值孔径有关 的函数 ; K 为转换系数 ; K1 为电路漂移系数 ; K2 为微弯损耗系数 ; R 代表被测表面反射率不同对测量结果的影 响。 在应用前 ,先标定出一条理论曲线 ,首先测出位 移 X = 0 的输出信号 V ( 0) , 根据公式 ( 1) , 其表达式 为 :V ( 0) = I0 K1 K2 KRF ( 0 ) , 逐渐增大 X , 测出各对应 点的 V ( X) ,令 ( 2) Q ( X ) = V ( X ) / V ( 0) 因为分子分母的系数相同 ,由式 ( 2) 得 : ( 3) Q ( X ) = F ( X ) / F ( 0) 很显然 ,Q ( X) 仅与位移有关 。事先标定出一条 Q ( X) - X 曲线 ,存入微机 ,实际测量时 ,测出被测值 X 对应的 V ( X) 除以 V ( 0) 得 Q ( X) , 查 Q ( X) - X 曲线 表 ,即可得到被测值 X 。

在此系统中采用的传感器是反射式光强调制型 光纤位移传感器 ( RIM2FODS) , RIM2FODS 由发射光 纤和接受光纤组成 , 利用被测物体与接收光纤相对 位移变化时 ,接收光纤接收到的物体表面反射回来 的光强也随之变化的现象 ,获得物体位移量的大小 。 在实际应用中 , 由于光源波动 , 环境温度等影 响 ,为了以较低的成本获得稳定的光源 ,采取了如图 3 所示的补偿结构 。 光电二极管与发光二极管波长相匹配 。通过增加补 偿光纤束 3 , 将接受光纤和补偿光纤的输出信号送 差动放大器两端 , 可消除光源光功率的波动以及光 敏二极管的噪声带来的影响 。 312   比值补偿方法 由于在实际测量时 , 被测表面的反射率及光纤 的微损耗等对测量结果都会有影响 , 所以建立传输 特性的数学模型 : ( 1) V ( X ) = I0 K1 K2 KR F ( X ) 式中 :V ( X) 为输出信号 ; X 为被测位移量 ; 在故障诊断方面比傅里叶方法更有效 ,但是 ,小波基 的构造以及结果分析都依赖傅里叶分析 , 二者是相 辅相成的 。由于小波函数的多样性 , 在故障诊断中 只有选择合适的小波函数 ,才能更加快速 、 有效地进 行信号分析 ,进而判断其故障所在 ,因而故障诊断领 域中的小波分析的应用还是一个有待进一步研究的 问题 。以为小波分析能处理所有问题 、 能代替傅里 叶分析的想法是不妥的 。故小波分析在超越傅里叶 分析的同时也应与傅里叶分析相互补充 、 共同发展 , 小波理论与傅里叶分析的互补优势和相辅相成的良

4    结 论
光纤位移传感器灵敏度高 ,而且还具有体积小 、 可柔性弯曲 、 不受电磁干扰等优点 ,是目前测量领域 中传感技术发展的一个主导方向 。光纤数字式塞规 完全可以替代通止端塞规 、 三爪内径千分尺 、 内径量 表等测孔检具 ,可快速 、 、 方便 非接触地测量孔径 ,且 加以推广还可以测量椭圆度和锥度等 。 实验数据证明该系统在 2mm 的测量范围内能 μ 够达到 1 m 的灵敏度 。
参考文献
[1 ]   肖韶荣 ,李剑白 1 双通道光纤位移传感器实时测量系 [2 ]     ,王辉林 ,郑贵明 1 智能化光纤位移传感器测试 丛 红

好效果也已被科研实践所证实 。

系统的设计 [J ]1 山东理工大学学报 ,2003 ,1 :33 - 361 [3 ]   朱庆保 1 一种智能光纤位移传感器 [J ] 1 自动化仪表 , 2001 ,1 :20 - 221 参考文献 [1 ]   飞思科技产品研发中心 1MAT LAB615 辅助小波分析与 应用 [M]1 北京 : 电子工业出版社 ,2003 ,71 [2 ]   韩兵欣 ,徐春霞 ,岑毅南 ,贺洪江 1 故障诊断的小波分析方 法[J ]1 河北建筑科技学院学报 ,1999 ,12 (4) :79 - 831 [3 ]   汪新凡 1 小波分析与 Fourier 分析的比较研究 [J ]1 株洲 工学院学报 ,2002 ,11 (6) :23 - 261 [4 ]   章步云 ,周书民 1 非平稳信号的快速傅里叶变换与小 波分析的比较 [J ]1 通信技术 ,2002 ,7 :1 - 21 [5 ]     1 小波分析在故障诊断中的应用 [J ]1 广西科学 梁 青 院学报 ,2002 ,2 (1) :8 - 111

统 [J ]1 半导体光电 ,2002 ,12 :414 - 4171


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