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2015全国高中数学联赛预赛模拟题8


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 8
1. 如图,已知 PA、PB 是由圆 O 外一点 P 引出的两条切线,M、N 分别是线段 AP、AB 的 中点,直线 MN 与圆 O 交于点 C、E,点 N 在 M 与 C 之间,PC 与圆 O 交于点 D,延长 ND 与 PB 交于点 Q,证明:四边形 MNQP 为菱形。 证明:连结 OP, OA, OC , EP ,显然 O, P, N 三点共线, 且 OP ? AB ,所以 N 是 AB 中点 由 M 是 PA 的中点,故 MN ? MP ? MA , MN

PQ .

PM 2 ? AM 2 ? ME ? MC , 所以 ?MPE ∽ ?MCP , ?MCP ? ?MPE . A 又 O, A, P, B 四点共圆, M ON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN , E O 故 O, C , P, E 四点共圆, ?OCN ? ?EPN . N D ?PAO 是直角三角形, 2 Q 有 PN ? PO ? PA ? PD ? PC , C 于是 C , D, N , O 四点共圆. B ?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN , 所以 M NPQ ,四边形 MNQP 是菱形.
2. 设递增数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 , n ? 1 。
2

P

(1)求数列 ?an ?的通项公式;(2)证明:

1 1 1 ? ? ?? ? 2 。 a1 a2 an
2

(1)解法一:由 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 (n ? 1, n ? N + ) 得

5 21 85 a2 ? , a3 ? , a4 ? , 2 4 8 2 2 3 由 5 ? 1 ? 4, 21 ? 1 ? 4 ? 4 ,85 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ,猜想

1 ? 4 ? 42 ? ? 4n ?1 4n ? 1 2 n 1 ? ? (2 ? n ) . 2n?1 3 ? 2n ?1 3 2 2 1 证明:当 n ? 1 时, a1 ? (2 ? ) ? 1 显然成立; 3 2 2 k 1 设当 n ? k 时, ak ? (2 ? k ) 成立,当 n ? k ? 1 时, 3 2 10 1 1 10 1 1 2 5ak ? 9ak ? 16 ? (2k ? k ) ? 4(2k ? k ) 2 ? 16 ? (2k ? k ) ? 2(2k ? k ) 3 2 2 3 2 2 16 k 4 1 8 k ?1 1 k ?1 = ? 2 ? ? k ? (2 ? k ?1 ) ? 4a 成立, 3 3 2 3 2 2 n 1 所以,通项公式为 an ? (2 ? n ) . 3 2 an ?
1

解法二:由 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 得
2

5 5 2 2 2 2 an an ?1an ? 1 ,故 an ? an an an ?1 ? 1 ( n ? 1 ),两式相减得 ?1 ? an ? ?1 ? 2 2 5 ? ? an?1 ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?1 ? an ? ? 0 ,又 ?an ?为递增数列, 2 ? ? 5 故 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 (n ? 1) . 2 5 1 2 特征方程为 x ? x ? 1 ? 0 ,特征根为 x1 ? 2, x2 ? , 2 2 5 n n 所以 an ? ?1 x1 ,将 a1 ? 1, a2 ? 代入,得 ? ?2 x2 2 2 1 ? ? ?1 ? 2?1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 3 2 ,解之得 ? , ? 1 5 2 ? 4? ? ? ? ? ? ?? 1 2 2 ? ? ? 4 2 3 ? 2? n 1 ? 通项公式为 an ? ? 2 ? n ? . 3? 2 ? 1 1 1 1 (2)设 Sn ? ? ? ? ?????? ? , a1 a2 a3 an
由2 ?
n

1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? 2 ? ? ? 1 1 1 an ? 2an?1 , ? ? ? n ? 2? , an 2 an ?1 Sn ?

? n ? 2? 得

1 1 1 1 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? a1 a2 a3 an a1 2 ? a1 a2 a3 an?1 ?

1 1? 1? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? S n . a1 2 ? an ? a1 2 2 ? 2. 所以 S n ? a1 ?
x2 ? y 2 ? 1 于两个不同的点 P, Q , 3. 过点 (2,3) 作动直线 l 交椭圆 过 P, Q 作椭圆的切 4 线,两条切线的交点为 M , ⑴ 求点 M 的轨迹方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,当四边形 POQM 的面积为 4 时,求直线 l 的方程. 解(1)依题意设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,与椭圆联立得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k (3 ? 2k ) x ? 4(4k 2 ? 12k ? 8) ? 0 , ? ? 64(3 ? 2k ) ,由 ? ? 0 得

2

k?

2 3

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 则 过 P, Q 椭 圆 的 切 线 分 别 为

x1 x ? y1 y ? 1 … … ① 和 4

x2 x ? y 2 y ? 1 ……② 4 ① ? x2 ? ② ? x1 , 并 且 由 y1 ? k ( x1 ? 2) ? 3 及 y2 ? k ( x2 ? 2) ? 3 得 1 3 y? (k ? ) , 3 ? 2k 2 ? 4k 3 (k ? ) ,故点 M 的轨迹方程为 x ? 6 y ? 2 ? 0 (在椭圆外) 同理 x ? 3 ? 2k 2
(2) PQ ?

64(3k ? 2)(1 ? k 2 ) 1 ? 4k 2
4 3k ? 2

,O 到 PQ 的距离为 d1 ? , d1 ? d 2 ?

3 ? 2k

离为 d 2 ?

1? k 2 4k 2 ? 1

,M 到 PQ 的距

3 ? 2k 1 ? k 2

3k ? 2 1 ? k 2



1 4 3k ? 2 (d1 ? d 2 ) ? PQ ? 2 3 ? 2k 11 当 S ? 4 时解得 k ? 1 或 k ? ,直线 l 为 x ? y ? 1 ? 0 或 11x ? 4 y ? 10 ? 0 4 3 3an , 2, . 4. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? , an ?1 ? ,n ?1 5 2an ? 1 (1)求 {an } 的通项公式;
四边形 POQM 的面积 S ? (2)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥ (3)证明: a1 ? a2 ?

1 1 ?2 ? 2, ; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

n2 . n ?1 ? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 ? ? ? 1? , 解法一:(Ⅰ) an ?1 ? ,? ,? ? ? an ?1 3 ? an 2an ? 1 an?1 3 3a n ? ? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 又 3 3 an 3 ? an ? ? an ?

?

3n 1 2 1 2 ? a ? , . ?1 ? ? n 3n ? 2 an 3 3n?1 3n 3n ? 0, 3n ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?

3

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? 1 ?1 ? x ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

? 1 1 2 1 1 ?1 1? 1 ? ? ? ? ? (1 ? x) ? ? ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an 2 2 ? an (1 ? x) 1 ? x 1 ? x (1 ? x) ? an an ? 1 ? x ? ? ? 原不等式成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? a1 ? a2 ? ? an ≥ ? ? x? ? ? ? x? 2 ? 2 ? 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? n 1 ?2 2 2 1 1 ?2 ? ? ? ? 2 ? ? n ? nx ? . ? ? ? ? x? ? 2 ? 2 ? n 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 3 2? 1? 1? n ? ? 1?2 2 2? 3 1? 3 ? 1? ? ?1 ? n ? , ?取 x ? ? ? 2 ? ? n ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3? n n2 n2 ? ? 则 a1 ? a2 ? ? an ≥ . 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ? ? 原不等式成立.
解法二:(Ⅰ)同解法一.

2

1 1 ?2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?2 ? ?2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ? 2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? ? ? ? 则 f ?( x) ? ? 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x) x ? 0, 2 2 ? 当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 , 3 3 1 2 ? 2? ? an . ? 当 x ? n 时, f ( x) 取得最大值 f ? n ? ? 3 ? 3 ? 1? 2 3n ? 原不等式成立.
(Ⅱ)设 f ( x) ? (Ⅲ)同解法一.

4

5. 定义在 R 上的函数 f ( x) ?

1 2 4x , Sn ? f ( ) ? f ( ) ? x n n 4 ?2
1 S2 ? 1 S3

? f(
? ?

n ?1 ), n ? 2,3, n
1 Sn ?1 ?M.

(1)求 Sn ;(2)是否存在常数 M ? 0 ,使得 ?n ? 2 ,有 解:(1) S n ? (2)

n ?1 . 2

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2(1 ? ? ? S 2 S3 Sn?1 2 3 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 7 8 8 8 8 8 2
1
m ?1

1 ? ) n

...

1 1 1 ? 2m?1 ? m ? m ?1 2 ?1 2 ? 2 2 ?2 2 2 1 1 1 1 m?2 1 1 1 故1 ? ? ? ? m ? 1 ? m ? ? ,当 m ??? 时, 无界 ? ? ? 2 3 2 2 2 S 2 S3 Sn?1 1 1 1 所以不存在常数 M ? 0 ,使得 ?n ? 2 ,有 ? ? ? ?M . S2 S3 Sn?1 6. f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1) 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值点; 1 (Ⅱ)当 a ? 1 时,若方程 f ( x) ? t 在 [ ? ,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围; 2 n m (Ⅲ)证明:当 m ? n ? 0 时, (1 ? m) ? (1 ? n) 。 ?
m ?1

1

?

?

m ?1

试题解析:(Ⅰ) f / ( x) ? 1 ? a ln( x ? 1) ? a ① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也 无极小值点。 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, e 点为 x ? e
1? a a

1? a a

? 1] 上递增,在 [e

1? a a

? 1, ??) 单调递减,函数的极大值

-1,无极小值点.

5

6


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