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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第7章 立体几何 第5节]


[课堂练通考点] 1.(2013· 全国新课标卷Ⅱ)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l ⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 解析:选 D 由于 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则平面 α 与平面 β 必相 交,但未必垂直,且交线垂直于直线 m,n,又直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,则交线平行于 l,故 选 D. 2.已知 l,m,n 为两两垂直的三条异面直线,过 l 作平面 α 与直线 m 垂直,则直线 n 与平面 α 的关系是( A.n∥α C.n?α 或 n 与 α 不平行 ) B.n∥α 或 n?α D.n?α )

解析:选 A ∵l?α,且 l 与 n 异面,∴n?α, 又∵m⊥α,n⊥m,∴n∥α. 3.设 a,b 为不重合的两条直线,α,β 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥α 且 b∥α,则 a∥b; (2)若 a⊥α 且 a⊥β,则 α∥β; (3)若 α⊥β,则一定存在平面 γ,使得 γ⊥α,γ⊥β; (4)若 α⊥β,则一定存在直线 l,使得 l⊥α,l∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是________. 解析:(1)中 a 与 b 可能相交或异面,故不正确. (2)垂直于同一直线的两平面平行,正确. (3)中存在 γ,使得 γ 与 α,β 都垂直. (4)中只需直线 l⊥α 且 l?β 就可以. 答案:(2)(3)(4) 4.如图,三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90° ,2AC=AA1,D,M 分别是棱 AA1,BC 的中点,证明:

(1)AM∥平面 BDC1; (2)DC1⊥平面 BDC. 1 证明:(1)取 BC1 的中点 N,连接 DN,MN,则 MN 綊 CC1. 2 1 又 AD 綊 CC1,∴AD∥MN,且 AD=MN,∴四边形 ADNM 为平行 2 四边形, ∴DN∥AM,又 DN?平面 BDC1,AM?平面 BDC1, ∴AM∥平面 BDC1. (2)由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,又 CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1?平面 ACC1A1,∴DC1⊥BC, 又由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° , ∴∠CDC1=90° ,∴DC1⊥DC.又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.在空间中,给出下面四个命题: ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直; ②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面; ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ④若两个平面相互垂直, 则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数 条直线. 其中正确的命题是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 D 易知①④正确;对于②,过两点的直线可能与平面相交;对于③,垂直于 同一条直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面.故选 D. 2.(2014· 南昌模拟)设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“a?α,b?β,且 α ⊥β”的平面 α,β( A.不存在 ) B.有且只有一对

C.有且只有两对

D.有无数对

解析:选 D 过直线 a 的平面 α 有无数个,当平面 α 与直线 b 平行时,两直线的公垂线 与 b 确定的平面 β⊥ α,当平面 α 与 b 相交时,过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥ α. 故选 D. 3.已知在空间四边形 ABCD 中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD 是锐角三角形,则必 有( ) A.平面 ABD⊥平面 ADC C.平面 ADC⊥平面 BDC B.平面 ABD⊥平面 ABC D.平面 ABC⊥平面 BDC

解析: 选 C ∵AD⊥BC, AD⊥BD, BC∩BD=B, ∴AD⊥平面 BDC, 又 AD?平面 ADC, ∴平面 ADC⊥平面 BDC.故选 C. 4.如图, 直三棱柱 ABC A1B1C1 中, 侧棱长为 2, AC=BC=1, ∠ACB =90° , D 是 A1B1 的中点, F 是 BB1 上的动点, AB1, DF 交于点 E.要使 AB1 ⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为( 1 A. 2 3 C. 2 ) B.1 D.2

解析:选 A 设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF?平面 C1DF,所以 AB1⊥DF.由已 1 知可以得 A1B1= 2, 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h, 则 DE= h.又 2× 2=h 22+? 2?2, 2 所以 h = × 2 3 3 , DE = . 在 Rt△DB1E 中 , B1E = 3 3 2 1 2?2 = x,得 x= . 2 ?2? 2

? 2?2-? 3?2 = 6 . 由面积相等得 6 6 6 ?2? ?3?

x2+?

5.如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都 相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 6.假设平面 α∩平面 β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为 B,D,如果增加一个条件, 就能推出 BD⊥EF,现有下面四个条件: ①AC⊥α;②AC 与 α,β 所成的角相等;③AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上; ④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上) 解析:如果 AB 与 CD 在一个平面内,可以推出 EF 垂直于该平面,又 BD 在该平面内, 所以 BD⊥EF.故要证 BD⊥EF, 只需 AB, CD 在一个平面内即可, 只有①③能保证这一条件. 答案:①③ 7.(2013· 辽宁高考)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所 在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心.求证:QG∥平面 PBC. 证明:(1)证明:由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)连 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重 心,得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C, BC?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC. 8.(2013· 北京高考)如图,在四棱锥 P ABCD 中,AB∥CD,AB

⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别为 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥ 底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE.

所以 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,因为 PA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF, 所以 CD⊥EF.又 EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE, F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起, 得到如图 2 所示的三棱锥 A BCF, 其中 BC= 2 . 2

图1 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F DEG 的体积 VF 3
DEG.

图2

解:(1)证明:如图 1,在等边三角形 ABC 中,AB=AC. AD AE ∵AD=AE,∴ = ,∴DE∥BC, DB EC ∴DG∥BF,如图 2,DG?平面 BCF,BF?平面 BCF,∴DG∥平面 BCF. 同理可证 GE∥平面 BCF. ∵DG∩GE=G,∴平面 GDE∥平面 BCF,∴DE∥平面 BCF. (2)证明:如图 1,在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,

∴AF⊥FC, 1 1 ∴BF=FC= BC= . 2 2 在图 2 中,∵BC= ∴FC⊥BF. ∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. 2 1 (3)∵AD= ,∴BD= ,AD∶DB=2∶1, 3 3 在图 2 中,AF⊥FC,AF⊥BF,∴AF⊥平面 BCF, 由(1)知平面 GDE∥平面 BCF,∴AF⊥平面 GDE. 在等边三角形 ABC 中,AF= 3 3 AB= , 2 2 2 ,∴BC2=BF2+FC2,∴∠BFC=90° , 2

1 3 2 2 1 1 ∴FG= AF= ,DG= BF= × = =GE, 3 6 3 3 2 3 1 1 ∴S△DGE= DG· EG= ,∴VF 2 18
DEG=

1 3 S · FG= . 3 △DGE 324

π 2.如图,在三棱锥 A BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 BC= 2,D、E 分别为 AB、OB 的中点.

(1)求证:CO⊥平面 AOB; (2)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,若存在,试确定 F 的位 置;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:因为 AO⊥平面 COB, 所以 AO⊥CO,AO⊥BO. 即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 所以 OB=OC=1. 由 OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知△BOC 为直角三角形. 所以 CO⊥BO,又因为 AO∩BO=O,所以 CO⊥平面 AOB. (2)在段线 CB 上存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,此时 F 为线段 CB 的中点.

如图,连接 DF,EF,因为 D、E 分别为 AB、OB 的中点,所以 DE∥OA. 又 DE?平面 AOC 上,所以 DE∥平面 AOC. 因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点, 所以 EF∥OC. 又 EF?平面 AOC, 所以 EF∥平面 AOC, 又 EF∩DE=E, EF?平面 DEF, DE?平面 DEF, 所以平面 DEF∥平面 AOC. 3.如图, 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中, 点 D 在边 BC 上, AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; B1E (2)设 E 是 B1C1 上的一点, 当 的值为多少时, A1E∥平面 ADC1? EC1 请给出证明. 解:(1)证明:在正三棱柱中,CC1⊥平面 ABC,AD?平面 ABC, ∴AD⊥CC1. 又∵AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1,CC1?平面 BCC1B1,C1D?平面 BCC1B1, ∴AD⊥平面 BCC1B1. (2)由(1),得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点. 当 B1E =1,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1. EC1

证明如下,作图如图所示. 事实上, 正三棱柱 ABC A1B1C1 中, 四边形 BCC1B1 是矩形, 且 D,

E 分别是 BC,B1C1 的中点,所以 B1B∥DE,B1B=DE. 又∵B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. ∴四边形 ADEA1 为平行四边形, ∴EA1∥AD. 而 A1E?平面 ADC1,AD?平面 ADC1,故 A1E∥平面 ADC1.


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