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2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用 理

专题一

集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用

2.导数的几何意义. 函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).

1

2.导数的四则运算法则. (1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); (2)[u(x)v(x)]′=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x); (3)?

?u(x)?′=u′(x)·v(x)-u(x)·v′(x)(v(x)≠0). ? v2(x) ?v(x)?

3.复合函数求导. 复合函数 y=f(g(x))的导数和 y=f(u), u=g(x)的导数之间的关系为 yx′=yu′· ux′.

2

1.函数的单调性与导数的关系. 一般地,在某个区间(a,b)内: (1)如果 f′(x)>0? 函数 f(x)在这个区间内单调递增; (2)如果 f′(x)<0? 函数 f(x)在这个区间内单调递减; (3)如果 f′(x)=0? 函数 f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数的关系. 一般地,对于函数 y=f(x): (1)若在点 x=a 处有 f′(a)=0, 且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 则称 x=a 为 f(x)的极小值点,f(a)叫函数 f(x)的极小值. (2)若在点 x=b 处有 f′(b)=0, 且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则称 x=b 为 f(x)的极大值点,f(b)叫函数 f(x)的极大值. 3.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.

3

4

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×) (4)若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0.(×) (5)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (6)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件.(√)

2.(2015·新课标Ⅰ卷)设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整 数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(D)

x

? 3 ? A.?- ,1? ? 2e ?

? 3 3? B.?- , ? ? 2e 4?

5

C.?

? 3 ,3? ? ?2e 4?

?3 ? D.? ,1? ?2e ?
?f(-1)≥0, ? ? ?f(1)≥0,

解析:∵ f(0)=-1+a<0,∴ x0=0. 又∵ x0=0 是唯一的使 f(x)<0 的整数,∴ ?
-1

? ?e [2×(-1)-1]+a+a≥0, 3 即? 解得 a≥ . 2e ?e(2×1-1)-a+a≥0, ?

又∵ a<1,∴

3 3 ≤a<1,经检验 a= ,符合题意.故选 D. 2e 4

3.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为

f(x)的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为 3.
1? ? 解析:f′(x)=a?lnx+x· ?=a(1+ln x).

?

x?

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3.

5.求下列函数的导数: (1)y=(2x -1)(3x+1); (2)y=x sin x. 答案:(1)y′=18x +4x-3 (2)y′=2xsin x+x cos x
2 2 2 2

一、选择题 1 2 1.函数 y= x -ln x 的单调递减区间为(B) 2

6

A.(-1,1]

B.(0,1]

C.[1,+∞) D.(0,+∞)
1 2 1 解析: ∵y= x -ln x, ∴y′=x- , 由 y′≤0, 解得-1≤x≤1, 又 x>0, ∴0<x≤1. 2 x 故选 B. 2.设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为
2

?0,π ?,则点 P 横坐标的取值范围为(A) ? 4? ? ?
A.?-1,- ? 2

? ?

1?

?

B.[-1,0]

C.[0,1]

? ? D.? ,1?
1 ?2

?

解析:设 P(x0,y0), ∵y′=2x+2, ∴曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2x0+2.

? π? 又切线倾斜角范围是?0, ?, 4? ?
∴斜率范围是[0,1]. 1? ? 即 2x0+2∈[0,1],∴x0∈?-1,- ?. 2? ? 1 2 3.若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是(C) 2

A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)
-x -2x+b -(x+1) +b+1 解析:∵f′(x)= = . x+2 x+2 则由已知 f′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立,∴1+b≤0. ∴b≤-1. 4.(2015·陕西卷)对二次函数 f(x)=ax +bx+c(a 为非零整数),四位同学分别给出 下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是(A)
2 2 2

A.-1 是 f(x)的零点 B.1 是 f(x)的极值点 C.3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上
解析:A 中-1 是 f(x)的零点,则有 a-b+c=0.①

7

B 中 1 是 f(x)的极值点,则有 b=-2a.② C 中 3 是 f(x)的极值,则有
4ac-b =3.③ 4a
2

D 中点(2,8)在曲线 y=f(x)上,则有 4a+2b+c=8.④
3 3 9 联立①②③解得 a=- , b= , c= . 4 2 4 联立②③④解得 a=5,b=-10,c=8,从而可判断 A 错误,故选 A. a 2 2 3 2 5.(2014·江西卷)在同一直角坐标系中,函数 y= ax - x+ 与 y= a x - 2ax + x+ 2 a(a∈R)的图象不可能的是(B)

解析:当 a=0 时,两函数图象如 D 所示,当 a≠0 时,对函数 y=a x -2ax +x+a,令 1 1 a 1 1 y′=3a2x2-4ax+1=0 得:x= 或 x= ,y=ax2-x+ 的对称轴为 x= .当 a<0 时,由 a 3a 2 2a a 1 1 1 1 1 < < 知 B 不对,当 a>0 时,由 > > 知 A,C 正确. 2a 3a a 2a 3a 6.(2015·新课标Ⅱ卷)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当

2 3

2

x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(A)
A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) 解析:记函数 g(x)= B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

f(x) xf′(x)-f(x) ,则 g′(x)= ,因为当 x>0 时,xf′ x x2

(x)-f(x)<0,故当 x>0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)单调递减,由因为函数

f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞,0)单调递减,且 g(-1)
=g(1)=0,当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)<0, 综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选 A. 答案:A

? 3 ? 7.函数 y=f(x)在定义域?- ,3? 内可导,其图象如图所示,记 y=f(x)的导函数为 ? 2 ?
y=f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集为(A)

8

? 1 ? A.?- ,1?∪[2,3) ? 3 ? ? 3 1? C.?- , ?∪[1,2] ? 2 2?
二、填空题

1? ?4 8? ? B.?-1, ?∪? , ? 2? ?3 3? ? 1? ?1 4? ? 3 D.?- ,- ?∪? , ? 2 3? ?2 3? ?

1 x 9.(2015·陕西卷)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 y=- . e 解析:由题知 y′=e +xe ,令 y′=0,解得 x=-1,代入函数解析式可得极值点的 1? 1 ? 坐标为?-1,- ?,又极值点处的切线为平行于 x 轴的直线,故方程为 y=- . e? e ? 三、解答题 10.已知函数 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有相 同的切线. (1)求实数 a,b,c 的值; (2)设函数 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的单调区间,并指出函数 F(x)在该区间上的单 调性. 解析:(1)因为函数 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0),
? ?2×2 +2a=0, 所以? 得 a=-8,4b+c=0. ?4b+c=0. ?
3 3 2 3 2

x

x

故 f(x)=2x -8x,f′(x)=6x -8. 又当 x=2 时,f′(x)=16,又 g′(x)=2bx, 所以 2b×2=16,得 b=4,c=-16. 所以 a=-8,b=4,c=-16. (2)因为 F(x)=2x +4x -8x-16, 所以 F′(x)=6x +8x-8.
2 3 2

3

2

9

2 由 F′(x)>0,得 x<-2 或 x> ; 3 2 由 F′(x)<0,得-2<x< . 3 所以,当 x∈(-∞,-2)时,F(x)是增函数;

?2 ? 当 x∈? ,+∞?时,F(x)也是增函数; ?3 ?
2? ? 当 x∈?-2, ?时,F(x)是减函数. 3? ? 11.(2015·新课标Ⅱ卷)设函数 f(x)=e +x -mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围. 解析:(1)证明:f′(x)=m(e -1)+2x. 若 m≥0,则当 x∈(-∞,0)时,e -1≤0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,e -1≥0,f′(x)>0. 若 m<0,则当 x∈(-∞,0)时,e -1>0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,e -1<0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故 f(x) 在 x=0 处取得最小值.所以对于任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1 的充要条件 是?
? ?f(1)-f(0)≤e-1, ?f(-1)-f(0)≤e-1, ? ?e -m≤e-1, ? 即? -m ① ? ?e +m≤e-1.
m mx mx mx mx mx mx
2

设函数 g(t)=e -t-e+1,则 g′(t)=e -1. 当 t<0 时,g′(t)<0;当 t>0 时,g′(t)>0. 故 g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 又 g(1)=0,g(-1)=e +2-e<0, 故当 t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当 m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当 m>1 时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,即 e -m>e-1; 当 m<-1 时,g(-m)>0,即 e +m>e-1. 综上,m 的取值范围是[-1,1].
-m -1

t

t

m

10


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