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全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B卷


全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准 (B 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如题一图, ABCD 是圆内接四边形. AC 与 BD 的交点为

P, E 是弧 AB 上一点, 连接 EP 并延长交 DC 于点 F , 点 G, H
分 别 在 CE , DE 的 延 长 线 上 , 满 足 ?E A G ? ? F A D ,

?EBH ? ?FBC ,求证: C , D, G, H 四点共圆.
[证] 由已知条件知

?FAG ? ?FAE ? ?EAG ? ?FAE ? ?FAD ? ?DAE .
…10 分 又 所以

?DAE ? ?DCE ? 180? ,
?FAG ? ?DCE ? 180? ,

题一图

从而 A, F , C , G 四点共圆,此圆记为 ?1 . 同理可证: B, F , D, H 四点共圆,此圆记为 ?2 . …20 分 点 E 在圆 ?1 , ?2 内.延长 FE 与圆 ?1 相交于点 I ,则

IP ? PF ? AP ? PC ? DP ? PB ,
故 B, F , D, I 四点共圆. 所以 I 在 ?BFD 的外接圆上,故 I 在 ?2 上. 再用相交弦定理: …30 分 …40 分

E C ?

E G ?

E? F

? E I

?E ,D E H
…50 分 答一图

故 C , D, G, H 四点共圆.

二、 (本题满分 50 分) 求满足下列关系式组

? x2 ? y2 ? 2z 2 , ? ? z ? y ? z ? 50,
的正整数解组 ( x, y, z ) 的个数. [解] 令 r ? y ? z ,由条件知 0 ? r ? 50 ,方程化为

x2 ? ( z ? r )2 ? 2z 2 ,即 x 2 ? 2 zr ? r 2 ? z 2 .
因 y ? z ? r ? 0 ,故 z 2 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? x2 ,从而 z ? x . 设 p ? z ? x ? 0 .因此(1)化为

(1)

?2zp ? p2 ? 2zr ? r 2 ? 0 .
下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数. 令 r ? 2r 1 ? 1 , p ? 2 p1 ? 1,代入(2)得

(2)

…10 分

2( p12 ? p1 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? r1 ) ? 1 ? 0 .

(3) …20 分

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解.

(ⅱ)当 r 为偶数时,设 r ? 2r 1 ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p ? 2 p1 ,代 入(2)化简得

p12 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? 0 .

(4)

2 2 由(4)式有 z( p1 ? r 1 ,从而可设 p1 ? r 1 ? a ,则(4)可化 1 ) ? p1 ? r 1 ? 0 ,故 p1 ? r 2 2 为 (r 1 ? a) ? za ? r 1 ? 0,

2r12 ? 2ar1 ? za ? a2 ? 0 .
2r12 ? 2r1 ? a 为整数,故 a 2r12 . 因z? a
又 z ? z ? x ? 2 p1 ? 2(r 1 ? a) ,因此

(5)

…30 分

(r1 ? a)2 ? r12 ? za ? 2(r1 ? a)a ,得 a2 ? 2r12 ,

a ? 2r1 .
2 因此,对给定的 r 1 ? 1, 2, ???, 25 ,解的个数恰是满足条件 a ? 2r 1 的正因数 a 的 1 的 2r

个数 N (r1 ) .因 2r12 不是完全平方数,从而 N (r1 ) 为 2r12 的正因数的个数 ? (2r12 ) 的一半.即

N (r1 ) ? ? (2r12 ) / 2 .
由题设条件, 1 ? r 1 ? 25 .而

…40 分

25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组: :

A1 ? {20 , 21, 22 , 23 , 24} ,
A2 ? {2 ? 3, 2 ? 5, 2 ? 7, 2 ?11},

A3 ? {22 ? 3, 22 ? 5} , A4 ? {23 ? 3} , A5 ? {2 ? 32 } ,
B1 ? {3,5,7,11,13,17,19, 23} ,

B2 ? {32 ,52} ,
B3 ? {3? 5,3? 7} ,
从而易知

N ( A1 ) ? N (20 ) ? N (21 ) ? N (22 ) ? N (23 ) ? N (24 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,
N ( A2 ) ? N (2 ? 3) ? 4 ? 6 ? 4 ? 24 , N ( A3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,

N ( A4 ) ? 12 , N ( A5 ) ? 10 ,
N ( B1 ) ? 3? 8 ? 24 , N ( B2 ) ? 5 ? 2 ? 10 , N ( B3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,
将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131. 三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2, …50 分

, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:
k ?1

2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3, (ⅱ) lim xn 存在;
n ??



(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,
k ?1 k ?0

2008

2007



[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 ? ? ak ( xn ? k ? xn ? k ?1 ) , n ? N ,

2008 k ?1

其中 x0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 ( xn?1 ? x1 ) ? a2 ( xn?2 ? x2 ) ?
n ??

? a2008 ( xn?2008 ? x2008 ) .

…10 分

由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ?
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ?
k ?1 2008

? a2008 (b ? x2008 )
? a2008 x2008 )

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

…20 分
2008 k ?1

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:

f ( s) ? ?1 ? ? ak s k , s ?[0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1

2008

因此方程 f ( s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .
k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2, k ?1 n

…30 分

,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n ?1 s0 ? s0 . 1 ? s0 n ?1 s0 ? s0 s ? 0 ,即 {xn } 的极限存在,满 n ?? 1 ? s 1 ? s0 0

n ?1 因 0 ? s0 ? 1,故 lim s0 ? 0 ,因此 lim xn ? lim n ??

n ??

足(ⅱ) .
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1 2008 k ?1 2008 k ?1 2008 k ?1 2008

…40 分

n k n n?k xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) .

综上,已证得存在数列 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) .

…50 分

高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(B 卷)以
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f ( x) ? A.3

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.2 C .1 D.0

( B )

[解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

1 ? 2, 当且仅当 而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 因此 f ( x) 在 (??, 2) ? 2 ? x 时上式取等号. 2? x
上的最小值为 2.

2,4) ,B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 2.设 A ? [?
A. [0,3) B. [0,3] C. [?1, 2) D. [?1, 2]

( A )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? ? 4? 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 ,乙在每局中获胜的概率为 3
( C )

1 , 且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 3

670 274 266 B. C. 243 81 81 [解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.
A. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

D.

241 81

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有
P(? ? 2) ? 5 , 9

4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 A. 586 cm3 C. 764 cm3 B. 586 cm3 或 564 cm3 D. 764 cm3 或 586 cm3 ( D )

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 ,不 妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 , c ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9,
2 2 2 2 2

8,7,6.

若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 92 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) .

0 ,b ? 4 , 若c ? 8, 则 a2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 ,b ? 5 . 但 2b ?3 从而 b ? 4 或 5. 若b ? 5,
2

则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.
2 2

若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但
2 2 2 2

b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a 2 ? 58 ? 36 ? 22 无解.

? a ? 2, ? a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ? c ? 7. ?c ? 9 ? ?
体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或 V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm3.

? x ? y ? z ? 0, 5. 方程组 ? 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ? xyz ? z ? 0, ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

( C )

? x ? ?1, ? x ? y ? 0, ? x ? 0, [解] 若 z ? 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy ? y ? 0. ? y ? 0 ? y ? 1.
若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ① ② ③

将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由①得 x ? ?

1 ,代入③化简得 ( y ?1)( y3 ? y ?1) ? 0 . y

易知 y3 ? y ?1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由①得 x ? ?1 ,由②得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,

? x ? 0, ? x ? ?1, ? 故该方程组共有两组有理数解 ? ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? z ? 0. ?z?0 ? ?
6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是 sin B cot C ? cos B
( B )

5 ?1 5 ?1 5 ?1 B. ( , ??) , ) 2 2 2 5 ?1 C. (0, D. (0, ??) ) 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而
A. (

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C

?

sin A( ? C ) ? sin B( ? C )

?s?i nB( ? ?s?i nA (

)B s i bn ? ?q. )A s i an

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且 只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组
2 2 ? ?a ? aq ? aq , ? ?q ? q ? 1 ? 0, 即? 2 ? 2 ? ?aq ? aq ? a ? ?q ? q ? 1 ? 0.

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2
,若

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,

f7 ( x) ? 128x ? 381 ,则 f2 (2) ?

17

.

[解] 由题意知 fn ( x) ? an x ? (an?1 ? an?2 ?

? a ?1)b

? an x ?

an ?1 ?b , a ?1 a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 . a ?1

由 f7 ( x) ? 128x ? 381 得 a 7 ? 128 , 因此

f 2 (2) ? 2a 2 ?

a2 ?1 22 ? 1 ?b ? 8 ? ? 3 ? 17 . a ?1 2 ?1
1 ,则 a ? 2

8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? [解] f ( x) ? 2cos2 x ?1 ? 2a ? 2a cos x

?2 ? 3



a 1 ? 2(cos x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2
(1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ?

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2
1 , 2

又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ?

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9. 将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 222 种.

[解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ?

? | ?? |

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方 法相当于 24 ? 2 ? 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “|”,故有 C2 种. 23 ? 253 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为 不定方程

x1 ? x2 ? x3 ? 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 2 . H3 ? C21 23 ? C23 ? 253

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ? [解] an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 即 2 a n ?1 ? =

n ?1 , n ? 1, 2, n(n ? 1)

,则 Sn =

1 1 ? n n ?1 2



n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ? 1)(n ? 2) n( n ? 1)

n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1)
?2 1 , ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 1 . ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

由此得 2 (a n ?1 ? 令 bn ? an ?

1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)

有 bn ?1 ? 因此

1 1 1 1 . bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? 2 2 n(n ? 1) 2

Sn ?

n ?1 1 1 1 1 ?( n ? )? ? n. n(n ? 1) 2 n(n ? 1) n ?1 2

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2009 ,且对任意 x ? R ,满足

)= f ( x? 2 )? f ( x ) ? 3 ?x , 2 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008
[解法一] 由题设条件知

22008 ? 2008



f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x ,故

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ?

? f (2) ? f (0) ? f (0)

? 3 ? (22006 ? 22004 ?
? 3? 41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1

? 22 ? 1) ? f (0)

? 22008 ? 2008 .
[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2008 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

72 3



[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小 球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与小球相切于点
D , 则 小 球 球 心 O 为 正 四 面 体 P ? A1 B1C1 的 中 心 ,

,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心. P O? 面 A 1 B 1 C 1

1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

? 4 ?VO? A1B1C1

答 12 图 1

1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况,易知小球在面 PAB 上最 靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P ,如答 12 图 2.记正四面体的棱长为 a ,过 1 EF

P1 作 PM ? PA 于 M . 1
因 ?MPP 1 ?

?
6

, 有 PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

3 ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 2

P ?2 P M ? 1 E? P A

? a 2 6. r

小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S?PEF ? 1

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以

S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 ? ,求证:

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
[证]

f ( x) 的图象与直线 y ? kx

(k ? 0) 的三个交点如答 13 图所
示,且在 (? ,
3? ) 内相切,其切点 2
3? ). 2

为 A(? , ? sin ? ) , ? ? (? ,

答 13 图

…5 分

3 sin ? 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , ? ) ,所以 ? cos ? ? ? ,即 ? ? tan ? . 2 ?
因此

…10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ? ? 1 4sin ? cos ?
…15 分

?

cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ?

?

1 ? tan 2 ? 4 tan ?

?
14.解不等式

1? ? 2 . 4?

…20 分

log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ?1) ? 1 ? log2 ( x4 ?1) .
[解法一] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .
即 分组分解

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x4 ? 1 ? 0 .

…5 分

x12 ? x10 ? x8
?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x6

?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4
? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x8 ? 2x6 ? 4x4 ? x2 ? 1)( x4 ? x2 ?1) ? 0 ,
所以

…10 分

x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x2 ?
所以 x 2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? )?0. 2 2

…15 分

?1 ? 5 ?1 ? 5 或 ?1 ? 5 . ,即 x ? ? x? 2 2 2

故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 ) ( 2

5 ?1 , ??) . 2

…20 分

[解法二] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .


…5 分

2 1 ? ? x 6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x6

(

1 3 1 ) ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x

…10 分

令 g (t ) ? t 3 ? 2t ,则不等式为

g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , x2

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x 2 ? 1, x2
即 ( x2 )2 ? x2 ?1 ? 0 ,解得 x 2 ? 故原不等式解集为 (??, ?

…15 分 ( x2 ? ?

5 ?1 2

5 ?1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 ) ( 2

5 ?1 , ??) . 2

15 .如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x ? 2 y ?1 ? 0 上的动点,点 B,C 在直线 x ? ?1 上,圆

x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.
[解] 设 P( x0 , y0 ), B(?1, b), C(?1, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b ( x ? 1) , x0 ? 1

化简得 ( y0 ? b) x ? ( x0 ? 1) y ? x0b ? y0 ? 0 . 又圆心 (0, ?1) 到 PB 的距离为 1,

x0 ? 1 ? x0b ? y0 ( y0 ? b) 2 ? ( x0 ? 1) 2


?1 ,

…5 分

( y0 ? b)2 ? ( x0 ?1)2 ? ( x0 ?1)2 ? ( x0b ? y0 )2 ? 2( x0 ?1)( x0b ? y0 ) ,
2 展开得 ( x0 ?1)b2 ? 2( x0 ?1)( x0 ? y0 )b ? 2 y0 ( x0 ?1) ? 0 ,易知 x0 ? 1 ,

题 15 图

故 ( x0 ?1)b2 ? 2( x0 ? y0 )b ? 2 y0 ? 0 , 同理有 ( x0 ?1)c2 ? 2( x0 ? y0 )c ? 2 y0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

2 y0 ?2( x0 ? y0 ) , bc ? , x0 ? 1 x0 ? 1
2 2 4( x0 ? y0 )2 ? 8 y0 ( x0 ? 1) 4 x0 ? 4 y0 ? 8 y0 . ? 2 ( x0 ? 1) ( x0 ? 1)2

(b ? c)2 ?

2 2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2x0 ? 2 y0 ?1 ? 0 ,即 y0 ? 2 y0 ? 2x0 ? 1,则 2 2 2 4x0 ? 4 y0 ? 8 y0 ? 4x0 ? 4(2x0 ?1) ? 4( x0 ?1)2 ,

2 2( x0 ? 1) 4 . 故 (b ? c)2 ? 4( x0 ? 1) , b ? c ? ? 2? 2 x0 ? 1 x0 ? 1 ( x0 ? 1)

…15 分

2( x0 ? 1) 所以 S?PBC ? 1 (b ? c)( x0 ? 1) ? (1 ? 2 )( x0 ? 1) ? x0 ? 1 ? 2 x0 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ? 3 ? 4 4 ? ( x0 ? 1) ? ?4?2 4?4?8. x0 ? 1 x0 ? 1

当 ( x0 ?1)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 3, y0 ? ?2 2 ?1 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. …20 分


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