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人教版高中数学选修2-2综合测试卷C(含答案)


数学选修 2-2 综合测试卷 C(含答案)
班别_______学号_____ 姓名__________

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题 目要求的.) 1.函数 y=x cosx 的导数为( (A) y′=2xcosx-x sinx (C) y′=x cosx-2xsinx )
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

2

) (B) y′=2xcosx+x sinx (D) y′=xcosx-x sinx
2 2
[来源:Zxxk.Com]

2

2

2.下列结论中正确的是(

(A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 (C)如果在 (D)如果在

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
*

3.某 个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时 该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 )

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

4.函数f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ? [0,1])的最大值是( ) 1 ( A)1 ( B) (C )0 ( D) ? 1 2
5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm, 为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( (A)0.28J (B)0.12J ) (C)0.26J (D)0.18J

6.给出以下命题:

⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0

,则 f(x)>0;



?

2? 0

sin xdx ? 4

;
a 0

? ⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则
其中正确命题的个数为( (A)1 7.若复数 (B)2 ) (C)3 (D)0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx



[来源:Zxxk.Com]

(a2 ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R)
(B) a ? ?1 且 a ? 2

不是纯虚数,则 a 的取值范围是( ) (C) a ? ?1 (D) a ? 2

(A) a ? ?1 或 a ? 2

1? 1? x x 8.设 0< a <b,且 f (x)= ,则下列大小关系式成 立的是( ).
a?b (A)f ( a )< f ( 2 )<f ( ab ) a?b (C)f ( ab )< f ( 2 )<f ( a )
题号 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 9.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x= 10.曲线 y=2x -3x 共有____个极值.
3 2

a?b (B)f ( 2 )<f (b)< f ( ab ) a?b (D)f (b)< f ( 2 )<f ( ab )
4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

, y=



[来源:学。科。网]

11.已知 f ( x) 为一次函数,且

f ( x) ? x ? 2? f (t )dt
0

1

,则 f ( x) =_______.

12.对于平面几何中的命题: “夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上 述命题,可以得到命题: “___________________________” 这个类比命题的真假性是________

1?
13.观察下列式子
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1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1? 2 ? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 , ? ? ,
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则可归纳出________________________________

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2 , 2) ,则复数 m ? pi 所对 14.关于 x 的不等式 mx ? nx ? p ? 0 (m、n、p ? R) 的解集为 (?1

应的点位于复平面内的第________象限. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/ 秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x + x-2 在点 P0 处的切线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线

3

l1 平行直线

l ? l1 , 且 l 也过切点 P ,求直线 l 的方程. 0

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? (a ?1) x ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成
3 2

??4, 4? 上的单调性,并证明你的结论. 中心对称, 试判断 f ( x) 在区间

PM ? BB1 18. (本小题满分 14 分)如图, 点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,
交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .
拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明.

b? R, a ? b ? e ( 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 ), 求 19. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 a 、
证: b ? a .(提示:可考虑用分析法找思路)
a b

20. (本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数

g ( x) ?

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

⑴ 当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值;

y?
⑶在⑵的条件下,求直线

2 7 x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的 图象所围成图形的面积.

参考答案
ABDAD BCD

5 9.x= 2 , y=4; 10.两 11. f ( x) ? x ? 1

12.夹在两个平行 平面间的平行线段相等;真命题.

1?
13.

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 2 3 (n ? 1) n ? 1 (n∈N*)

14.二

0≤t ≤
15.解:∵当

3 3 ≤t ≤5 v ( t ) ? 2 t ? 3 ≤ 0 2 时, ; 当2 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≥ 0 .

∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
5 S ? ? 2 (3 ? 2t )dx ? ? 3 (2t ? 3)dx 9 ? (10 ? 9 ) ? 29 0 4 2 (米) 2 =4 3

16.解:⑴由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 由已知得 3x +1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4).
2

3

2

1 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 4 , ⑵∵直线 ?
∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4)

1 y ? 4 ? ? ( x ? 1) 4 ∴直线 l 的方程为 即 x ? 4 y ? 17 ? 0 .

17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x.
3

? f ?( x) ? 3x2 ? 48, ∴当 x ? (?4, 4) ? f ?( x) ? 0

??4, 4? 上连续 又∵函数 f ( x) 在

所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

18.(1) 证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ; (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有
?为
2 2 2 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

,其中

平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角.
? CC1 ? 平面PMN , ?















?MNP

,



?PMN





PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN c ? oM s N ? P
2 2 2 PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP
1 1



由于 ∴有

SBCC1B ? PN ? CC , S ACC1A ? MN ? CC , S ABB1A ? PM ? BB1
1
1

1

1

1



2 2 2 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

.

a b 19.证明:∵ b ? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a

a

b

只要证: a ln b ? b ln a

ln b ln a ? a .(∵ a ? b ? e ) 只要证 b f ( x) ?
取函数

ln x 1 ? ln x f ?( x) ? x ,∵ x2

? ∴当 x ? e 时, f ( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (e, ??) 上是单调递减.
ln b ln a ? f ( b ) ? f ( a ) a .得证 ∴当 a ? b ? e 时,有 即 b

20.解:⑴∵

f ( x) ? ln x

,

∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x)

∴当 x ? 0 时,

f ?( x) ?

1 1 1 f ?( x) ? ? (?1) ? x ; 当 x ? 0 时, ?x x.

∴当 x ? 0 时,函数

y ? g ( x) ? x ?

a x. a x,

⑵∵由⑴知当 x ? 0 时,

g ( x) ? x ?

∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

a 时取等号.

∴函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 .

2 7 3 ? ? y ? x? x1 ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? 3 6 2 ? ,? ? ? 5 ? y ? 13 ? ? y2 ? 2 ?y ? x ? 1 1 ? 6 x 解得 ? ? ⑶由 ?
y?
∴直线

2 7 x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积

2 ? 2 7 1 ? S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx 7 ? ln 3 6 x ? = 24 2? 3


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