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课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 1. 熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一 步体会向量方法的作用. 2.了解差角公式产生的背景. 3.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用. 【核心扫描】 1.两角差的余弦公式.(重点) 2.用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(难点) 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 自学导引 两角差的余弦公式 名称 两角差 的余弦 简记符号 公式 cos(α-β)= 使用条 件 任意角 都成立 C(α-β) cos αcos β+sin αsin β 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 π π 想一想:当 α= ,β= 时,cos(α-β)=cos α+cos β 成立.那 2 4 么当 α、β∈R 时,cos(α-β)=cos α+cos β 恒成立吗? π π 提示 不恒成立,如 α=3,β=6时. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 名师点睛 正确理解 C(α-β)公式中的 α、β 为任意角 公式中的 α、β 不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团 体”, 比如 ?θ+φ θ-φ? θ+φ ? ? cos? - 2 ?中的“ 2 ”相当于角 2 ? ? θ-φ α, “ ” 2 相当于角 β,可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解 要注重结构形式,而不要局限于具体的角,完全可以把 α、β 视为一个“代号”,将公式记作 cos(△-□)=cos △cos □+sin △sin □. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 提醒 (1)由公式 C(α-β)推导公式 C(α+β),正是利用 α、β 的任意 性以-β 代换 β,再利用诱导公式推出的. (2)公式 C(α-β)的结构特点 ①同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦. ②把所得的积相加. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 题型一 运用公式求值 【例 1】 求 cos 105° +sin 195° 的值. [思路探索] 195° =90° +105° ,而 105° =135° -30° . 解 cos 105° +sin 195° =cos 105° +sin(90° +105° ) =cos105° +cos105° =2cos105° =2cos(135° -30° ) =2(cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° ) ? =2? ?- ? 2- 6 2 3 2 1? ? × + × ?= 2 . 2 2 2 2? 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 规律方法 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值 时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如 30° ,45° ,60° , 90° ,120° ,150° ,…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化 简求值. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【变式 1】 求下列三角函数式的值. π (1)cos 12; (2)cos 15° cos 105° +sin 15° sin 105° ; ?π π ? π π π π π ? ? 解 (1)cos =cos 4-6 =cos cos +sin sin 12 4 6 4 6 ? ? 2+ 6 2 3 2 1 = 2 × 2 +

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