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高中数学完整讲义——空间向量与立体几何3.用空间向量判断位置关系

高中数学讲义

板块三.用空间向量判断位置 关系 典例分析
∠AOB ? ∠BOC ? ∠AOC , A O ? B O C? 【例1】 已知空间四边形 OABC 中, 且O BC 的中点, G 是 MN 的中点,求证: OG ? BC . N 分别是 OA 、 , M、

【例2】 如 图 , 已 知 平 行 六 面 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 a 的 菱 形 , 且

∠C1CB ? ∠C1CD ? ∠BCD ? 60? ,
⑴ 求证: C1C ? BD ; ⑵ 当
CD ? 平面 C1 BD ? 的值为多少时,能使 AC 1 CC1
B1 C1 D1 A1

B C D

A

?BAC ? 60° . 【例3】 已知 ?ADB 和 ?ADC 都是以 D 为直角顶点的直角三角形,且 AD ? BD ? CD ,

⑴求证: BD 是平面 ADC 的法向量; ⑵若 H 是 ?ABC 的垂心,求证: DH 是平面 ABC 的法向量.

【例4】 如图,在五棱锥 S ? ABCDE 中, SA ? 底面 ABCDE ,

SA ? AB ? AE ? 2 , BC ? DE ? 3 , ?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120° .证明: BC 是平面 SAB 的
法向量.

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S

A E B D C

【例5】 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直,?ABE 是等腰直角三角 形, AB ? AE , FA ? FE , ?AEF ? 45? . ⑴ 求证: EF ? 平面 BCE ; ⑵ 设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM ∥平面 BCE ?若存在,请 指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; ⑶ 求二面角 F ? BD ? A 的大小.
E

F

A D P C

B

【例6】 如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD ∥ BC ∥ FE , AB ? AD , M 为 EC 的

1 中点, AF ? AB ? BC ? FE ? AD . 2 ⑴ 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; ⑵ 证明平面 AMD ? 平面 CDE ; ⑶ 求二面角 A ? CD ? E 的余弦值.
F E

M A B C D

【例7】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC ,

E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F . ⑴证明: PA∥平面 EDB ;

2

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⑵证明: PB ? 平面 EFD ; ⑶求二面角 C ? PB ? D 的大小.
P F

E

D A B

C

【例8】 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE ∥ CF ,
?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ? 3 , EF ? 2 .

⑴ 求证: AE ∥平面 DCF ; ⑵ 当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 ? ?
D A C

B E

F

【例9】 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? 2 ,?PDA ? 45? , 点E、

F 分别为棱 AB 、 PD 的中点.
P

F

E B

A C

D

⑴ 求证: AF ∥平面 PCE ; ⑵ 求证:平面 PCE ? 平面 PCD ; ⑶ 求三棱锥 C ? BEP 的体积.

【例10】 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P , PA ? 平面 ABCD , E 、 F 、G 分别是 AB 、 PC 、
CD 的中点, PA ? AB ? AD ? 1 ,

⑴ 求证: EF ∥平面 PAD ; ⑵ 求证: EF ? CD , EF ? PD ,且 EF ?

1 PD ; 2

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⑶ 求直线 PD 与 AC 所成的角; ⑷ 求直线 AP 与平面 PCD 所成的角; ⑸ 求平面 PAB 与平面 PCD 所成的角.
P

F E B A C G D

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