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高中数学联赛模拟试题(13)


高中数学联赛模拟试题(13)
第一试
一、填空题 1、已知函数 f ( x) ? log 2 x ,若实数 a、b (a ? b) 满足 f (a ) ? f (b) ,则 a ? 2014b 的取值范围 2、函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a、b ? Z )满足 ?x f ( x) ? 0? ? x f ? f ( x) ? ? 0 ,则 a 的最大值 为 。 3、设复数 z1 ? (6 ? a) ? (4 ? b)i , z2 ? (3 ? 2a) ? (2 ? 3b)i , z3 ? (3 ? a) ? (3 ? 2b)i ,其中 a、b ? Z 则当 z1 ? z2 ? z3 取到最小时, 3a ? 4b = 。 4、如图有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长 为 6 的正三角形,容器里装满了水,现有一个正四棱柱,底面边长 为 a (a ? 6) ,高为 h(h ? 6) ,竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的 水最多,a 的值应取为 。 5、在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , ?BAC ? ,P 是 ?ABC 所在平 6 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 面上任意一点,则 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的最小值为 。 1 6、正项数列 {an } 满足 S n ? n ,则 2n ? an = 。 4 ? an
9? ? 7、设过点 M (2,0) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于点 A、B,与圆 ? x ? ? ? y 2 ? 16 交于点 C、 2? ? D,若 AC ? BD 且 AB ? CD ,则这样的直线 l 的条数是 。
2





?

?

?

8、6 名男生和 x 名女生随机站成一排,每名男生都至少与另一男生相邻。至少有 4 名男生 1 站在一起的概率为 p,若 p ? ,则 x 的最小值为 。 100 二、解答题
2 ? 9、已知正项数列 {an } 满足: an an?1 ? 3an an?2 ? 5 an an?1 ? 3an ,且 a1 ? 2 , ?1 ? 4 an an?1 ? n ? N ?

a2 ? 10 。求数列 {an } 的通项公式。 10、二次函数 f ( x) 的图像开口向上,与 x 轴正向交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,以 D f ( x) 为顶点,若 ?ABC 的外接圆与 y 轴相切,且 ?DAC ? 150? ,则当 x ? 0 时,求 的最 x 小值。 x2 11、已知圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? R2 与椭圆 ? y 2 ? 1 有公共交点,求圆的半径 R 的最小值。 4

加试
一、若数列 ?an ? 是项为非负整数的不减数列,且满足对任意的 n ? N? ,只有有限个正整数 m 使得 am ? n 成立,记这样的 m 的个数为 ? an ? ,则得到一个新数列
*

定义数列
* * n

???a ? ? ? 等。求证:
* * n
n

?? a ? ? ,如此可
* n

?? a ? ? ? a 。
二、如图, ? O1 、 ? O2 与 ? O3 相交于点 P, ? O1 和 ? O2 的另一个交点为 A,经过点 A 的一 条直线分别交 ? O1 、 ? O2 于点 B、C,AP 的延长线交 ? O3 于点 D,作 DE∥BC 交 ? O3

于点 E,再作 EN、EM 分别切 ? O1 、 ? O2 于 N、M,求证:
EM 2 ? EN 2 ? DE ? BC 。

B N O1 P O2 O3

A

E

C
足: p | 20142 ? 2014 。
n

M

D

三、求证:存在无穷多个素数,使得对于这些素数中的每一个 p,至少存在一个 n ? N ,满 四、平面上有 4n(n ? N? ) 个半径相同的圆,其中任意两个圆都不相切,任意一个圆至少与另 外三个圆相交。设这些圆的交点个数为 f (n) ,求 f (n) 的最小值。


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