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(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:专题八第三讲综合验收评估(北师大版)1

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一、选择题 1.正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为 2 和 4 的矩形,则它的体积为 8 A.9 3 2 C.9 3 解析 4 B.9 3 4 8 D.9 3或9 3 矩形的其中一条边的长度为正三棱柱的高, 因此可分高为 2 或 4 两种

情况进行讨论求解. 答案 D

3 2.(2011· 南昌模拟)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率 4 为 5 A.4 5 5 C.4或3 解析 5 B.3 3 4 D.5或5 b 3 5 当双曲线的焦点在 x 轴上时,a=4,∴e=4,

b 4 5 当双曲线的焦点在 y 轴上时,a=3,∴e=3. 答案 C

3.已知集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|ax-1=0},若 A∩B=B,则 a 的 值是 A.-1 1 C.0 或2 解析 1 B.-1 或2 1 D.-1 或 0 或2

A={-1,2},当 a=0 时,B=?,A∩B=B;
? ?

?1? 当 a≠0 时,B=?a?,

1 1 1 ∴-1=a或 2=a,得 a=-1 或 a=2.故选 D. 答案 D

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4.已知 f(x)、g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x)、g(x)均 为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 解析 若 f(x)、g(x)均是偶函数, B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

则 h(x)=f(x)+g(x)是偶函数; 当 h(x)=f(x)+g(x)是偶函数时,例如 f(x)=x,g(x)=-x,f(x)与 g(x)显然不 是偶函数,故选 A. 答案 A

?a ?a≤b? 5.对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? ,则函数 f(x) ?b ?a>b? 1 =log2(3x-2)*log2x 的值域为 A.(-∞,0] 2 ? ? C.?log23,+∞? ? ? 解析 根据题目给出的情境可得, 2 ? ? B.?log23,0? ? ? D.R

1 ? 1 ? f(x)=log2(3x-2)*log2x=log2?3x-2?*log2x ? ? 1 ?log23x-2 ?x≥1? ? =? 2 ? ? ?log2x ?3<x<1? ? ? ?

.

由于 y=log2x 在定义域上为增函数, 可得 f(x)的值域为(-∞,0]. 答案 A

6.如图所示,在△AOB 中,点 A(2,1),B(3,0),点 E 在射线 OB 上自 O 开 始移动.设 OE=x,过 E 作 OB 的垂线 l,记△AOB 在直线 l 左边部分的面积为

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S,则函数 S=f(x)的图象是

解析

1 1 1 当 0≤x≤2 时,S=2· 2x=4x2; x·

1 1 当 2<x≤3 时,S=1+2(x-2)(4-x)=-2x2+3x-3; 3 当 x≥3 时,S=2,故选 D. 答案 D

二、填空题 7.已知定义在闭区间[0,3]上的函数 f(x)=kx2-2kx 的最大值为 3,那么实数 k 的取值集合为________. 解析 f(x)=kx2-2kx=k(x-1)2-k,

(1)当 k>0 时,二次函数开口向上,当 x=3 时,f(x)有最大值, 即 f(3)=3k=3,解之得 k=1; (2)当 k<0 时,二次函数开口向下,当 x=1 时,f(x)有最大值, 即 f(1)=-k=3,解之得 k=-3; (3)当 k=0 时,显然不成立. 答案 {1,-3}

8.过点 M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 作切线,所得切线方程是________.
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解析

(1)当斜率 k 不存在时,x=2 符合题意;

(2)当斜率 k 存在时,设切线方程为 y-4=k(x-2), 即 kx-y-2k+4=0, 圆心(1,-3)到切线的距离为 d= |k+3-2k+4| =1. 1+k2

24 解得 k= 7 ,即切线方程为 24x-7y-20=0. 综上,切线方程为 x=2 或 24x-7y-20=0. 答案 x=2 或 24x-7y-20=0

9.已知函数 y=ax-a-x(a>0 且 a≠1),则当 a________时,此函数是增函 数. 解析 y′=axln a+a-xln a=(ax+a-x)ln a>0,

∵ax+a-x>0 恒成立,故 ln a>0,即 a>1. 答案 >1

三、解答题 π? ? 10.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域为?0,2?, ? ? 值域为[-5,1],求常数 a,b 的值. 解析 π? ? f(x)=a(1-cos 2x)- 3asin 2x+a+b=-2asin ?2x+6?+2a+b, ? ?

π? π? π ?π 7 ? 1 ? ? ∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6,6π?.∴-2≤sin?2x+6?≤1, ? ? ? ? ? ? 因此,由 f(x)的值域为[-5,1]

?a>0 ? ? 1? 可得?-2a×?-2?+2a+b=1 ? ? ?-2a×1+2a+b=-5 ?
?a=2 ?a=-2, 解得? 或? ?b=-5 ?b=1.

?a<0, ?-2a×1+2a+b=1, 或? ?-2a×?-1?+2a+b=-5, ? 2? ? ? ?

→ → 11.在△ABC 中,设AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 解析 因为△ABC 是直角三角形,所以
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→ → 当∠A=90° ,则AB⊥AC, 2 于是 2×1+3×k=0,得 k=-3. → → 当∠B=90° ,则AB⊥BC, → → → 又BC=AC-AB=(-1,k-3), 11 故 2×(-1)+3(k-3)=0,得 k= 3 . → → 当∠C=90° ,则AC⊥BC, 故 1×(-1)+k(k-3)=0,得 k= 3± 13 2 .

2 11 3± 13 综上所求 k 的值为-3或 3 或 2 . 12.已知 f(x)= x 1 ,数列{an}满足 a1=3,an+1=f(an) (n∈N+). 3x+1

?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列; ? n?

x x2 xn (2)记 Sn(x)=a +a +?+a (x>0),求 Sn(x).
1 2 n

解析 ∴ 1

(1)证明

3an+1 an 1 1 由已知得 an+1= ,∴ = a =3+a . 3an+1 an+1 n n
? n?

an+1

?1? 1 -a =3.∴?a ?是首项为 3,公差为 3 的等差数列.
n

1 (2)由(1)得a =3+3(n-1)=3n,
n

∴Sn(x)=3x+6x2+9x3+?+3nxn. x=1 时,Sn(1)=3+6+9+?+3n= 3?n+1?n ; 2

x≠1 时,Sn(x)=3x+6x2+9x3+?+3nxn, xSn(x)=3x2+6x3+?+3(n-1)xn+3nxn+1, 3x?1-xn? (1-x)Sn(x)=3x+3x2+?+3xn-3nxn+1= -3nxn+1, 1-x Sn(x)= 3x-3?n+1?xn+1+3nxn+2 . ?1-x?2

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3 综上,当 x=1 时,Sn(1)=2n(n+1), 3x-3?n+1?xn+1+3nxn+2 当 x≠1 时,Sn(x)= . ?1-x?2

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