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27318经济数学复习题

经济数学复习题
一、单项选择题 1.设 A,B 为两事件, 则事件 ( A ? B) B =( ) A. B B.AB C. A ? B D.A

2.从 0,1,2,...,9 等 10 个数字中任取一数,有放回地抽取 4 次,则数字 3 至少出现一 次的概率为( ) A. 1
10

B. ( 9 )4
10

C.

4 10

9 D. 1? ( ) 4 10

3.设 P ( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.3 ,且 A? B 互不相容? 则 P(A|B)?( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0

4.已知事件 A 与 B 相互独立,P(A)>0,P(B)>0,则下列等式中不成立的是( ) 。 A.P(A+B)=P(A)+P(B) C. P( B | A )= P( B ) 5.设 X 的分布律为 B. P(A|B)= P(A) D. P( AB )= P(A) P( B )

X
P 则 X 的数学期望为( ) A.0?1 B.2?1

1 1 2

2 3 10 C 0?2

3 2 10

4 1 10 D.0?5
2

( x ? 3) }, ?? ? x ? ?? , 6.设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? 1 exp{? 4 2 ?

则下列随机变量 Y ? N (0,1) 的是( A. Y ? 1 ( X ? 3) 2

).

B. Y ? 1 ( X ? 3) C. Y ? 1 ( X ? 3) D. Y ? 1 ( X ? 3) 2 2 2 7.已知随机变量 X 的概率分布律为:P(X?k)?ak(k?1? 2? ???? n)? 则常数 a?( ) A. 1 10 B.
1 n

C.

1 n2

D.

2 n(n ?1)

8.已知离散型随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布(Poisson)分布? 则随机变量 Y?3x?8 的数 学期望 E(Y)?( ) A.27 B.1 C.-8 D.-7

9.设 X、 Y 为相互独立的两个随机变量, D(X)=25,D(Y)=4,则随机变量 2X-3Y 的方差是 ( ) A. 4 B. 38 C.136 D.62

10. 设 X1? X2? ??? ? Xn 为来自指数分布总体 E(λ) 的一个随机样本 ?λ > 0 是未知参数 ? 记
X? 1 n 1 X i ? 则 的无偏估计为( n? ? i ?1

) C.

1 A. X 3

B.

1 X 2

2 X 3

D. X )恒成立.

11.设 A、B 为两个事件,若 A ? B ,则下列结论中( A.事件 A、B 互斥 C.事件 A 、B 互斥

B.事件 A、 B 互斥 D. 事件 A 、 B 互斥

12.已知 P(A∪B)=0.8, P(A)=0.4, P(B)=0.6, 则 P(AB)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5

13.设某批产品共 50 件? 其中有 5 件次品? 现从中任取 2 件? 则其中恰有一件次品的概率为 ( ) A.
1 10

B.

9 10

C.

198 245

D.

9 49

14.已知 P(A)?0.5? P(B)?0.4? P(AB)=0.2,则 P( A| B) =( ) A. 0.2 15.设 X 的分布律为 X P 则 k=( ) A. 0.2 B.0.3 C.0.4 D. 0.1 )
x?0 ?0, ? 1 ? 2 16.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ? Ax , 0 ? x ? 2 ,则常数 A 等于( ?1, x?1 ? ? 2 A.2 B.4 C.6 D. 8 17.设随机变量 X~N(1,4),则下列随机变量( ) ~N(0,1).

B. 0.5

C. 0.7

D. 0.3

-1 k

0 0.2

1 0.3

2 0.4

A.

X ?1 2

B.

X ?1 2

C.

X 2

D.

X 4

18.若随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布,则结论( A.
E( X ) ?1 D( X )

)是错误的。

B. E( X 2 ) ? E( X )[ E( X ) ? 1]

C. E ( X ) ? ?

D. E ( X ? ? )2 ? 0

19.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N (0,1) , Y1 ,? , Y9 是来自总体 Y 的样本, 统计量 T ? A. T ~ t (9)
X (Y ? ? ? Y92)/9
2 1

,则下列正确的是( C. T ~ ? 2 (9)

) D. T ~ ? 2 (8)

B. T ~ t (8)

1 ? ? X1 ? cX 2 是 μ(??0)的无偏估计量, 20.设 X1, X2 是来自正态总体 X ~N(μ? ?2)的样本? 若 ? 3
则常数 c=( ) A.
1 6

B.

1 3

C. 1

D.

2 3

21.事件 A, B, C 中恰好有两个发生的事件是( ) A. ABC ? ABC ? ABC ? ABC C. ABC ? ABC ? ABC B. AB ? AC ? BC D. A ? B ? C

22.10 把钥匙中有 3 把钥匙能打开门锁,任取 2 把钥匙,设事件 A 表示其中恰好有 1 把钥 匙能把门锁打开,则概率 P(A)=( ) A.
1 15

B.

7 15

C.

1 10

D.

3 10

23.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为 次数为 3 的概率是( ) A.

3 ,他连续射击直到命中为止,则射击 4

27 64

B.

9 64

C.

3 64


D.

18 64

24. 设事件 A 与 B 互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则( A. P( A) ?1? P( B) C. P( A? B) ?1

B. P( AB) ? P( A)P(B) D. P( AB) ?1

25.设随机变量 X 的分布函数为 F(x),下列结论中不一定成立的是( ) A. F (??) ?1 B. F (??) ? 0 C. 0 ? F ( x) ? 1 D. F(x)为连续函数

26.设随机变量 X~U(2,4)(均匀分布) ,则 P(3? X ? 4) ?( ) A. P(2.25 ? X ? 3.25) C. P(3.5 ? X ? 4.5) B. P(1.5 ? X ? 2.5) D. P(4 ? X ? 5)

27.已知连续型随机变量 X 的概率密度函数是 p( x) ? A.N(-1,2) B.N(-1,4)

1 2 2?

e

?

( x ?1)2 8

? 则 X~( )

C.N(-1,8)

D.N(1,4) )

28.设离散型随机变量 X、Y 相互独立,X~B(16,0.5),Y~P(9),则 D(X-2Y+1)=( A. -14 B.13 C.40 D.41

29.设 X1? X2? ??? ? Xn 为来自均匀总体 X~[2θ? 6θ]的一个随机样本?θ>0 是未知参数? 记
X? 1 n X i ? 则 θ 的无偏估计为( n? i ?1

) C.

A.

1 X 2

B.

1 X 4

1 X 6

D. 2 X

30. 设随机变量 X ~B(20,0.2),则 E(X2)=( ) A.12.8 B.7.2 C.16 D.19.2

31.以 A 表示事件“甲种产品畅销? 乙种产品滞销”? 则其对立事件 A 为( ) A. 甲种产品滞销,乙种产品畅销 B. 甲、乙两种产品均畅销 C. 甲种产品滞销 D. 甲种产品滞销或乙种产品畅销 32.对于任意两个事件 A, B ,有 P(A ? B)= ( ) A. P(A) ? P(B ) B. P(A) ? P(B)+P( AB) C. P(A) ? P(AB ) D. P(A)+P( B) ? P( AB)

33.从一副 52 张的扑克牌中任意抽取 5 张? 其中没有 A 字牌的概率是( ) A.
48 52

B.

5 C 48 5 C52

C.

5 C48 52

D.

485 525

34.设 P(A)?0?5? P(B|A)?0?8? 则 P(AB)?( ) A.0.5 B.0.6 C.0.8

D.0.4

3 7 35.设 A,B 为两事件,且 P(A)= ,P(A ? B)= ,若事件 A,B 相互独立,则 P(B) 10 5 =( )
1 1 1 2 B. C. D. 16 4 10 5 36.设 X 是一个离散型随机变量,则( )可以作为 X 的分布律.
A. A. p, p (p 为任意数)
2

B. 0.1,0.2,0.3,0.4

C.

n2 , n ? 1,2,... n!

D.

22 ?3 e , n ? 0,1,2,... n!
x ? [0, r ] 其他

? x, 37.设随机变量 X 的密度函数为 p( x ) ? ? ?0,

,则常数 r ? (



1 B.1 C. 2 D.2 2 38.设 X~B(n,p) ,若 E(X)=1.6,D(X)=1.28,,则参数 n,p 的值为( ) A. n=2,p=0.8 B. n=4,p=0.4 C. n=8,p=0.2 D. n=16,p=0.1
A. 39.设 X1 , X 2 , ??? , X n1 是来自正态总体 N(μ? ?2)(μ? ?2 均未知)的一个样本,则( )是统 计量。

X1 D. ? X ?2 40. 设 X1? X2? ??? ? Xn 为来自均匀总体 [θ? 3θ] 的一个随机样本 ?θ > 0 是未知参数 ? 记
A. X 1 B. X ? ? C.
X? 1 n X i ? 则 θ 的无偏估计为( n? i ?1



A.

1 X 3

B.

1 X 2

C.

2 X 3

D. 2 X

41.甲、乙两个球队进行比赛,假设有 3 种可能的结果:甲胜、乙胜与平局。考虑事件 A 表示“甲胜乙负” ,则其对立事件 A 为( ) A.甲胜而乙胜 B.甲和乙平局 C.甲胜或平局 D.乙胜或平局 42.已知 A、B 为两个事件,P(A)>0,P(B)>0,若 A ? B ,则下列等式中( )恒成立 A. P(A+B)=P(A)+P(B) B. P(A-B)=P(A)-P(B) C. P(AB)= P(A) P(B) D. P(B|A)=1 43.从 1~9 九个数字中? 任取 3 个排成一个三位数? 则所得三位数为偶数的概率是( ) A.
4 9

B.

5 9

C.

1 3

D.

1 9

44.设 A? B 为两事件? P(A)= A.

1 2 3 , P(A|B)= , P( B | A )= ,则概率 P(B)=( ) 3 5 3
C.

1 5

B.

2 5

3 5
x ? [0, A] 其他

D.

4 5

ì ? 2 x, 45.设随机变量 X 的密度函数为 p( x) = ? í ? ? ? 0,

,则常数 A=( )

A.

1 5

B.

1 2

C.1

D.2

?0, ? 46.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) ? ? x 4 , ? 1, ?

1? ? 0 ? x ? 1, 则 P ? X ? ? =( 2? ? x ? 1.

x ? 0,



A.

1 16

B.

15 16

C. 1

D.

1 8

47.设随机变量 X~N(6? 9)? 若 aX?2~N(0? 1)? 则 a?( ) A. 1 B.2 C.

1 2

D.

1 3

48.已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布(Poisson)分布? 则随机变量 Y?3X?2 的 数学期望 E(Y)?( ) A.10 B.4 C.-2 D. ?

1 2

49.设总体 X 的均值 μ 与方差? 2 都存在? X1, X2, ???, Xn 是该总体的一个样本? 则总体方差? 2 的无偏估计为( ) A. X B.
1 n ( X i ? X )2 n? i?1

C.

1 n ( X i ? X )2 n ?1 ? i ?1

D.

1 n 2 Xi n? i?1

50.设连续型随机变量 X~N(1,1),则连续性随机变量 Y=-X 的数学期望、方差分别为( ) A. E(Y)=-1,D(Y)=-1 B. E(Y)=-1,D(Y)= 1 C. E(Y)=1,D(Y)=-1 D. E(Y)=1,D(Y)= 1 51.从一大批产品中任抽 5 件产品,事件 A 表示“这 5 件产品中至少有 1 件废品”, 事件 B 表示“这 5 件产品都是合格品”,则事件 AB 表示( ) A.所抽 5 件产品均为合格品 B.所抽 5 件产品均为废品 C.不可能事件 D.必然事件 52. 已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5, 则 P( AB )=( ) A.0.8 B.0.9 C.0.3 (A) 0.8? (B) 0.9? (C) 0.3? (D) ? 0.2. 53.设 P(A)?0?4? P( BA) =0.3, P( B| A) ?( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D. 0.8 54.已知事件 A 与 B 相互独立,P(A)>0,P(B)>0,则下列等式中( )恒成立。 A. P(A+B)=P(A)+P(B) C. P(A+B)=1 B. P(A+B)=1-P( A )P( B ) D. P(A+B)=P(A) D.0.2

55.事件 A 在一次试验中发生的概率为 1 ? 则在 3 次独立重复试验中? 事件 A 恰好发生 2 次 4 的概率为( )

A.

1 16

B.

1 4

C.

9 64

D.

3 64

x?0 ?0, ?1 56. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)? ? x, 0 ? x ? 4, 则 F(3)?( ) 4 ?1, x?4 ?
A. 0 B.

1 3

C.

3 4

D. 1

57.已知连续型随机变量 X 服从参数为 A. F (1) ? F ( )
1 2

1 的指数分布? 则 P(2<X<4)?( ) 4
x

4 ? 1 1 1 1 1 B. ( ? ) C. ? D. ? e 4 dx 2 4 e e e e 58.设 X 为随机变量,若数学期望 E(X)存在,则数学期望 E(E(X))=( ) A.0 B. E(X) C.E(X2) D. (E(X))2 59. 设 X 1 , X 2 , ??? , X n 是来自正态总体 N(μ? ?2)(μ? ?2 均未知)的一个样本,则( )是统

计量.

X1 D. X ? ?2 60.设 X1? X2? ??? ? Xn 为来自指数分布总体 E(θ)的一个随机样本?θ>0 是未知参数? 记
A. B. X ? ? C.
X? 1 n X i ? 则 θ 的无偏估计为( n? i ?1

X ??



A. X 二、判断改错题 1. ( A ? B) ? B ? A 。

B.

1 X

C.

1 2X

D. 2 X

2.设 P(AB)=0,则 AB 是不可能事件。

3.概率为 0 的事件与任何事件都是独立的。

4.若 p( x) 是随机变量 X 的概率密度函数,Y=g(X)为 X 的函数,且 ? 绝对收敛,则 ?
?? ??

??

??

g ( x) p( x)dx

g ( x) p( x)dx 是随机变量函数 Y 的数学期望。

5.指数分布的方差和数学期望相等。

6.随机变量 ? 和 ? 相互独立与 ? 和 ? 不相关互为充要条件。

7.两个服从泊松分布的随机变量之和仍然服从泊松分布。

8.若总体的数学期望存在,则样本方差是总体数学期望的无偏估计。

9. ( A? B) ? B ? A 。





10.若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B 也相互独立。 11.n 重贝努利试验是由一个试验做 n 次构成。 12.随机变量的分布函数 F ( x) 是连续函数。 13.任何分布的数学期望都存在。 14.指数分布的方差与数学期望相等。 15.有限个正态分布随机变量的和仍然服从正态分布。 16.假设检验是以小概率原理为依据的。 17. ( A? B)( A? B) ? AB 。

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )





18.两个事件相互独立与两个事件互不相容互为充要条件。





19.泊松分布的实际背景是贝努利概型。





20.泊松分布 P(λ)的数学期望和方差互为倒数。





21.任一非负函数 p( x) 若满足 ?

??

??

p ( x ) ? 1 ,则 p( x) 可作为某一连续型随机变量的概率密度

函数。





22.设 X1, X2 , ???, Xn 为独立同分布的随机变量? 且 X1 ~ N (?,? 2 ) ,则有 X ~ N (? , ? 2 ) 。 ( 23.设 X1, X2 , ???, Xn 是来自总体的一个样本, 则 X1, X2 , ???, Xn 的函数一定是统计量。 (

) )

24. 置信度为 90%的置信区间是指每 100 个随机区间中约有 90 个含待估参数的真值。 ( ) ( )

25. A ? ( A ? B) ? B ? ? 。

26.若事件 A 与 B 互不相容,则事件 A 与 B 互为对立事件。





27.零概率事件一定是不可能事件。





28.离散型随机变量的分布函数是分段连续函数。





29.若 X、Y 为两个随机变量,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)





30.总体参数的矩估计是用样本原点矩估计总体的原点矩,用样本中心矩估计总体的中心 矩。 ( )

? ) ? D(? ? ) ,则 ? 均是参数 ? 的无偏估计量,若 D(? 31.设总体的分布函数为 F ( x,? ) , ??1 与 ? 1 2 2 ? 有效。 ??1 比 ? 2
( )

32.设( X 1 , X 2 ,?, X n )是来自总体 X ~ N (?, ? 2 ) 的一个样本, ? 为未知参数, ? 已知,

则 ? 的置信水平为 0.95 的置信区间是[ X ? u ?
2

?
n

, X ? u?
2

?
n

]。





33. ( A? B) ?C ? A? B ?C 。





34.若事件 A、B、C 满足 A+C=B+C,则 A=B。





35.互不相容的事件不一定相互独立。





36.如果 ?

??

??

p ( x)dx ? 1 ,则 p( x) 是某一随机变量的概率密度函数。





37.方差是反映随机变量取值与平均值的偏离程度的数字特征。





38.若 p( x) 是随机变量 X 的概率密度函数, 且 ? g ( x) p( x)dx 绝对收敛, 则 ? g ( x) p( x)dx 是
?? ??

??

??

随机变量函数 g(X)的数学期望。





39.泊松分布的数学期望和方差相等。





?) 不一定是对应参数函数 g (? ) 的无偏估计。 40.参数 ? 的无偏估计 ?? 的函数 g (?
41.若 A ? B ,则 B ? A 。 (

( )



42.对立事件一定互不相容。





43.若 p( x) 是随机变量 X 的概率密度函数, 且 ? xp ( x)dx 绝对收敛, 则 ? xp ( x)dx 是随机变
?? ??

??

??

量 X 的数学期望。





44.正态分布随机变量的参数 σ 是随机变量取值的对称中心。





15.指数分布的数学期望和方差相等。





46.若随机变量 ? 和 ? 不相关,则 ? 和 ? 独立。





2 2 47.设 ? ~ N (a1 ,?12 ),? ~ N (a2 , ? 2 且 ? 和 ? 独立, 则 ? ? ? ~ N (a1 ? a2 ,?12 ? ? 2 ), )。





48.设( X 1 , X 2 ,?, X n )是来自总体 X 的一个样本,则不含任何未知参数的 X 1 , X 2 ,?, X n 的 函数 f ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 是一个统计量。 ( )

三、填空题 1. 打靶两次,记事件 A={恰有一弹中靶} ,B={至少有一弹中靶} ,C={两弹都中靶} , D={两弹都没中靶} ,则互为对立事件的是________。 2. 将标号为 1? 2? ???? n 的 n 只球随机排成一行? 则第 1? 2 号球相邻的概率为 3. 已知 P(A∪B)=0.6, P(B)=0.4, P(AB)=0.3, 则 P(A)= 。 。 。

?1 ? e?5 x , x ? 0, 4.已知随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ? 则 P??1 ? X ? 2? = ? 0, x ? 0.

5.若 X ~ N (2,9) ,Φ ( x) 是标准正态分布函数,Φ (2) =0.9772,则 P ? X ? 2 ? 6? =______。 6. 设随机变量 X 的分布律为

X
P

-2 0.1

0 0.3

1 0.5

2 0.1

则 Y ?| X | 的分布律为 。 7.设 X1 , X 2 , ???, X n 为总体 N (0,1) 的简单随机样本,则样本均值 X ? 8. 在正态总体中? 若 ? 未知,检验假设 H 0 :? ? ?0 时? 用
1 n ? Xi ~ n i ?1



检验法。

9.盒子内有标号 0 到 9 十个球,随机从中任取三个球,则取到的三个球的号码含有 6 的概 率为 。

10.甲、 乙两人同时相互独立地向目标射击?, 甲击中靶的概率为 0?8, 乙击中靶的概率为 0?7, 则甲中乙不中的概率为 。 。

11 设事件 A 与 B 相互独立,P(A)=0.5,P(B)=0.4,则 P( AB )= 12 设 X 的分布律为

X
P
则 E( X ) =
2

-2
1 5

-1
1 6

0
1 5

1
1 15

3
11 30

。 。 。

13.设 X 与 Y 独立, D( X ) ? 3 , D(Y ) ? 5 ,则 D(2 X ? 3Y ? 4) ? 14.设 X 为随机变量,若数学期望 E(

X ? 1) ? 1 ,则数学期望 E(X)= 2

15.设 X1 , X 2 , ???, X n 为总体 X 的简单随机样本,且总体方差 D(X)存在, 则 D(X)的一个无偏 估计量是________。 16.从正态总体 N ( ?, ? 2 ) 中抽取容量为 n 的简单随机样本,? 未知, 则未知参数 ? 的置信度 为 1-α 的置信区间是 。

17.某种产品可以使用 20 次的概率为 0.8, 使用 25 次的概率为 0.4, 现有一件产品已使用了 20 次,则它能够使用 25 次的条件概率为 。 。

18.设事件 A、B 为两个事件,P(A)=0.8,P(B)=0.4, ,P(B︱A)=0.3,则 P(A|B)=

19.设 A、B、C 为三个事件,且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,若事件 A、B、C 相互独立, 则概率 P(A+B+C)=_______。 20.设随机变量 X 的分布律 P{X=k}=

a ,(k=1,2,?,N),则 a = N



21.若在 4 次独立重复试验中,事件 A 都发生的概率与事件 A 都不发生的概率相等,则事 件 A 在一次试验中发生的概率为 。
x ? 3, 3 ? x ? 7, 则 c =________。 x ? 7.

? 0, ?x ?3 ? 22.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x) ? ? , ? c ? ? 1,

2 23. 设 X1 , X 2 , ? ? ?, X10 为总体 X ~ N (0,1) 的简单随机样本,则 X12 ? ? ? X10 ~



24. 设总体 X ~ N (? , ? 2 ) , X1 , X 2 ,?, X n 为来自 X 的一个样本,则 ? 2 的置信度为 90%的置信 区间为___ ___。

25.从 1-10 个数字中任取 3 个数,则最大数为 5 的概率是



26.已知甲、乙两个盒子里各装有 2 个新球与 4 个旧球,先从甲盒中任取 1 个球放入乙盒, 再从乙盒中任取 1 个球。设事件 A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒,事件 B 表示从乙盒中 取出新球,则条件概率 P(B|A)= 。 。 。

?C ? e? x , x ? 0, 27.已知随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ? ? 则 C= ? 0, x ? 0.

28.设随机变量 ? 服从参数为 ? 的泊松分布, 且 P{? ? 1} ? P{? ? 3} , 则 ? = 29.设随机变量 X 的分布律为 X pk ?2 ?1 0 1

1 2

1 4

1 6

1 12

则 Y?|X|的分布律为 。 30.设随机变量 X~N(?? 4)? 且已知 E(3X?2)?1? 则?? 31.设 ? ,? 独立, ? ~ U [2,8],? ~ N (0,22 ) 则 D(2? ? 3? ? 4) ? 。 。

32.设总体 X 的均值 μ 与方差? 2 都存在? X1, X2, ???, Xn 是该总体的一个样本?
S2 ? 1 n ( X i ? X )2 ,则 E( S 2 ) ? n ?1 ? i ?1



33.甲? 乙? 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹? 设事件 A? B? C 分别表示甲? 乙? 丙击中 目标? 则三门炮至少有两门炮击中目标的事件用关系式 34.设 A,B 为两个事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则 P( AB )= 35.设事件 A? B 相互独立? P(A)?0?4? P(B) ?0?6? 则 P(A∪B )? 36.若在 5 次独立重复试验中 事件 A 至少发生 1 次的概率为 发生的概率为 。 。 。 表示。

31 , 则事件 A 在一次试验中 32

37.设随机变量 X 的分布律 P{X=k}=

2a ,(k=1,2,?,N),则 a = N
2? x?6
其他



?k ? 38.设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) = ? 4 ? ?0

,则 k =



39.若 X ~ N ( ?,? 2 ) ,Φ( x ) 是标准正态分布函数,Φ(1) =0.8413,则
P ?? ? ? ? X ? ? ? ? ? =

。 X 。 P ?1 0?2 0 0?1 2 0?3 4 0?4 。

40.设随机变量 X 的分布列为 则 Y?X 2 的数学期望=

41. 已知事件 A 与 B 相互独立,P( A )=0.3, P(B)=0.2, 则 P(AB)=

42.在贝努利试验中每次试验成功的概率为 p ,试验进行到首次成功为止,则试验次数的分布律 为 。 。

43.设随机变量 X 的分布律为 P( X ? k ) ? 3? k (k ? 1,2,...) ,则参数 ? = 44.设随机变量X~N(4,7),则随机变量 Y ? 45.设随机变量 X 的分布列为 X P 则 Y ? X 2 的分布列为 。 46.设随机变量 X 在区间 ? ?a, 2a? (a ? 0) 上服从均匀分布,则 D( X ) ? 。 -1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.3

X ?4 ~ 7



47.设随机变量 X、Y、Z 相互独立,其中 X 服从

1 的指数分布,Y 服从正态分布 N(0,4), 2


Z 服从参数为 3 的泊松分布。记 U=X-Y+2Z,则 D(U)=

X 是样本均值( ? (u? /2 ) = 1 ? ? , 48.设总体 X ~ N ( ? , 4) , X 1 , X 2 ,?, X n 为来自 X 的一个样本,

其中 ? ( x ) 为标准正态分布函数).则? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为



四、计算题 1.将两封信随机地投入四个邮筒,求: (1)前两个邮筒内没有信的概率; (2)第一个邮筒 内恰有一封信的概率。 2 2.某种导线的电阻服从正态分布 N(?? 0?005 )? 今从新生产的一批导线中抽取 9 根? 测其电 阻? 得 S?0?008?? 对于??0?05? 能否认为这批导线电阻的标准差仍为 0?005? 2 2 (8) ? 2.18 ? ?0.025 (8) ?17.5 ] [提示:检验假设 H0? ? 2?0?0052? H1? ? 2?0?0052; ?0.975 3.已知某物理量 X ~ N (? , ? 2 ) , 现用仪表测试该物理量 10 次, 测得数据计算如下:
2 2 x ? 457.5, s ? 35.2176 。求 ? 2 的 95%的置信区间。[ ?0.975 ?9? =2.7004, ?0.025 ?9? =19.0228]

4.已知某仪器的元件尺寸服从正态分布 N(3.278,0.002 ) 。现测量 10 个新元件尺寸,计 算得样本均值(单位:cm)为 X ? 3.2795 ,且新元件尺寸分布的方差不变,问新元件尺寸的均 值与 3.278 是否有显著差别?[取? =0.05, u0.025 ? 1.96 ] 5.一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为??160? ?(??0)的正态分布,若要求 P(120?X?200)?0?80? 允许?最大为多少?[Φ (1.28)=0.90] 6.某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径 X ~ N ( ? ,0.06) , 从某天的产品里随机抽取 6 个,测得直径的均值为 x ? 14.95 (单位:mm),求平均直径 ? 的置信度为 95%的置信区间。 [ u0.025 ? 1.96 ]. 7.从 0? 1? 2? ??? ? 9 等十个数字中任意选出三个不同的数字? 试求下列事件的概率? A1?{三个数字中不含 0 和 5}? A2?{三个数字中既含 0 又含 5}? A3?{三个数字中不含 0 或 5 }。 8.某厂生产的某种型号的电池? 其寿命 X 长期以来服从方差为? 2?5000h2 的正态分布? 现从 一批这种电池中随机抽取 26 只? 测得其寿命的样本方差 s2?9200h2? 问这批电池寿命的波动
2 2 (25) ?11.524, ?0.01 (25) ? 44.314, )[提示:即检验方差 性是否有显著性变化?(??0.02, ?0.99 2 2 H0 :? 2 ?? 0 ?5000 ? H1 :? 2 ?? 0 ? 5000 ]

2

9.一个合订本共 100 页,如果每页上印刷错误的数目 X 服从参数为 2 的泊松分布,其分布

律为 P{ X ? k } ?

2 k ?2 e , ( k =0,1,2 k!

,? )

求: (1)一页上的印刷错误的数目不超过 1 个的概率; (2)100 页中的印刷错误的数目都不超过 1 个的概率。 10.假定考生成绩服从正态分布? 在某地一次数学统考中? 随机抽取了 36 位考生的成绩? 算 得平均成绩为 66.5 分? 标准差为 15 分? 问在显著性水平 0.05 下? 是否可以认为这次考试全 体考生的平均成绩为 70 分?(t 0?025(35)?2?0301)[提示:检验假设? H0? ??70? H1? ??70] 11.某厂生产的零件重量服从正态分布 N ( ?, ? 2 ) ,现从该厂生产的零件中抽取 9 个,测
2 其重量并计算得 s =0.0325 ,试求总体标准差 ? 的 0.95 置信区间。 ( ?0.975 ?8? =2.1797,

2

2 ?0.025 ?8? =17.5345)

12. 某厂用自动包装机包装糖果? 设糖果的重量服从正态分布? 规定每袋标准重量为 250g? 标准差不超过 3g? 某天随机抽取 16 袋? 测得平均重量 252g? 样本标准差 4g? 问该包装机的 工作是否正常(??0.05,t 0?025(15)?2?1315)?[提示:检验假设 H0? ??250? H1? ??250]

五、应用题(一) 1. 设某测量某误差 X 是随机变量,且 X ~ N (3, 4) ,计算: (1)误差不超过 3 的概率;(2)误差的绝对值不超过 3 的概率; (3)如果测量两次,至少有一次误差的绝对值不超过 3 的概率.[ ?(0) ? 0.5, ?(3) ? 0.99865 ] 2.设某种电子管的使用寿命服从正态分布? 从中随机抽取 15 个进行检验? 得平均使用寿命 为 1950 小时? 标准差 S 为 300 小时? (1)求整批电子管平均使用寿命 ? 的 95%置信区间; (2)求整批电子管使用寿命方差 σ2 的 95%置信区间。 2 2 (14) ? 26.1 , ?0.975 (14) ?5.63 ] [t0.025(14)?2?145, ?0.025 3.甲、乙两人同时射击一只兔子,他们的命中率分别为 0.6 和 0.5。试求: (1)兔子被击中的概率; (2)若兔子被击中,分别求出被甲击中的概率和被乙击中的概率。 1 ?2 x, 0 ? x ?1 4.设随机变量 X 的概率密度函数为 p ( x) ?? ,(1)求事件 A ?{X ? } 的概率; 其它 2 ?0,

(2) 记 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观测中事件 A 出现的次数, 求 Y 的分布律并求 P (Y ? 2) 。

5. 口袋里有 1 个黑球、1 个白球,从中任取 1 个,若取出白球则试验停止;若取出黑球则 把取出的黑球放回的同时,再加入 1 个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止。试求下 列事件的概率: (1)取到第 n 次,试验没有结束; (2)取到第 n 次,试验恰好结束。 6. 设 X 是一个随机变量, 其概率密度函数是
?k ? , p ( x) ? ? x 2 ? ?0, 1 ? x? 3 其他

1 试求 (1)系数 k;(2) P( ? X ? 2) ; (3)E(X); (4)D(X). 2
7.汽车站每 6 分钟发一辆车? 假设所有候车乘客均能上车离去? 设乘客的候车时间 X(分钟) 是一个连续型随机变量? 它服从区间[0? 6)上的均匀分布? 求? (1)任选 1 位乘客候车时间超过 5 分钟的概率? (2)任选 4 位乘客中恰有 2 位乘客候车时间超过 5 分钟的概率。 8.用一个仪表测量某一物理量 9 次,得样本均值 x ? 56.32 ,样本标准差 s ? 0.22 。 (1) 测量标准差 ? 大小反映了测量仪表的精度,试求 ? 的 0.95 置信区间;
2 2 (2)求该物理量真值 μ 的 0.99 置信区间。 ( ?0.025 ?8? =2.1797, ?0.025 ?8? =17.5345,

t0.005 (8) ? 3.3554 )

9.已知袋中有 10 个乒乓球, 8 只新球 2 只旧球? 在其中取二次? 每次随机地取一只? 作不放 回抽样? 求下列事件的概率? (1)二只都是新球(事件 A)? (2)二只都是旧球(事件 B)? (3)一只是新球? 一只是旧球(事件 C)? (4)第二次取出的是旧球(事件 D)。

?3 2 ? x , ?1 ? x ? 1 10.设连续型随机变量X的密度函数是 f ( x ) ? ? 2 , ? 其他 ?0,
求: (1)E(X),D(X); (2)P{|X- E(X)|<D(X)}

?ax ? b, 0 ? x ? 1 1 3 11.已知随机变量 X 的概率密度函数为 p( x ) ? ? ,且 P( X ? ) ? 。 0, 其他 2 8 ?

(1)求参数 a,b; (2)计算 E(X),D(X)。

12.设总体X的期望为μ ,方差为 ? 2 , X 1 , X 2 ,?, X n 为来自总体X的一个样本,试判断下列

统计量是否为μ 的无偏估计量;若为无偏估计量,则比较其有效性。 (1) X ?
1 n 1 1 1 1 1 Xi ; (2) X 1 ? X 3 ? X n ; ( 3) X 1 ? X 2 。 ? n i ?1 2 3 6 3 3

六、应用题(二) 1. 由专业知识知道,合金的强度 y ( ?107 Pa) 与合金中碳的含量 x (%) 有关。我们收集到 12 组数据,计算得 x ? 0.1583 , y ? 49.2083 , lxx ? 0.0186 , lxy ? 2.4292 , l yy ? 335.2292 。 (1)试求 y 关于 x 的一元线性回归方程; (2)显著性水平?=0.01 下检验回归方程的显著性;[ R(10) ? 0.708 ] (3)计算当 x0 ? 0.16 时,合金的强度的估计值. 2.随机变量X的密度函数 2 ?a ? bx, 0 ? x ? 2 p ( x ) ?? ,且 E ( X ) ? ,求 a,b 与 D(X) 0, 其它 3 ?

1 ? ( 5 ? 1) ? 0.618 ,这样的矩形称为黄金矩 l 2 形。从某工艺品工厂随机抽取 20 个矩形框,计算得其宽度与长度的比值的数据为: x ? 0.6605 , s ? 0.0925 (设这一工厂生产的矩形框的宽度与长短的比值总体服从正态分布 N (? ,? 2 ) ) 。 取 α = 0.05,试检验假设 (1)H0:μ = 0.618 H1:μ≠0.618 (2)H0:σ 2 =0.112 H1:σ 2 ≠0.112
3. 如果一个矩形的宽度 ω 与长度 l 的比
2 [ t0.025 (19) ? 2.0930 , ?0.025 (19) ? 32.852, ?0.975 (19) ? 8.907 ] 2

?

? 3x 2 , 0? x? A 7 ? 4. 设连续型随机变量X的密度函数是 p ( x ) ? ? A3 ? 且已知 P( X ? 1) ? 8 ?0, 其他 ?

? 求: (1)系数 A;(2) E(2X+4);(3)D(2X+4)。

5.在用光电比色计检验尿汞时,对给定的尿汞含量x(mg/l) ,可读得消光系数读数y。现观 测5组数据,计算得 x ? 6 ,
y ? 210.4 , l xx ? 40 , l yy ? 54649.2 , l xy ? 1478 。

(1)试建立y关于x的一元线性回归方程; (2)显著性水平 ? ? 0.05 下对建立的回归方程作显著性检验(R(3)=0.8783) ; (3)在尿汞含量 x ? 7 (mg/l)时求对应的消光系数读数 y 的预测值。 6. 有一批产品,其验收方案如下:先做第一次检验,从中任取 10 件,经检验无次品则接 受这批产品;若次品数大于等于 2 则拒收;否则做第二次检验,其做法是从中再任取 5 件, 仅当 5 件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为 10%,求: (1)这批产品经第一次检验就能被接受的概率; (2)需做第二次检验的概率; (3)这批产品按第二次检验标准被接受的概率; (4)这批产品被接受的概率。

七、分析题 1. 已知随机变量 X 的密度函数为 p( x) ?

?

k (2 ? x), 0 ? x ? 2 0, 其它

试求(1)常数 k? (2) P{?1? X ?1} (3) E( X ) ? (4) D( X ) 2. 设 x 为冶炼过程后期温度,y 为金属中某元素含量,现测得 6 组数据并计算得:

x ? 550,

y ? 57 ,lxx?175000,lyy?620,lxy?10300

(1)试建立y关于x的一元线性回归方程; (2)在显著性水平 ? ? 0.05 下对建立的回归方程作显著性检验[R(4)=0.8114];

(3)在后期温度 x ? 560 时求对应的金属中某元素含量 y 的预测值。

3. 设 x 是某厂每月的产值, y 是每月的耗电量。 根据 12 个月的观测数据计算得:x ?698.5, l ? 146379 ? 421.75 , , , l ? 52866.25 l y xx yy xy ? 87873.5 。 试求: (1)y 对 x 的一元线性回归方程; (2)在 ? ? 0.05 下检验回归方程的显著性(R(10)=0.5760); (3)对 x=700,求耗电量 y 的估计值。 4. 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能,安排了一组共9次试验,测得其甲醇浓度x及相应的 缩醇化度y数据如下

?x
i ?1 n i ?1

n

i

? 168 ? 202.94
n

l xx ? ? ( xi ? x ) 2 ? 112
i ?1 n

n

?y

i

l yy ? ? ( yi ? y ) 2 ? 8.4931
i ?1

l xy ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? 29.6
i ?1

(1)求样本相关系数, 并建立y关于x的一元线性回归方程; (2)试在显著性水平 ? ? 0.05 下讨论建立的回归方程的显著性(R(7)=0.6664) ; (3)当甲醇浓度 x 为 19 时,缩醇化度 y 的估计值是多少? 5.已知某种元件的寿命 X~N(?? ? 2)? 现随机地抽取 10 个元件进行试验, 测得数据如下?
x ? 57.5, s2 ? 88.472 ,试分别讨论下列情况下参数的置信区间:

(1) 已知? ?3,求平均抗压强度? 的 95%的置信区间? (2) ?未知,求平均抗压强度?的 95%的置信区间? 2 (3) 求 ? 的 95% 的 置 信
2 2 (9) ? 2.700 ?0.025 (9) ?19.023 ?) t0.025(9)?2.262? ?0.975





。 (

u0.025?1.96?



6. 对某地区城乡 60 岁以上的老人进行血压普查, 获得 9 名老人年龄 x 与收缩压 y 的数据, 计算得 x ?77, y ?145.86, lxx ? 700 , l yy ? 918.86 , lxy ? 755 。 (1) 试求收缩压 y 对年龄 x 的一元线性回归方程; (2) 对回归方程进行显著性检验( ? ? 0.01 ) ; (R(7)=0.7977) (3) 计算当老人年龄 x=80 时对应收缩压 y 的估计值。


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