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等差数列及其前n项和 测试题 练习题

等差数列及其前 n 项和 测试题 A级 基础题

1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=________.

2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为________.

3.在等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大值时,n=________.

4.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 S9=________.

5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是 ________. 6.设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12 +a13=________. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1>12,则正整数 k 的最小值为________.

8.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满 足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

?1? 9.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn=Sn-1-?2?n-1+2(n≥2,n ? ? 1 为正整数),a1=2. (1)令 bn=2nan,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围.

10.已知数列{an}满足 an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),且 a3=27. (1)求 a1,a2 的值; 1 (2)记 bn=2n(an+t)(n∈N*),问是否存在一个实数 t,使数列{bn}是等差数列?若 存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由.

B级

创新题

S4 S6 1.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1,S =4,则S 的值为________.
2 4

a11 2.数列{an}是等差数列,若a <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn
10

取得最小正值时,n=________.

Sn 7n+1 3. 已知数列{an}, n}都是等差数列, n, n 分别是它们的前 n 项和, T = {b S T 且 , n+3 n a2+a5+a17+a22 则 =________. b8+b10+b12+b16

?an+λ? ? ? 4. 已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2n-1(n∈N*), ? n ?为等差数列, 且 ? ? ? 2 ?

则 λ 的值是________.

5.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l, 1 2 010 当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj=ak+bl,则2 010 ??ai+bi)的值是________.
i=1

6.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x· y)= xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2.则数列的通项公式 an =________.

7.在等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3=45,a1+a5=18. a (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= Sn (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差数列?若 n+c

存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

1 2 8.在数列{an}中,a1=1,an+1=1- ,bn= ,其中 n∈N*. 4an 2an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)设 cn=( 2)bn,试问数列{cn}中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如 果存在,求出这三项;如果不存在,说明理由.

参考答案 A组 1. 解析 设公差为 d.则 d=a3-a2=2.

∴a1=0,an=2n-2∴a10=2×10-2=18. 答案 18 2. 解析 答案 22 3. 解析 因为 a1>0,S4=S9,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,所以 a7=0,所以 11?a1+a11? 11?a2+a10? 11×4 S11= = = 2 =22. 2 2

?a6>0, ? 从而当 n=6 或 7 时 Sn 取最大值. ?a8<0, 答案 6 或 7 4. 解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,

∴3a4=39,3a6=27, ∴a4=13,a6=9.

∴a6-a4=2d=9-13=-4, ∴d=-2, ∴a5=a4+d=13-2=11, 9?a1+a9? ∴S9= =9a5=99. 2 答案 99 5. 解析 ?1≤a5≤4, ?1≤a1+4d≤4, 设 an=a1+(n-1)d,则由? 解? ?2≤a6≤3, ?2≤a1+5d≤3,

所以 S6=6a1+15d=15(a1+4d)-9(a1+5d)∈[-12,42]. 答案 [-12,42] 6. 解析 ?a1+a3=10, 由 15=a1+a2+a3=3a2,得 a2=5.所以? 又公差 d>0, ?a1a3=16.

?a1=2, 所以 ? 所以 d=3.所以 a11 +a12 +a13 =3a12 =3(a1 +11d)=3(2+33)= ?a3=8. 3×35=105. 答案 105 7. 解析 因为 a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11,所以 p=-15,

Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak+ak+
1=8k-30>12,得

21 k> 4 >5.又 k∈N*,所以 k≥6,即 kmin=6.

答案 6 8. 思路分析 第(1)问建立首项 a1 与公差 d 的方程组求解;第(2)问建立首项 a1

与公差 d 的方程,利用完全平方公式求范围. -15 解 (1)由题意知 S6= S =-3,a6=S6-S5=-8, 5 ?5a1+10d=5, 所以? ?a1+5d=-8. 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a2+9da1+10d2+1 1 =0, 故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8.

故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 9. (1)证明
+1

?1? ?1? 由 2Sn=Sn-1-?2?n-1+2,得 2Sn+1=Sn-?2?n+2,两式相减,得 2an ? ? ? ?

?1? =an+?2?n,即 2n+1an+1=2nan+1,即 bn+1-bn=1,所以{bn}是公差为 1 的等差 ? ?

数列. ?1? ? 又 b1=2a1=1,所以 bn=n,2nan=n,从而 an=n·2?n. ? ? (2)解 ?1? 由条件得 Sn+an=2-?2?n-1,所以 Sn=2-(n+2)· ? ?

n+1 1 ?1?n ?2? ,又 Sn+1-Sn= n+1 >0,所以数列{Sn}在 n∈N*单调递增,所以 Sn≥S1= , 2 ? ? 2 ?1 ? 又 Sn<2.故 Sn∈?2,2?. ? ? 10. 解 (1)由 a3=27,得 2a2+23+1=27,所以 a2=9.

又由 2a1+22+1=9,得 a1=2. (2)假设存在实数 t,使得数列{bn}是等差数列, 1 1 1 则 2bn=bn-1+bn+1,即 2×2n(an+t)= n-1(an-1+t)+ n+1(an+1+t),即 4an=4an-1 2 2 +an+1+t,所以 4an=4× an-2n-1 +2an+2n+1+t+1,所以 t=1. 2

故存在 t=1,使得数列{bn}是等差数列.

B组 1. 解析 S4-S2 S4 由等差数列的性质可知 S2,4-S2,6-S4 成等差数列, S =4 得 S S S 由
2 2 4

S6 9 =3,则 S6-S4=5S2,所以 S4=4S2,S6=9S2,S =4. 9 答案 4 2. 解析 由题意,可知数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,所以公差小于零,故
10

a11 a11<a10,又因为a <-1,所以 a10>0,a11<-a10,由等差数列的性质有 a11+ a10=a1+a20<0,a10+a10=a1+a19>0,所以 Sn 取得最小正值时 n=19. 答案 19

3. 解析 答案 31 5

a2+a5+a17+a22 2?a11+a12? a1+a22 S22 7×22+1 31 = = = = =5. b8+b10+b12+b16 2?b11+b12? b1+b22 T22 22+3

4. 解析

由 an+1=2an+2n-1,可得

an+1 an 1 an+1+λ an+λ an+1 1 - 2n = n+1 n+1= n+ - n+1,则 2 2 2 2 2n+1 2

?an-1? ? ? an λ 1 1 λ 1 λ+1 1 -2n- n+1=2- n+1- n+1=2- n+1 , λ 的值是-1 时, 当 数列? n ?是公差为2 2 ? 2 2 2 2 ? ? ?

的等差数列. 答案 -1 5. 解析
2 010

由题意得 a1+b2 010=a2+b2 009=a3+b2 008=…=a2 009+b2=a2 010+b1.

所以

??ai+bi)=2 010(a1+b2 010)

i=1

1 2 010 1 故2 010 ??ai+bi)=2 010×2 010(a1+b2 010) i=1 =a1+b2 010. 下面求 b2 010. 令 i=1,j=n,k=2,l=n-1,即 a1+bn=a2+bn-1,则 bn-bn-1=a2-a1=1, 所以{an}是以 b1=2 为首项,以 d=1 为公差的等差数列, 所以 b2 010=2+(2 010-1)=2 011. 所以 a1+b2 010=1+2 011=2 012. 答案 2 012 6. 解析
?an? an+1 an 由 an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1, n+1=2n+1, 得 所以?2n?是 2 ? ?

an 首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2n=n,an=n·n. 2 答案 n·n 2 7. 解 (1)由题设,知{an}是等差数列,且公差 d>0,

?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18.

?a1=1, 解得? ∴an=4n-3(n∈N*). ?d=4. n?1+4n-3? 1? ? 2n?n-2? 2 ? ? Sn (2)由 bn= = = , n+c n+c n+c 1 ∵c≠0,∴可令 c=-2,得到 bn=2n. ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列. 8. (1)证明 因为 bn+1-bn= 2 2 2 4an - = - = 1 ? 2an+1-1 2an-1 2an-1 2an-1 ? 2?1-4a ?-1 ? n? 2

2 2 - =2(n∈N*),且 b1= =2 2an-1 2×1-1 所以,数列{bn}以 2 为首项,2 为公差的是等差数列. (2)解 由(1)得 cn=( 2)bn=2n,假设{cn}中存在三项 cm,cn,cp(其中 m<n<p,

m,n,p∈N*)成等差数列,则 2·n=2m+2p,所以 2n+1=2m+2p,2n-m+1=1+2p- 2
m

.因为 m<n<p,m,n,p∈N*,所以 n-m+1,p-m∈N*,从而 2n-m+1 为偶数,

1+2p-m 为奇数,所以 2n-m+1 与 1+2p-m 不可能相等, 所以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.


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