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【考点57】导数的应用答案与解析57


高考真题答案与解析
数 学(理)

【考点 57】导数的应用
1. 【答案】C 【解析】 f ' ( x) ? ? x ?

b ? 0( x ? ?1) 恒成立,即 x?2

b ? x( x ? 2) 恒成立。

又 x( x ? 2) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? ?1, ?b ? ?1, 故选 C。 2. 【答案】D 【解析】由已知图象知函数 g ' ( x ) 为增函数, f ' ( x) 为减函数且都在 x 轴上方,? g (x) 的图象上任一点 的切线的斜率在增大,而 f (x) 的图象上任一点的斜率在减小,又由 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,故选 D。 3. 【解析】 (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1, 判别式

? ? 4(a 2 ? 3).
(i)若 a ?

3 或 a ? ? 3 ,则在

(??,

? a ? a2 ? 3 ? a ? a2 ? 3 ? a _ a2 ? 3 ) 上 f ' ( x) ? 0, f ( x) 是 增 函 数 ; 在 ( , ) 上 3 3 3

f ' ( x) ? 0, f ( x) 是减函数。

? a ? a2 ? 3 在( ,??) 上 f ' ( x) ? 0, f ( x) 是增函数。 3
(ii)若 ? 3 ? a ? 3 ,则对所有 x ? R 都有

f ' ( x) ? 0.
故此时 f (x) 在 R 上是增函数。 (iii)若 a ? ? 3 ,则 f ' ( ? ) ? 0 ,且对所有的 x ? ? 上是增函数。

a 3

a 都有 f ' ( x) ? 0, 故当 a ? 3 时, f (x) 在 R 3

(2)由(1)知,只有当 a ?

3 或 a ? ? 3 时, f (x) 在 (

? a ? a2 ? 3 ? a _ a2 ? 3 , ) 3 3

? a ? a2 ? 3 2 因此 ?? , 3 3




? a ? a2 ? 3 1 ?? . 3 3



当 | a |? 3 时,则①、②解得 a ? 2. 因此 a 的取值范围是 ?2,???. 4. 【解析】 (1) f ' ( x ) ?

ln x ? 1 . 若 f ' ( x) ? 0, 则 x 2 ln 2 x

1 x ? . 列表如下: e x 1 ( 0, ) e

1 e
0 极大值

1 ( ,1) e
单调减

(1,??)
单调减

f ' ( x) f (x)

+ 单调增

1 f( ) e
1 e

所以 f (x) 的单调增区间为 ( 0, ) ,单调减区间 为 ( ,1) 和 (1,??) 。
1

1 e

(2) 2 x ? x 两边取对数, 在 得
a

1 a 1 ln 2 ? a ln x. 由于 0 ? x ? 1, 所以 ? . ①由 (1) 的结果知, x ln 2 x ln x 1 ? ln 2

当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? f ( ) ? ?c. 为使①式对所有 x ? (0,1) 成立,当且仅当

1 e

? e, 即 a ? ?c ln 2.
5. 【解析】 (1) f ' ( x ) ? 1 ?

a , 由导数的几何意义得 f ' (2) ? 3, 于是 a=-8。由切点 P(2,f(2) )在直线 x2 8 y=3x+1 上可得-2+b=7,解得 b=9。所以函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? x ? ? 9. x a (2) f ' ( x) ? 1 ? 2 . 当 a ? 0 时,显然 f ' ( x) ? 0( x ? 0) ,这时 f (x) 在 x

(??,0), (0,??) 内是增函数;当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? ? a. 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,? a )

? a
0 极 大 值

(? a ,0)

(0, a )
0

a
极 小 值

( a ,??)
+

+

-

f (x)

所以 f (x) 在 (??,? a ) 、 ( a ,??) 内是增函数,在 (? a ,0) 、 (0, a ) 内是减函数。 (3)由(2)知, f (x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 中的较大者,对于任意的 a ?

1 4

1 4

1 1 ? 1 [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? f ( ) ? 10, f (1) ? 10 ,即 2 4 ? 4

39 ? ? 4a, 1 7 ?b ? 对任意的 a ? [ ,2] 成立。从而得 b ? , 所以满足条件的 b 的取值范围是 4 ? 2 4 ?b ? 9 ? a ?
7? ? ? ? ?, ?. 4? ?
6. 【解析】 f ' ( x) ?

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b) ? 2( x ? 1) = ( x ? 1) 4

? 2 x ? 2b ? 2 ? 2[ x ? (b ? 1)] ? . 令 f ' ( x) ? 0 ( x ? 1) 3 ( x ? 1) 3
得 x=b-1。 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??, b ? 1)

b ?1
0

(b ? 1,1)
+

(1,??)
-

-

当 b ? 1 >1,即 b>时, f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,1)

(1, b ? 1)
+

b ?1
0

(b ? 1,??)
-

-

所以,当 b<2 时,函数 f (x) 在 (??, b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 1,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递 减。当 b>2 时,函数 f (x) 在 (??,1) 上单调递减;当 b-1=1 时,即 b=2 时, f (x) = 时,函数 f (x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递减。
2 2 7. 【解析】设 OO1 为 xm,则 ? x ? 4. 由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m) 3 ? ( x ? 1) =

2 ,所以当 b=2 x ?1

8 ? 2x ? x 2 . 于是底面正六边形的面积为(单位:m2) 6 ?
(6 ? 2x ? x 2 ) 。帐篷的体积为(单位:m3)
V ( x) ?

3 3 3 ? ( 8 ? 2x ? x 2 ) 2 ? 4 2

3 3 1 3 3 (8 ? 2 x ? x 2 )[ ( x ? 1) ? 1] ? (12 (16 ? 2 x ? x 3 ) 。求导数,得 V ' ( x) ? 2 3 2 2

,x=2。当 1 ? x ? 2 时,V ' ( x) ? 0,V ( x) 为增函数; ? 3x 2 ). 令 V ' ( x) ? 0, 解得 x=-2(为合题意,舍去) 当 2 ? x ? 4 时 , V ' ( x) ? 0,V ( x) 为减函数,所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 8. 【答案】C 【解析】? y' ? aeax ? 3, 由 y'? 0 得 x ?

1 3 ln( ? ), a a

??

3 ? 0, a ? 0. 又? 有正根,? 必有 a

?a ? 0, ? 得 a ? ?3. 故选 C。 3 ? 0 ? ? ? 1, ? a ?
9. 【解析】 (1)函数的定义域为 ?0,???, f ' ( x) ?

x

?

x?a 2 x

?

3x ? a 2 x

( x ? 0).若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ?
a a , 当 0 ? x ? 时, 3 3

0,? f ( x) 的单调递增区间 ?0,??? 。若 a ? 0, 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ?
a 时, f ' ( x) ? 0. 3 a f (x) 有单调递减区间 [0, ], 单调增区间 3 a ( ,?? ). 3

f ' ( x) ? 0; 当 x ?

(2) (i)若 a ? 0, f ( x) 在[0,2]上单调递增,所以 g (a) ? f (0) ? 0. 若 0 ? a ? 6, f ( x) 在 [ 0, ] 上单调 递减,在 [ , 2 ] 上单调递增,所以

a 3

a 3

a 2a a g (a) ? f ( ) ? . 3 3 3
若 a ? 6, f ( x) 在[0,2]上单调递减,所以

g (a) ? f (2) ? 2 (2 ? a).

a ? 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? ,0 ? a ? 6, 3 3 ? ? 2 (2 ? a), a ? 6. ?
(ii)令 ? 6 ? g (a) ? ?2. 若 a ? 0 ,无解。若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ? a ? 6. 若 a ? 6, 解得

6 ? a ? 2 ? 3 2. 故 a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2.
10. 【解析】 (1)因为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 所以 f ' ( x) ? 2ax ? b. 又因为曲线 y ? f (x) 通过点(0,2a+3) , 故 (0) ? 2a ? 3, 而 f (0) ? c, 从而 c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? ? f (x) 在(-1,f(-1) )处的切线垂直于 y 轴, 故 f ' (?1) ? 0 ,即

? 2a ? b ? 0, 因此 b=2a。
(2)由(1)得

3 9 3 9 2 3 bc ? 2a(2a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? , 故当 a ? ? 时,bc 取得最小值 ? . 此时有 b ? ? ,c ? . 从而 4 4 4 3 2 4 3 2 3 3 3 3 f ( x) ? ? x ? x ? , f ' ( x) ? ? x ? . 4 2 2 2 2 3 2 3 3 ?x g ( x ) ? ? f ( x )e ? x ? ( x ? x ? )e , 4 2 2
所以

3 g ' ( x) ? [ f ( x) ? f ' ( x)]e ? x ? ? ( x 2 ? 4)e ? x . 4
令 g ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. 当

x ? (??,?2) 时, g ' ( x) ? 0, 故 g (x) 在 x ?

(??,?2) 上为增函数;当 x ? (2,??) 时, g ' ( x )
? 0, 故 g ( x)在x ? (2,??) 上为减函数。上此可见,函数 g (x) 的单调递减区间 (??,?2) 和 (2,??) ;
单调递增区间为(-2,2) 。 11. 【解析】 (1)因为 f ' ( x) ?

a a ? 2 x ? 10, 所以 f ' (3) ? ? 6 ? 10 ? 0, 因此,a+16。 1? x 4
2

(2)由(1)知, f ( x) ? 16ln( ? x) ? x ? 10x, 1

x ? (?1,??) , f ' ( x) ?

2( x 2 ? 4 x ? 3) .当 1? x

x ? (?1,1) ? (3,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,当

, 。 x ? (1,3) 时, f ' ( x) ? 0. 所以 f (x) 的单调区间是(-1,1) (3,??) , f (x) 的单调减区间是(1,3) (3)由(2)知, f (x) 在(-1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在 (3,??) 上单调增加,且 当 x=1 或 x=3 时, f ' ( x) ? 0. 所以 f (x) 的极大值为 f (1) ? 16ln 2 ? 9, 极小值为 f (3) ?

32 ln 2 ? 21.
因为

f (16) ? 162 ? 10?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f (1).
, , f (e ?2 ? 1) ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f (3), 所以在 f (x) 上的三个单调区间(-1,1)(1,3)(3,+ ? )直 线 y=b 与 y=f ( x ) 的 图 象 各 有 一 个 交 点 , 当且 仅 当 f (3) ? b ? f (1). 因 此 , b 的 取 值范 围 为

(32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9).
12. 【解析】 (1)函数 f (x) 的定义域是 (?1,??), f ' ( x)

2 l n1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) l n1 ? x) ? x 2 ? 2 x ( ( ? ? ? 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2
g ' ( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x. 1 令 h( x) ? 2 ln( ? x) ? 2 x,
则 h' ( x ) ?



g ( x) ? 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2x, 则

2 ? 2x ?2? . 当 ? 1x ? 0 时, 1? x 1? x

h' ( x) ? 0, h( x) 在(-1,0)上为增函数,当 x ? 0 时,h' ( x) ? 0, h( x)在(0,??) 上为减函数。所以 h(x)
在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ' ( x) ? 0( x ? 0) ,函数 g(x)在(-1, ? ? )上为减函数, 于是当 ? 1 ? x ? 0 时, g ( x) ? g (0) =0,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0. 所以,当 ? 1 ? x ? 0 时,

f ' ( x) ? 0, f ( x) 在(-1,0)上为增函数,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, f (x) 在 (0,??) 上为减函数。故函数 f (x) 的单调增区间为(-1,0) ,单调减区间为 (0,??) 。
(2)不等式 (1 ? 由1 ?

1 n?a 1 ) ? e 等价于不等式 (n ? ? ) ln(1 ? ) ? 1. n n

1 ? 1 知, ? ? n

1 1 ln(1 ? ) n

? n. 设 G(x)=

1 1 ? , x ? [0,1], 则 G' ( x) ? ? ln(1 ? x) x

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? 2 ? 2 . (1 ? x) ln 2 (1 ? x) x x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)

x2 ? 0 ,即 由(1)知, ln (1 ? x) ? 1? x
2

(1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? 0, 所以 G' ( x) ? 0 ,x ? ?0,1? ,于是 G(x)在 ?0,1? 上为减函数。故函数 G(x)
在 ?0,1? 上的最小值为 G (1) ?

1 1 ? 1. 所以 ? 的最大值为 ? 1. ln 2 ln 2

13.【解析】 (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??),

b 2x 2 ? 2x ? b f ' ( x) ? 2 x ? ? , x ?1 x ?1
设 g ( x) ? 2 xh2 ? 2 x ? b, 其图象的对称轴为

1 x ? ? ? (?1,??), 2 1 1 ? g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b. 2 2
当b ?

1 1 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0, 2 2

即 g ( x) ? 2x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 上恒成立。

? 当 x ? (?1,??) 时, f ' ( x) ? 0.
1 时,函数 f (x) 在定义域 (?1,??) 上单调递增。 2 1 (2)由(1)得,当 b ? 时,函数 f (x) 无极值点。 2 1 2( x ? ) 2 1 2 ? 0 有两上相 当 b ? 时, f ' ( x) ? 2 x ?1 1 同的解 x ? ? , 2 1 1 ? x ? ( ?1,? ) 时, f ' ( x) ? 0, x ? (? ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0, 2 2 1 ? 当 b ? 时,函数 f (x) 在 (?1,??) 上无极值点。 2 1 当 b ? 时, f ' ( x) ? 0 有两个不同解, 2

?当 b ?

x1 ?

? 1 ? 1 ? 2b ? 1 ? 1 ? 2b , x2 ? . 2 2 ? 1 ? 1 ? 2b ? ?1, 2

? b ? 0 时, x1 ?

x2 ?

? 1 ? 1 ? 2b ? 1, 2

即 x1 ? (?1,??), x2 ? (?1,??)

?b ? 0 时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f (x)

(?1, x2 )
-

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+

由此表可知: b ? 0 时, f (x) 有唯一极小值点 x 2 ?

? 1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

1 ? 1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? 1, 2 2

? x1 , x2 ? (?1,??) ,
此时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: 同此表可知: a ? b ?

1 时, f (x) 有一个极大值点 2

x
f ' ( x)

(?1, x1 )
+

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
-

x2
0 极 小 值

( x2 ,??)
+

x1 ?

? 1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 2

f (x)

? 1 ? 1 ? 2b x2 ? ; 2
综上所述: 当 b ? 0 时, f (x) 中唯一极小值点

x?

? 1 ? 1 ? 2b ; 2
1 ? 1 ? 1 ? 2b 时, f (x) 有一个极大值点 x ? 2 2 1 ? 1 ? 1 ? 2b ; 当 b ? 时, f (x) 无极值点。 2 2
2

当0 ? b ?

和一个极小值点 x ?

(3)当 b=-1 时,函数 f ( x) ? x ? ln(x ? 1),

令函数

h( x) ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1),
则 h' ( x ) ? 3 x ? 2 x ?
2

1 3x 2 ? ( x ? 1) ? . x ?1 x ?1

? 当 x ? ?0,??? 时 , h' ( x) ? 0 ,所以函数 h(x) 在 ?0,??? 上单调递增,又 h(0) ? 0.
? x(0,??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0,
即 x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) 恒成立,故当 x ? (0,??) 时,有 ln(x ? 1) ? x 2 ? x 3 . 对任意正整数 n,取 x ?

1 ? (0,?? ) ,则有 n

1 1 1 l n ( ? 1) ? 2 ? 3 . n n n
所以结论成立。 14. 【解析】 f (x) 的定义域是 (0, ??),

2 a x 2 ? ax ? 2 f ( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x2
设 g ( x) ? x 2 ? ax ? 2, 二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8.
2

①当 ? ? 0即0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0. 此时 f ( x)是(0,??) 上的单调递增函数。 ②当 ? ? 0即a ? 2 2 时,仅对 x ?

2 有 f ?( x) ? 0, 对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0.

此时 f ( x)也是(0,??) 上的单调递增函数。 ③当 ? ? 0即a ? 2 2 时,方程 g ( x) ? 0 在两个不同实根

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 x1 ? , x2 ? ,0 ? x1 ? x2 . 此时 f (x) 在 2 2 (0, a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递增 在( , , ) 上单调递增, 2 2 2 a ? a2 ? 8 ,??) 上单调递增。 2

在(

15. 【解析】 (Ⅰ)依题意,得 f ' ( x) ? x ? 2ax ? b.
2

由 f ' (?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得b ? 2a ? 1. 从而 f ( x) ? 2 x3 ? ax 2 ? (2a ? 1) x, 故 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 1)
3

( x ? 2a ? 1).

令 f ' ( x) ? 0, 得x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a. ①当a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1. 当 x 变化时, f ?( x)与f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x) f (x)

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a,?1)
单调递减

(?1,??)
+ 单调递增

由此得,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1,??) ,单调减区间为 (1 ? 2a,?1) ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,此时有 f ?( x) ? 0 恒成立, 且仅在 x ? ?1 处 f ?( x) ? 0 , 故函数 f (x) 的单调增区间为 R。 ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 , 同理可得, 函数 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (1 ? 2a,??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1,??) ,单调减区间为 (1 ? 2a,?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (1 ? 2a,??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (Ⅱ)由 a ? ?1 ,得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x. 3

2 令 f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,

得 x1 ? ?1, x1 ? 3. 由(I)得 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ,单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f (x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ), N (3,?9)

5 3

(i)观察 f (x) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f (x) 在点 P 处切线的斜率 f ?(m) 之差

k MP ? f ?(m) 的值由正连续变化到负;
②线段 MP 与曲线 f (x) 是否有异于 M、P 的公共点与 k MP ? f ?(m) 的正负有着密切的关联; ③ k MP ? f ?(m) =0 对应的位置可能是临界点, 故推测:满足的 m 就是所求 t 的最小值,下面给出证明并确定 t 的最小值。 注:以上三条观察分析不作为评分依据。 曲线 f (x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率

f ?(m) ? m 2 ? 2m ? 3
线段 MP 的斜率 k MP ? 当 k MP ? f ?(m) 时, 解得 m ? ?1或m ? 2. 直线 MP 的方程为 y ?

m 2 ? 4m ? 5 3

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? 3 3

令 g ( x) ? f ( x) ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

当 m ? 2 时, g ?( x) ? x 2 ? 2 x 在 (?1,2) 上只有一个零点 x ? 0 , 可判断函数 g (x) 在 (?1,0) 上单调递增,在 (0,2) 上单调减, 又 g (?1) ? g (2) ? 0 , 所以 g (x) 在 (?1,2) 上没有零点, 即线段 MP 与曲线 f (x) 没有异于 M,P 的公共点。 当 m ? (2,3] 时,

m 2 ? 4m g (0) ? ? 0, g (2) ? ?(m ? 2) 2 ? 0 3
所以存在 ? ? (0,2), 使得g (? ) ? 0. 即当 m ? (2,3] 时,MP 与曲线 f (x) 有异于 M,P 的公共点。

综上, t 的最小值为 2。 (ii)类似于(i)中的观察,可得 m 的取值范围为 (1,.3] 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)由 a ? ?1, 得

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x. 3

令 f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 得 x1 ? ?1, x2 ? 3. 由(I)得 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ,单调减区间为 (?1,3) ,

? 函数 f ( x)在x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值。
故 M (?1, ), N (3,?9) (i)直线 MP 的方程为

5 3

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y? x? . 3 3

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y? x? , ? ? 3 3 由? ? y ? 1 x 3 ? x 2 ? 3 x, ? 3 ?
得 x 3 ? 3x 2 ? (m 2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0 线段 MP 与曲线 f (x) 是否有异于 M、P 的公共点等价于上述方程在 (?1, m) 上有根, 即函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? (m 2 ? 4m ? 4) x ? m 2 ? 4m 在 (?1, m) 上有零点。 因为函数 g (x) 为三次函数, 所以 g (x) 至多有三个零点、两个极值点。 又 g (?1) ? g (m) ? 0 因此, g (x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g (x) 在 (?1, m) 内恰有一个极值点和一个极小值点, 即 g ?( x) ? 3x ? 6 x ? (m ? 4m ? 4) ? 0 在 (?1, m) 内有两个相等的实数根,
2 2

?? ? 36 ? 12(m 2 ? 4m ? 4) ? 0, ? 等价于 ?3(?t ) 2 ? 6 ? (m 2 ? 4m ? 4) ? 0, ?3m 2 ? 6m ? (m 2 ? 4m ? 4) ? 0, ?
?? 1 ? m ? 5, ? 即 ?m ? 2或m ? ?1,解得2 ? m ? 5, ?m ? 1, ?
又因为 ? 1 ? m ? 3 , 所以 m 的取值范围为 (2,3] 从而满足题设条件的 t 的最小值为 2。 (ii)同解法一 16.【解析】 (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时,

f ( x) ? ( x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e ? x , 故 f ' ( x) ? ?( x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e ? x ? (3x 2 ? 6x ? 3)e ? x ? ? x( x ? 2)(x ? 3)e ? x .
当 x ? ?3 或 0 ? x ? 3 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 ? 3 ? x ? 0 或 x ? 3 时, f ' ( x) ? 0. 从而 f (x) 在 (??,?3), (0,3)单调增加,在(-3,0) (3,??) 单调减少. , (Ⅱ)

? ?e ? x ( x 3 ? 9 x)

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].
由条件得: f ' (2) ? 0 ,即

23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0 ,故 b ? 4 ? a. 从而 f ' ( x) ? ?e ? x [ x 3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f ' (? ) ? f ' (? ) ? 0 ,所以

x 3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)(x ? a)(x ? ? ) ? ( x ? 2)(x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .

又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0 ,即 ?? ? 2?? ? ? ? ? 4 ? 0 .由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

17. 【解析】 (1) f (x) 的定义域为 (0,??) , f '( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ? x x

?

( x ? 1)( x ? 1 ? a) x
(i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 . x

故 f (x) 在 (0,??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0. , 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1) (1,??) 单调 增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得 ( x)在(1, a ? 1)单调减少 在(0,1), (a ? 1,??) f , (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x 单调增加。

?


1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x. 2

g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x

由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0,


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1,当 0 ? x1 ? x2 时, x1 ? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1

( 18.【解析】 (I) f ( x)的定义域是 0,??) ,导函数

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2 设g ( x) ? x 2 ? ax ? 2, 二次方程g ( x) ? 0的判别式? ? a 2 ? 8. f ?( x) ? 1 ?
①当

? ? 0即0 ? a ? 2 2时, 对一切x ? 0都有f ?( x) ? 0.
此时 f ( x)是(0,??) 上的单调递增函数。 ②当 ? ? 0 即 a ? 2 2 时,仅对 x ? 对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 此时 f ( x)也是(0,??) 上的单调递增函数。 ③当 ? ? 0即a ? 2 2 时, 方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根

2 有 f ?( x) ? 0

x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 2 2

0 ? x1 ? x2 .

x
f ?(x) f (x)

(0, x1 )
+ 单 调 递 增

x1
0 极 大

( x1 , x2 )
-

x2
0

( x2 ,??)
+ 单调递增

单调递 极 减 小

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 此时 f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ) 上单调递减 2 2 2 ( a ? a2 ? 8 ,??) 上单调递增。 2

(Ⅱ)当 a ? 3 时,方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根

x1 ? 1, x2 ? 2.

由(I)知,在 (1, e ) 内,

2

当 x ? 2时f ( x) 取得极值, f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3 ln 2, 因为 f (2) ? f (1) ? f (e ) ,
2

f (e 2 ) ? e 2 ? 2e ?2 ? 5.

所以 f ( x)在区间1, e ] 上的值域为 [2 ? 3 ln 2, e ? 2e [
2 2

?2

? 5].

19. 【解析】 解法一:

(I)依题意,得 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b. 由 f ?(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1, (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x, 3

故 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 2a ? 1) 令 f ?( x) ? 0, 则x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1. 当 x 变化时, f ?( x)与f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x) f (x)

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a,?1)
单调递减

(?1,??)
+ 单调递增

由此得,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1,??) ,单调减区间为 (1 ? 2a,?1) ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,此时有 f ?( x) ? 0 恒成立, 且仅在 x ? ?1 处 f ?( x) ? 0 , 故函数 f (x) 的单调增区间为 R。 ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 , 同理可得, 函数 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (1 ? 2a,??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1,??) ,单调减区间为 (1 ? 2a,?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (1 ? 2a,??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (III)由 a ? ?1 ,得 f ( x) ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3x. 3

由 f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 , 得 x1 ? ?1, x1 ? 3. 由(II)得 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ,单调减区间为 (?1,3) ,

所以函数 f (x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ), N (3,?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ? 1. 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3 x, ? 由? ?y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
得 x ? 3x ? x ? 3.
3 2

令 F ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? x ? 3. 易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 。 而 F (x) 的图象在 (0,2) 内是一条连续不断的曲线, 故 F (x) 在 (0,2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f (x) 有异于 M,N 的公共点。 解法二: (I)同解法一。 (Ⅱ)同解法二。 (III)由 a ? ?1, 得

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x. 3

由 f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 得 x1 ? ?1, x2 ? 3. 由(Ⅱ)得 f (x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ,单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f ( x)在x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ), N (3,?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ? 1. 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3 x, ? 由? ?y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0.
3 2

解得 x1 ? ?1, x2 ? 1, x3 ? 3.

? x1 ? ?1,? x2 ? 1, ? x3 ? 3. ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y 2 ? ? 3 ,? y3 ? ?9. ? ?
所以线段 MN 与曲线 f (x) 有异于 M,N 的公共点 (1,? 20.【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时,对函数 f (x) 求导数,得

11 ). 3

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9.
令 f ?( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ?( x) 的变化情况:

x
f ?(x) f (x)

(??,?1)
+

-1 0 极大值 6

(-1,3) -

3 0 极小值-26

(3,??)
+

所以, f (x) 的极大值是 f (?1) ? 6, 极小值是f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线, 关于 x ? a 对称, 若

1 ? a ?1, 4

则 f ?( x)在[1,4a] 上是增函数,从而

f ( x)在[1,4a] 上的最小值是 f ?(1) ? 3 ? 6a ? 9a 2 ,
最大值是 f ?(4a) ? 15a 由 | f ?( x) |? 12a, 得 ? 12a ? 3x ? 6ax ? 9a ? 12a,
2 2 2

于是有 f ?(1) ? 3 ? 6a ? 9a ? ?12a,
2

且 f ?(4a) ? 12a 得0 ? a ?

4 . 5

1 4 1 4 即a?( , ] 4 5 若 a ? 1,

所以 a ? ( ,1] ? [? ,1] ? [0, ] ,

1 3

4 5

则 | f ?(a) |? 12a 2 ? 12a. 故当 x ? [1,4a]时 | f ?( x) |? 12a 不恒成立。 所以使 | f ?( x) |? 12a( x ? [1,4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].

1 4 4 5

21. 【解析】 (I) f ?( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1). 由条件知

于是f ?( x) ? e x (? x 2 ? x ? 2) ? ?e x ( x ? 2)(x ? 1). f ?(1) ? 0, 故a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1. 故当x ? (??,?2) ? (1,??)时, f ?( x) ? 0; 当x ? (?2,1)时, f ?( x) ? 0.
从而 f ( x)在(??,?2), (1,??)单调减少 在(?2,1) 单调增加. , (II)由(I)知 f (x) 在[0,1]单调增加,故 f (x) 在[0,1]的最大值为 f (1) ? e, 最小值为 f (0) ? 1.

从而对任意 1 , x2 ? [0,1], 有 x | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ? 2.????10分
而当 ? ? [0,

?
2

]时, cos ? , sin ? ? [0,1],

从而 | f (cos? ) ? f (sin? ) |? 2. 22.【解析】 当 (2b) ? 4a ? 0 时无极值,
2 2 当 (2b) ? 4a ? 0 ,即 b ? a 时,
2

f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 有两个不同的解,即
x1 ? ? b ? b2 ? a ? b ? b2 ? a , x2 ? a a

因此 f ?( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) , (1)当 a>0 时, f ( x), f ?( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?(x) f (x)

(??, x1 )
+

x1
0

( x1 , x2 )
-

x2
0

( x2 ,??)
+

极大值

极小值

由此表可知 f (x) 在点 x1 , x 2 处分别取得极大值和极小值. (2)当 a ? 0 时, f ( x), f ?( x) 随 x 的变化情况如下表: ,

x

(??, x2 )
-

x2
0

( x2 , x1 )
+

x1
0

( x1 ,??)
-

f ?(x) f (x)

极小值

极大值

由此表可知 f (x) 在点 x1 , x 2 处分别取得极大值和极小值. 综上所述,当 a和b 满足 b ? a 时, f (x) 能取得极值。
2

(Ⅱ)解法一:由题意 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在区间 (0,1] 上恒成立,

ax 1 ? , x ? (0,1] 2 2x ax 1 ? , x ? (0,1] 设 g ( x) ? ? 2 2x


b??

(1)当

1 a

? (0,1] ,

即 a ? 1 时,

g ( x) ? ?(

ax 1 a ? ) ? ?2 ?? a 2 2x 4
1 a ? (0,1]

等号成立的条件为 x ?

[ g ( x)]最大值 ? g (
因此 b ? ? a . (2)当

1 a

) ? ? a,

1 ? 1,即0 ? a ? 1时, a

g ?( x) ? ?

a 1 1 ? ax2 ? ? ? 0, 2 2x 2 2x 2
a 1 a ?1 ? ?? , 2 2 2

[ g ( x)] 最大值 ? g (1) ? ?
所以 b ? ?

a ?1 . 2

综上所述,当 a ? 1 时, b ? ? a ; 当 0<a<1 时, b ? ?

a ?1 . 2

解法二:由题意 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在区间 ? 0,1? 上恒成立, 所以 设 则 令

ax 1 ? , x ? ? 0 ,?1 . 2 2x ax 1 g ( x )? ? ? x ? ? 0 ?, 1 , , 2 2x a 1 , g′(x)= ? ? 2 2x2 b??
g′(x)=0

得 x1 ?

1 a

或x2 ? ?

1 a

(舍去)



1 a

? (0,1) ,

即 a ? 1 时, 由于 x ? (0,

1 a

) 时 g ?( x) ? 0 ;

x?(

1 a

,1]

g ?( x) ? 0


? 1 ? ? 1 ? g (x) 在 ? 0, ,1? 上单调递减, ? 上单调递增,在 ? a? ? ? a ?
1 ) ? ? a, a

所以 ? g ( x) ?最大值 ? g ( 因此 b ? ? a . 当

1 ? ?1, ?? ? , 即a ? ? 0,1? 时, a

由于 x ? ? 0,1? 时, g ?( x) ? 0 即 g (x) 在 ? 0,1? 上单调递增, 所以 ? g ( x) ?最大值 ? g (1) ? ? 因此 b ? ?

a ?1 , 2

a ?1 . 2

综上所述,当 a>1 时, b ? ? a ; 当 0<a≤1 时, b ? ? 23.【解析】 (I)解:当 m ? 1 时,

a ?1 . 2

1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 , f ?( x) ? ? x 2 ? 2 x , 3
故 f ?(1) ? 1. 所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1。 (Ⅱ)解: f ?( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1. 令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 1 ? m, 或x ? 1 ? m 因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表有:

x
f ?(x) f (x)

(??,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,??)
-

所以 f ( x)在(??,1 ? m), (1 ? m,??) 内是减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内是增函数。 函数 f ( x)在x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) , 且 f (1 ? m) ? ?

2 3 1 m ? m2 ? . 3 3

函数 f ( x)在x ? 1 ? m 处取得极大植 f (1 ? m)

且 f (1 ? m) ?

2 3 1 m ? m2 ? . 3 3

(III)解:由题设,

1 1 f ( x) ? x(? x 2 ? 9 x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所以方程 ? x ? x ? m ? 1 ? 0 有两个相异的实根 x1 , x 2 3
故 x1 ? x2 ? 3

4 2 (m ? 1) ? 0 。 3 1 1 解得 m ? ? (舍), 或m ? . 2 2
且 ? ? 1? 因为 x1 ? x 2 所以 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 , 故 x2 ?

3 ?1 2

若 x1 ? 1 ? x2 , 则 f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0, 而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意。 若 1 ? x1 ? x2 , 对任意的 ? [ x1 , x2 ] , x 有 x ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 则 f ( x) ? ?

1 3

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0. 3

又 f ( x1 ) ? 0 , 所以 f ( x)在[ x1 , x2 ] 上的最小值为 0。 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,

f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m 2 ?
解得 ?

1 ?0, 3

3 3 ?m? . 3 3 1 3 ). 2 3

综上, m 的取值范围是 ( ,

24.【解析】 (I)由函数 f (x) 的图象过原点,得

b ? 0,
又 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

f (x) 在原点处的切线斜率是-3,
则 ? a(a ? 2) ? ?3, 所以 a ? ?3或a ? 1. (Ⅱ)解:由 f ?( x) ? 0 ,得

x1 ? a, x 2 ? ?

a?2 3

又 f ( x)在(?1,1) 上不单调,即

?? 1 ? a ? 1, ? a?2 ? ?a ? ? 3 ?
a?2 ? 1? ? ? 1, ? ? 3 或? ?a ? ? a ? 2 . ? 3 ?

?? 1 ? a ? 1 ? 解得 ? 1 ?a ? ? 2 ? ?? 5 ? a ? 1, ? 或? 1 ?a ? ? 2 . ?
所以 a 的取值范围是 (?5,? ) ? (?

1 2

1 ,1). 2


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