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高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第2节第2课时双曲线、抛物线的参数方程-含答案

数学 第 2 课时 双曲线、抛物线的参数方程 [核心必知] 1.双曲线的参数方程 ?x=asecφ , ? x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? ,规定参 a b ?y=btan φ ? π 3π 数 φ 的取值范围为φ ∈[0,2π )且 φ≠ ,φ ≠ . 2 2 ? ?x=btan φ , y2 x2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? . a b ?y=asecφ ? 2.抛物线的参数方程 ?x=2pt2, ? (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为? ,t∈R. ?y=2pt ? (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. [问题思考] 1.在双曲线的参数方程中,φ 的几何意义是什么? 提示: 参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转角(称为点 M 的离心角), 而不是 OM 的旋转角. 2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置? 提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 asecφ ,则焦点在 y 轴上. ?x=tan α , 3.若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的几何意义是什么? 2p ?y=tan α . 2 2p 数学 提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的角. 在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P,使 P 到直线 y=x 的距离为 2. [精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用,解答本题需要先求出双曲线的参数方 程,设出 P 点的坐标,建立方程求解. |secφ -tan φ | = 2 2 设 P 的坐标为(secφ ,tan φ ),由 P 到直线 x-y=0 的距离为 2得 sin φ 1 得| - |=2,|1-sin φ |=2|cos φ | cos φ cos φ 平方得 1-2sin φ +sin 2φ =4(1-sin 2φ ), 即 5sin 2φ -2sin φ -3=0. 3 解得 sin φ =1 或 sin φ =- . 5 sin φ =1 时,cos φ =0(舍去). 3 4 sin φ =- 时,cos φ =± . 5 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为( ,- )或(- , ). 4 4 4 4 ————— ————————————— 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的, 因而曲线的参数方程具有消元的作 用,利用它可以简化某些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计算时,用参 数方程可将代数问题转化为三角问题,然后利用三角知识处理. 1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点. 证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 数学 弦 B′B∥Ox,B(asec α ,atan α ),则 B′(-asec α ,atan α ). ∵kB′A= atan α ,kBA= , -asec α -a asec α -a atan α ∴kB′A·kBA=-1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点. 连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线. [精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用.解答本题需要先求出抛物线 的参数方程并表示出 M、P 的坐标,然后借助中点坐标公式求解. 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点, ?x=2t, ?x0=4t, ? ? 抛物线的参数方程为? 由中点坐标公式得 ? 2 2 ? ? ?y=2t , ?y0=4t , 1 2 变形为 y0= x0 ,即 x2=4y.表示的为抛物线. 4 ————— ————————————— 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间变量即参数 (将 x,y 表示成关于参数的函数),然后消去参数得普通方程.这种方法是参数法,而涉及 曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标 ?x=2t2, ? 2.已知抛物线 C:? (t 为参数),设 O 为坐标原点,点 M 在抛物线 C 上,且点 ?y=2t ? M 的纵坐标为 2,求点 M 到抛物线焦点的距离. 2 ? ?x=2t , 2 解:由? 得 y =2x, ?y=2t ? 即抛物线的标准方程为 y2=2x. 又∵M 点的纵坐标为 2, 数学 ∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=- . 2 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(- )=2+ = . 2 2 2 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为 . 2 ?x=4secθ , ? 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线? (θ 为参数)的右顶点和右 ? ?y=3tan θ 焦点,求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离. [精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程,解答本题需要先将双曲线化为普通方 程并求得渐近线方程,然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可. x2 y2 ∵ - =1, 16 9 ∴右焦点(5,0),右顶点(4,0). x2 y2 设椭圆 2+ 2=1,∴a=5,c=4,b=3. a b x2 y2 ∴方程为 + =1. 25 9 设椭圆上一点 P(5cos θ ,3sin θ ), 双曲线一渐近线为 3x-4y=0, |3×5cos θ -12sin θ | ∴点 P 到直线的距离 d= 5 = 3| 41sin (θ-φ)| 5 (tan φ = ). 5 4 3 41 . 5 ————————————— ∴dmax= ————— 对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲线就不

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