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高中物理竞赛(静力学) (1)


第一讲:力、物体的平衡
补充:杠杆平衡(即力矩平衡),对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 重心的定义: x ?
m1 gx1 ? m 2 gx2 ? ?? ,当坐标原点移到重心上,则两边的重力矩平衡。 m1 g ? m 2 g ? ??

问题:半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内切圆板,如图a所示,求剩下部分的重心。

2.弹力、弹簧的弹力(F=kx,或F=-kx) (1)两弹簧串联总伸长x,F=? 由x1+x2=x,k1x1=k2x2,得 x 2 ?
k1 x k k x ,所以 F ? k 2 x 2 ?? 1 2 ? kx . k1 ? k 2 k1 ? k 2

(2)并联时F=(k1+k2)x. (3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段,每段劲度系数k?=?(10k) 1. 一个重为G的小环,套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一个劲度系数为k,自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧,其上端固定在 大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为: kL . (答案: cos?1 ) 2kR ? 2G 3.摩擦力 (1)摩擦力的方向: ?静摩擦力的方向:跟运动状态与外力有关。 ?滑动摩擦力的方向:跟相对运动方向相反。 0 2. 如图所示,在倾角θ=30 的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G,现用与斜面底边平行的水平作用力F(F=G/2)推物体,物体恰好在 斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . (答案:
6 ) 3

(2)摩擦角:f和N的合力叫全反力,全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角(f达到最大)叫摩擦角,摩 -1 -1 擦角?=tan f/N=tan ?。摩擦角与摩擦力无关,对一定的接触面,?是一定的。 水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为?,则为使拉力F最小,F与水平地面间 的夹角多大?F的最小值为多少?

二、物体的平衡 1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力 (2)三力汇交原理:互不平行的三个力处于平衡,这三个力的作用线必交于一点。 ?确定墙壁或天花板对杆的弹力方向? ?若墙壁与杆间动摩擦因数为?,物体只能挂在什么范围? 3. 如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为?.则容器面对杆A点的作用力F为多大?

2.力矩和力矩平衡:M=FL (1)力矩的平衡条件:对任意点

? M ? 0 也常用来受力分析,如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用?
对球心,根据力矩平衡可知,下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用 这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。 又如板与墙之间夹一球,两边的摩擦力大小相等,若?相同,对球心有 M ? 0 得板对球的弹力大,可判断沿墙滑动,沿板滚动。

?M ? 0

?

4.

将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行,C点为球的最高点斜面倾角为37 .求: (1)绳子的张力. (2)斜面对球的摩擦力和弹力.

0

1

5.

一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态, 则此砝码距A点的距离应为多少? (答案:0.1m)

6.

两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是MA=2MB,?=45 ,求?.
0

(2)二力杆:两端受力的杆,力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。 7. 如图所示,每侧梯长为 L 的折梯置于铅垂平面内,已知 A 、 B 两处与地面间的动摩擦因数分别为 ?A=0.2,?B=0.6,C点用光滑的铰链连接,不计梯重,求人最多能爬多高。

8.

如图所示,一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一细棒相连,两棒的长度相等,两 棒限以图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在C端加一个适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图示的位置处, 即两棒间的夹角为90?,且C端正好在A端的正下方。 (1)不管两棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向的范围内?说明道理(不要求推算)。 (2)如果AB棒的质量为m1,BC棒的质量为m2,求此外力的大小和方向。

3.物体的平衡条件:F=0;M=0 9. 质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为?,求绳的悬挂点处及绳的 最低点处的张力.

10. 如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为?.则当斜面倾角?大于 体不可能沿斜面向上运动

时,无论水平推力F多大,物

12.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、 2、 3三上 圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为?(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力.

13.一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数 分别为?1、?2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

部分参考答案 (答案: F ? Mg tan ? ) 解:F的作用线通过圆心 B点对杆的作用力N与相垂直 角度关系如图所示
2

根据正弦定理

Mg sin(90 ? ? )
0

?

F sin?

得 F ? Mg tan ? 解:若B端开始滑动,AC为二力杆,地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30?, -1 -1 而A点对应的摩擦角?A=tan ?A=tan 0.2<30?。AC杆不能衡。 -1 -1 若A端开始滑动, AB为二力杆,地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30?, 而B点对应的摩擦角?B=tan ?B=tan 0.6>30?。 AB杆能衡。 所以人必须从A点沿梯上爬,此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。 对整体,根据三力共点,人的重力作用线必通过FA和FB的交点。 设人的水平距离为s,有几何关系(两边高相等):scot?A=(L-s)cot30?, 得s=0.26L,最大高度H= 3 s=0.45L。 [答案:(1)F的方向与AC夹角范围18?.24?-45?间;(2) F ?
1 解 (1) 设F的方向与AC夹角为?, 如果当m1质量很小时, AB对BC的作用力沿AB方向, 则F的方向必交于AB的中点, ?=45?-tan-1 2 =18?.24?; 1 2 g 2m12 ? 10m2 ? 8m1 m2 ] 4

如果当m2质量很小时,则F的方向沿BC方向,?=45?。 所以F方向的范围是?=18?.24?-45?间。 L (2)以A为转轴,对两棒有: (m1 ? m2 ) g ? sin 450 ? F ? 2 L sin? ----? 2 L 以B为转轴,对BC有: m2 g ? sin 450 ? F ? L sin(450 ? ? ) ----? 2 sin(45?-?)=sin45?cos?-cso45?sin?----? 1 2 有???式得F的大小: F ? g 2m12 ? 10m2 ? 8m1 m2 ; 4

F的方向与竖直线的夹角?= tan ?1
可见,m1=0时,?= tan ?1

m1 ? m 2 . 3m 2 ? m1

1 ? 18?.24?;m2=0时,?= tan ?1 1 ? 45?. 3

(答案:

mg mg cot ? ) , 2 sin? 2

无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动,这种情况称为自锁。 如放在水平地面上的物体,跟水平面之间的动摩擦因数为?.推力F与水平面之间的夹角为?,则当?大于时,无论水平推力F多大, 物体不可能运动。 ?mg 有Fcos?=(mg+Fsin?)?,得 F ? ,推不动:cos?-?sin?=0,cot?=?. cos? ? ? sin? 或Fcos?(增加的动力)?Fsin??(增加的阻力),得cot???. 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同. 解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦. 解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求. 解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcot?. 再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零). 对A点,有力矩平衡 TAC ? N1 AD ? 3G(r ? 2r sin? )

? 式中 AD ? r / tan , AC ? L cos? 2 3Gr 1 1 ? 2 sin? 有上述四式可行 T ? ( ? ). L 1 ? cos? cos?
(答案: ? ? tan ?1
1 ? ?1 ? 2 ) 2?1

解法1:设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为?, 则有f1=?1N1, f2=?2N2(同时达到最大,与上题有区别) 水平方向:?1N1=N2,竖直方向:?2N2+N1=G, 得:G=?2N2+N2/?1------? L 取A点为转轴: G cos? ? LN 2 sin? ? L? 2 N 2 cos? ? 0 -----? 2 1 ? ?1 ? 2 1 ? ?1 ? 2 解得 tan ? ? ,即 ? ? tan ?1 。 2?1 2?1 解法2:地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点(如图的D点) 则有:tan?1=?1,tan?2=?2,
3

BC DH ? DE DH DE 1 1 ? ? ? ? cot ?1 ? tan? 2 , AC 2 AH 2 AH 2EB 2 2 1 ? ? ? 1 2 可解得: ? ? tan ?1 。 2?1

有几何关系: tan? ?

4


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