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2013届高考数学一轮复习精品学案:第6讲 函数与方程 2

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第6讲
四.典例解析
题型 1:方程的根与函数零点 例 1.(1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A.(0,1) B.(1,2) ) C.(2,3) D.(3,+∞)

函数与方程

(2)设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。 例 2.设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且 在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。 (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。 题型 2:零点存在性定理 例 3.设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中常数 m 为整数。 (1)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ; ( 2 )定理:若函数 g ( x) 在 [ a, b] 上连续,且 g (a ) 与 g (b) 异号,则至少存在一点

x0 ? (a, b) ,使得 g ( x0 ) ? 0
试用上述定理证明:当整数 m ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 在 ? ?e 根。 例 4.若函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;
?m

? m, e 2 m ? m ? ? 内有两个实

题型 3:二分法的概念 例 5.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是(



1

A.“二分法”求方程的近似解一定可将 y ? f ( x) 在[a,b]内的所有零点得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y ? f ( x) 在[a,b]内的零点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y ? f ( x) 在[a,b]内有可能无零点; D.“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) ? 0 在[a,b]内的精确解; 例 6.方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内的近似解,用“二分法”计算到 x10 ? 0.445达到精确度要 ) D.0.00005

求。那么所取误差限 ? 是(

A.0.05 B.0.005 C.0.0005 题型 4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例 7.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 x 在区间(1,2)内的近似解(精 确到 0.1) 。 例 8.借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 )。
x

题型 5:一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例 9. 设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满
2

足 0 ? x1 ? x2 ?

1 . 当 x ? ?0, x1 ? 时,证明x?f??。 1 a

2 例 10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个

实数根为 x1 和 x2 . (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 题型 6:一元二次函数与一元二次不等式 例 11.设 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证
2

明:对于任意 ? 1 ? x ? 1 ,有 f ? x ? ?
2

5 。 4

例 12.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,当 ? 1 ? x ? 1 时,有 ? 1 ? f ( x ) ? 1 ,求 证:当 ? 2 ? x ? 2 时,有 ? 7 ? f ( x ) ? 7 题型 7:二次函数的图像与性质 例 13. 在下列图象中, 二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y= (

b x ) 的图象只可能是 ( a



2

例 14.设 a∈R,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性 (2)求 f(x)的最小值. 题型 8:二次函数的综合问题 例 15.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x2 ? 2x 。 (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 例 16.已知函数 f ( x ) ? 2 ?
z

a 。 2x

(1)将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求函数 y ? g ( x) 的 解析式; (2)函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的解 析式; (3)设 F ( x ) ? 取值范围。

1 f ( x) ? h( x) ,已知 F ( x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a 的 a

五.思维总结
1.函数零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② ( 几 何 法 ) 对 于 不 能 用 求 根 公 式 的 方 程 , 可 以 将 它 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 2.学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发, 可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图 像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本 文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在 解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性 质。

3

(1)二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键在 于:通过三个独立条件“确定”这三个参数。 (2)数形结合:二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c

?a ? 0?的图像为抛物线,具有许多优 ?a ? 0?在区间 (?? ,?
b ]和 2a

美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题,可 以化难为易,形象直观。因为二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 区间 [ ?

b ,?? ) 上分别单调,所以函数 f ?x ? 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或 2a

顶点处取得;函数 f ( x) 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

4


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