tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 数学 >>

各种三角函数类题型(老师用)

三角函数基本公式、重要题型总结 学习本专题必备知识点总结:
1. 终边相同的角的关系: ? ? ? ? k ? 3600 , (k ? Z ); 1800 ? ? 5? , 1rad ? , 450 ? , 600 ? , 1500 ? ; 180 ? 4 3 6 扇形的弧长公式:l ?| ? | ?r (?为扇形圆心角的弧度数 , 该公式在求球面上两点 间的距离时也要用 ); 1 扇形的面积公式:S ? lr 2 1 (与三角形的面积公式: S ? ? ah联系在一起记忆,可以 把弧长l看作三角形的底a,r看作高h). 2 y y x 2. 六种三角函数的定义: 正弦函数 sin? ? ; 余弦函数 cos? ? ; tan ? ? ; r r x x r r 余切函数 cot? ? ; 正割函数 sec? ? ; csc? ? . y x y 角度与弧度的互换基础 : 1800 ? ? ; 如: 10 ? 说明:坐标(x, y)为角?终边上任一点,且r ? x 2 ? y 2 , 记忆的方法:与初中的 定义联系在一起记忆, 如把y看作?的对边,x看作?的邻边,r看作斜边 . 3. 同角三角函数之间的关 系: ( 1 ) 平方关系: sin2 ? ? cos2 ? ? 1, sec2 ? ? tan 2 ? ? 1, csc2 ? ? cot 2 ? ? 1; (2) 倒数关系: sin? ? csc? ? 1, cos? ? sec? ? 1, (3) 商的关系: tan ? ? tan ? ? cot? ? 1; sin? cos? , cot? ? . cos? sin? 4. 诱导公式: (1) sin(2k? ? ? ) ? sin? , cos(2k? ? ? ) ? cos? , tan(2k? ? ? ) ? tan ? ; (2) sin( ? ? ? ) ? sin? , cos(? ? ? ) ? ? cos? , tan(? ? ? ) ? ? tan ? ; (3) sin( ? ? ? ) ? ? sin? , cos(? ? ? ) ? ? cos? , tan(? ? ? ) ? tan ? ; (4) sin(?? ) ? ? sin? , cos(?? ) ? cos? , tan(?? ) ? ? tan ? ; (5) sin(2? ? ? ) ? ? sin? , cos(2? ? ? ) ? cos? , tan(2? ? ? ) ? ? tan ? ; (6) sin( ? ? ) ? cos? , cos( ? ? ) ? sin? , 2 2

?

?

?

(7) sin( ? ? ) ? cos? , cos( ? ? ) ? ? sin? , tan( ? ? ) ? ? cot? ; 2 2 2 3? 3? 3? (8) sin( ? ? ) ? ? cos? , cos( ? ? ) ? ? sin? , tan( ? ? ) ? cot? ; 2 2 2 3? 3? 3? (9) sin( ? ? ) ? ? cos? , cos( ? ? ) ? sin? , tan( ? ? ) ? ? cot? . 2 2 2 说明:公式( 1 ) ~ (5)是同名三角函数之间 的变换;公式( 6) ~ (9)是异名三角函数之间 的变换; 记忆这些公式的技巧: “奇变偶不变,符号看 象限”;对该规律的解 释:当?前的角为 的偶数 2

?

?

tan( ? ? ) ? cot? ; 2

?

?

?

? 倍时(如:公式(1)~(5)中的各角) ,三角函数的名称不变,当 ?前的角为 的奇数 倍时 2
(如:公式(6)~(9)中的各角) ,三角函数的名称要改变. 把 ? 看作锐角时,由原三角函 数角的象限所得到的对应函数值的正负,可以确定等号后函数的正负. 4. 两角和与差的三角函数公式: (1) sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ; (2) cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ; tan? ? tan ? (3) tan( ? ? ?) ? .(以上公式中的?、?是使公式有意义的任意 角). 1 ? tan? tan ? 5. 二倍角的三角函数公式:

2 tan? ; 1 ? tan2 ? (3) cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ? ; 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? cos2 ? ? , 或 ? sin2 ? ? ; (这两个公式在降次时常用) 2 2 (1) sin 2? ? 2 sin? cos? ; (2) tan 2? ? 说明:要知道二倍角是相对的, 2?是?的二倍,同样?也是 的二倍, 4?也是2? 2 的二倍;以上公式给出 左边可知右边,如果给 出右边也要能得出左边.

?

一、已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值的题型 例 1.求解下列各式: (1)若 sin ? ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? (2)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

4 5

. ) D. ?

12 13

12 ,则 cos A ? ( 5 5 5 B. C. ? 13 13

12 13

解析:这种题型是高考常考的重要题型,基本上是以较简单的形式考察.题(1)由条 件易知 ?一定在第三象限,再用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,即得cos?的值. 题(2)由条件易知 A 角为钝角,再用三角函数基本公式即得 cos A 的值.

3 ? 4? ? 在第三象限, (1) 方法一: 由已知, ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? . 5 ? 5?
2

2

方法二:同样由已知, ? 在第三象限,画出对应的边长为 3、4、5 的直角三角形, 由图象易得 cos ? ? ? . (2)方法一:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

3 5

因此应填 ? .

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

3 5

cos A ? ?

1 1 ? tan 2 A

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

方法二:同样已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 画出对应的边长为 5 2 12 5、12、13 的直角三角形,由图象易得 cos A = ? . 13

总结:这种题型的解法主要有两种: (1)用三角函数的基本公式来求解(如方法一) ; (2)画出对应的直角三角形,利用图象来求解(如方法二) ;比较这两种方法,可知方法一 能很好地练习三角函数中的基本公式,方法二解这种题型更快,而且也不容易出错. 练习 1. 求解下列各式: (1) ? 是第四象限角, cos ? ? A.

5 13

12 , sin ? ? ( 13 5 5 B. ? C. 12 13

) D. ?

5 12

(2) 设 ? ? (0, A.

?

7 5

3 ? ) 若 sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) =( 2 5 4 1 7 B. C. 5 2

) D.4

参考答案: (1)B (2)B (提示:先用两角和的余弦公式展开,再求出 cos?的值 即得) 二、关于诱导公式和求角的范围的题型 例 2.求解下列各式的值: (1) sin585o 的值为( ) A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

(2)若角?满足条件 sin2?<0, cos ? ? sin ? ? 0 ,则?在( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 (3)已知 ? 为第三象限角,则

) D. 第四象限

? 所在的象限是( 2

)

A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 解析:诱导公式以及求角的范围的题型是高考常考的难度不算大的重要题型之一. 题 (1)考查诱导公式、特殊角的三角函数值,属于较容易的基础题. 题(2)考查二倍角的正 弦公式和三角函数值在四个象限内的正负. 题(3)给出 ? 的范围,可知 ? 所在范围的表达 式,从而可以求出

? 范围. 2

(1) sin 585 ? sin(360 ? 225 ) ? sin(180 ? 45 ) ? ? sin 45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A . 2

(2)? sin2? ? 2 sin? cos? ? 0, 且 cos? ? sin? ? 0.? cos? ? 0, sin? ? 0.故选B.
? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? (3) ??为第三象限角, ? k? ? 3? , k ? Z. 2

?
2

?

?
2

? k? ?

3? ? , k ? Z . 因此, 在第二或第四象限内, 故选D. 4 2

总结:考查诱导公式的题型,要牢记 “奇变偶不变,符号看象限”规律,以及三角函 数值在四个象限内的正负. 求角的范围的题型, 除了要牢记三角函数值在四个象限内的正负 这个重要知识点外,还要熟知角在各个范围内的表达式及求与该角有关的式子范围的方法. 练习 2. 求解下列各式的值: (1) sin 210 ? (
?

) B. ?

A.

3 2

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

(2)已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 参考答案: (1)D (2) C (由条件知 cos? , tan? 的值异号,所以选C )

三、关于和差角公式与二倍角公式的题型 例 3.求解下列各式的值: (1)已知 tan a =4,cot ? = A.

7 11

1 ,则 tan( ? ? ? )=( ) 3 7 7 7 B. ? C. D. ? 11 13 13

? sin( ?? ) 15 4 (2)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? = 的值. ,求 sin 2? ? cos 2? ? 1 4

解析: 关于和差角公式与二倍角公式的应用是高考常考的重要知识点之一. 题(1)考查 同角三角函数之间的关系、正切的和角公式; 题(2)主要考查同角三角函数的基本关系、 二倍角公式以及三角函数式的恒等变形. (1)由 cot ? =

1 tan? ? tan ? 4?3 7 知 tan ? ? 3 ,所以 tan( ? ? ?) ? ? ? ? ,故选择 B. 1 ? tan? ? tan ? 1 ?12 11 3
?
2 (sin? ? cos? ) 2 ? 2 sin? cos? ? 2 cos2 ?
? 2 (sin? ? cos? ) . 4 cos? (sin? ? cos? )

) 4 (2)因为 sin 2? ? cos 2? ? 1

sin( ??

当 ? 为第二象限角,且 sin? ?
sin( ??

1 15 时 cos? ? ? . 所以 sin? ? cos? ? 0 . 4 4

所以

) 2 4 = ? ? 2. sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?

?

总结: 做关于和差角公式与二倍角公式这种题型的关键是: 首先要熟记各种和差角公式 和二倍角公式及其公式的变形,如出现 1 ? cos 2?的形式,要想到1 ? cos 2? ? 2 sin2 ? 以及公式
1 ? cos 2? ? 2 cos2 ? ,当题目中出现 sin2 ? , 或 cos2 ?以及 sin 2? , 或 cos 2?时, 要想到用以下降次

公式 : sin2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , 或 cos2 ? ? ;然后用已知条件,求出要求的式子(或化简后 2 2

的式子)的值即可. 练习 3. 求解下列各式的值: (1)
2 sin2? cos2 ? =( ? 1 ? cos2? cos2?

) C.1 D.

A. tan ?

B. tan 2?

1 2

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? (2)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值. 13 cos ? 2? ? 4? ?
参考答案: (1)B; (提示:?1 ? cos 2? ? 2 cos2 ? ?
2 sin 2? cos2 ? sin 2? ? ? ? tan 2? ) 1 ? cos 2? cos 2? cos 2?

?? ? 2 2 sin ? ? ? ? (sin? +cos?) 13 2 4? 13 2 ? 2 (2) ? ? 2 2 ? ?? .) . (? 2 14 cos ? 2? ? 4? ? cos ? ? sin ? 14 cos ? ? sin ?

四、其他常考的利用三角函数公式求解的题型
是关于sin?、 cos? 一(二)次的式子的值 (一)已知 tan? , 或 cot?的值,要求分子、分母

例 4. 求下列各式的值: (1)已知 tan? ? 2,求
2 sin? ? 3 cos? sin2 ? ? 2 cos2 ? (2)已知cot? ? ?2, 求 的值; 的值. sin? ? cos? sin? cos? 解析:因为这种题型的分子、分母中的 sin? , cos?的次方一定相同, 所以又叫做齐次分式

的题型. 题(1)给出 tan? 的值,要求的式子是关于 sin ? , cos ? 的一次式;题(2)给出的是 cot? 的值,要求的式子是关于 sin ? , cos ? 的二次式. (1)因为所求的式子是关于 sin ? , cos ? 的一次式,则分子、分母同除以 cos? .
则 2 sin? ? 3 cos? 2 tan? ? 3 ? ? 7. sin? ? cos? tan? ? 1

总结: 这种题型的基本解法有两种: (1) 由已知条件, 用本专题的题型一, 求出 sin ? , cos ? 的值,代入所求式子即可; (2)若所求的式子是关于 sin ? , cos ? 的一次式,则分子、分母同 除以 cos? ,即把所求的式子变为关于 tan? 的式子;若所求的式子是关于 sin ? , cos ? 的二次 式,则分子、分母同除以 cos2 ? ,即把所求的式子变为关于 tan? 的式子; 若所求的式子可 以变换成以上两种形式也可以类似地做. 练习 4. 求下列各式的值: (1)已知 tan? ? 1, 求 sin? ? cos?的值;(2)已知 tan ? ? 3, 求 参考答案: (1) ? 2; (2) ?
6 . 11 sin? ,?sin? ? cos? ? 2 cos? , 又? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 cos?
sin? cos? ? sin2 ? cos2 ? ? 1 的值 .

提示: (1)方法一:由已知 tan? ? 1 ?
? cos? ? ?

2 ,? sin? ? cos? ? 2 cos? ? ? 2 . 2

方法二:令分母中的1 ? sin2 ? ? cos2 ? ,则sin? ? cos? ? 当 cos? ? 0, 原式 ?

sin? ? cos?

sin2 ? ? cos2 ? tan? ? 1 tan? ? 1 ? 2 ; 当 cos? ? 0, 原式 ? ? ? 2. 2 tan ? ? 1 ? tan2 ? ? 1

比较两种解法可知,题(1)的这种形式用方法一较好,方法二要注意正负号的问题.
(2) 令1 ? sin2 ? ? cos2 ? , 所求的式子就变成了分 子、分母关于sin?、 cos?的二次的基本形式.

(二) 已知条件为 sin ? cos ? , sin ? ? cos ? 三者之中任一个时的题型 例 5. 求下列各式的值:
1 (1)已知 sin? cos? ? , 求 sin? ? cos?和 sin? ? cos?的值. 2

(2)已知sin? ? cos? ? 2 , 求 sin2 ? ? cos2 ?和sin4 ? ? cos4 ?的值.
本的两个,其他的四种 都可以用这两种表示,这类 解析:sin? , cos?是六种三角函数中最基

题型也是高考常考的重点.题(1) 是已知 sin? cos?的值,要求sin? ? cos?的值的形式. 题(2)
cos?有关的式子的值. 是已知 sin? ? cos?的值,要求的是与sin?、

(1) ? (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin? cos? ? 2, ? sin? ? cos? ? ? 2 , 同理 sin? ? cos? ? 0. 1 (2) ? sin? ? cos? ? 2 , ? (sin? ? cos? ) 2 ? 2 ? sin? cos? ? . 2 2 ? (sin? ? cos? ) ? 1 ? 2 sin? cos? ? 0, ? sin? ? cos? ? 0. ? sin2 ? ? cos2 ? ? (sin? ? cos? )(sin? ? cos? ) ? 0. ? sin4 ? ? cos4 ? ? (sin2 ? ? cos2 ? ) 2 ? 2 sin2 ? cos2 ? , ? sin4 ? ? cos4 ? ? 1 ? 1 1 ? . 2 2

总结:由上面的解法知,当已知条件为 sin ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三者之中的任 式子 的值. 意一个时, 可以求出另外两个, 而且还可以求出 sin?和 cos?的值以及与它们有关的 如果所给的式子可以用公式变成含有 sin? cos? , 或 sin? ? cos? , 或 sin? ? cos? 的形式更好. 练习 5. 求下列各式的值:
(1) 若 tan? ? cot? ? 2, 求 sin3 ? ? cos3 ? 和 sin? ? cos? 的值 . (2) 若 tan 2 ? ? cot 2 ? ? 2, 求 sin? cos? 的值 .
1 参考答案: (1) 0, ? 2 (提示:立方差公式为a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )); (2) ? . 2

(三)有切、割、弦的式子,则用切割化弦;有切的加减和乘积,则用公式变形 例 6. 化简下列各式:
(1) (tan100 ? 3 ) (3) cos100
0

sin50 sin( ? ? ? ) sin( ? ? ?) sin2 ? cos2 ?

; ? tan 2 ? tan 2 ? ;

(2)

tan? ? tan? ? sin? 1 ? sec? ? ; tan? ? sin? 1 ? csc?

(4) tan 700 ? tan 500 ? 3 tan 500 tan 700.

解析: 切割化弦的思想是解三角函数题常用的一种重要的常考的思想, 它实质上是一种 统一三角函数种类(切、割统一为弦)的思路. 题(1)~(3)是含有切、割、弦的式子,在 化简的过程中一定要用到切割化弦的思想;而题(4)中只有切的加减和乘积,这时不能用 切 割 化 弦 了 , 只 能 用 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 的 变 形 , 即 tan? ? tan ? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? tan ? ).
(1) ? tan100 ? 3 ? ?原式 ? sin100 cos100 ? 3? sin100 ? 3 cos100 cos100 ? 2 sin( 100 ? 600 ) cos100 ? ? 2 sin500 cos100 .

? 2 sin500 cos100 ? ? ?2. cos100 sin500

另解: 令 3 ? tan 600 , 然后再用切割化弦通分 ,同样可以得出结果, 这时就不用辅助角公式 了 .
sin? sin? 1 cos? ? 1 ? ? sin? 1 ? 1 ? sin? sin? cos ? cos ? cos ? (2) 原式 ? ? ? ? cos? ? ? tan? . sin? 1 sin ? ? 1 1 ? cos? cos? ? sin? 1? cos? sin? sin?
sin2 ? (3) 原式 ? (sin? cos ? ? cos? sin ? )(sin? cos ? ? cos? sin ? ) sin2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin2 ? cos2 ? ? 1 ? cot 2 ? tan 2 ? ? cot 2 ? tan 2 ? ? 1. (4) 原式 ? tan(700 ? 500 )(1 ? tan 700 tan 500 ) ? 3 tan 500 tan 700 ? ? 3.

总结:当所给的关于三角函数的式子中切、割、弦时,则用切割化弦通分进行化简;而 当所给的式子中只有切的加(减)和乘积,则用公式 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) , 先把切的加(减)进行变形然后再化简. 练习 6. 化简下列各式:
(1) sin2 ? sin? ? cos? ? ? sin? ? cos? ; sin? ? cos? tan 2 ? ? 1 (2) tan 800 ? tan 200 ? 3 tan 800 tan 200.

参考答案: (1)0;

(2) 3.

(四)已知两个角的三角函数值,求第三个角(的函数值)的题型 例 7. 求下列各式的值:
(1) 已知 tan? ? 2, tan(? ? ? ) ? 1, 求 tan(? ? 2? )的值;

? 3? ? ? 3 5? 12 (2) 已知? ? ( , ), ? ? (0, ), 且 cos( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? ? , 求 cos( ? ? ? )的值 . 4 4 4 4 5 4 13
解析:已知两个角的三角函数值,求第三个角(的函数值)的题型是常考的知识点,既 可以在小题中也可以在大题中考查. 题(1)是与正切函数有关的这种题型,这时不需要考 虑正负号的取舍问题;题(2)是与正(余)函数有关这种题型,这时需要由角的范围确定 正负号的取舍,与题(1)相比,这种形式较难一些,而且考的也较多一些. (1) ? ? ? 2? ? ( ? ? ? ) ? ? ,? tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? ?? . 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 3 5? ? 12 ? 12 (2) ? sin( ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ? , ? sin( ? ? ) ? .
13 ? 3? ? ? ? 3 ? 3 由? ? ( , ),? ? ? ? (? ,0). 又 ? cos( ? ? ) ? , ? sin( ? ? ) ? ? . 4 4 4 2 4 5 4 5 ? ? ? ? ? 12 ? 5 同理由? ? (0, ) ? ( ? ? ) ? ( , ), 又 ? sin( ? ? ) ? ,? cos( ? ? ) ? . 4 4 4 2 4 13 4 13 ? ? 5 3 12 3 21 因此, cos(? ? ? ) ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? ? ? (? ) ? ? . 4 4 13 5 13 5 65 4 4 13 4

总结:解已知两个角的三角函数值,求第三个角(的函数值)的题型的关键是:用已知 的两个角表示要求的角. 当然在必要的时候,还可以对条件进行恒等变形(如题(2) ).如 果要求角的值,可以用类似的方法先求出该角的三角函数值,再根据角的范围求出角的值. 练习 7. 求下列各式的值:

? 3 5 (1) 已知?、? ?[0, ], 且 cos? ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 求 cos ? 的值 ; 2 5 13

? 10 5 (2) 若?、? ?[0, ], 且 cos? ? , cos ? ? , 则? ? ? ? 2 10 5
参考答案: (1)
33 ; 65 (2)

.

3? 2 3? . (提示:先求出 cos( ? ? ?) ? ? , 再得? ? ? ? .) 4 2 4

本专题典型的函数公式、重要题型的高考真题汇总及解析 较容易的基础题: 1.

? 是第四象限角, tan ? ? ?
A.

1 5

B. ?

1 5

5 ,则 sin ? ? ( 12 5 5 C. D. ? 13 13



2.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A.第一象限角 B. 第二象限角 3. cos330 ? (
?

) C. 第三象限角

D. 第四象限角

) B. ?

A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. ? ) D.4 )

3 2

4. 设 ? ? (0, A.

?

7 5

3 ? ) 若 sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) = ( 2 5 4 1 7 B. C. 5 2

5. 设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则( A. 0 ? x ? ? 6. “? ? B.

?
4

?x?

?
6

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2

? 2 k? (k Z ?)

”是“ cos 2? ?

1 ”的( 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 7. 有四个关于三角函数的命题:

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

p1 : 存在 x ? R,
sin(x ? y ) ? sin x ? sin y

sin 2

x 2 + cos 2

x 1 = 2 2

p2 :

存在x, y ? R ,

p3 : 任意 x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是( A. p1 , p4

1 ? cos 2 x ? sin x 2


p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

?
2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p3 . . .

8. 若角 ? 的终边经过点 P(1,?2),则 tan 2a 的值为 9.如果 cos? =

1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ? ? ) = 5 2
则 | cos?x | ? | cos

3 10. 已知 x ? (1, ), 2

?x
2

| ? | cos?x ? cos

?x
2

|?

11. 化简:

1 ? sin x 1 ? sin x ? 1 ? sin x 1 ? sin x

(其中x为第二象限角) .

12.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 .

? ? =2,则 tan? 的值为 ,tan (? ? ) 的值为 . 4 2 ? ? 6sin ? ? cos ? 14. 已知 tan =2, 求(I) tan(? ? ) 的值; (II) 的值. 2 4 3sin ? ? 2 cos ?
13.已知 tan 15. 若点P(3,?4)在角?的终边上,点Q(?5,12)在角?的终边上,求cos( ? ? ? )的值. 16. 已 知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 17. 已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 18. 在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tgA 的值和 ?ABC 的面积 2

中等难度的提高题: 1. 在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A? cot B ? 1 ③ sin2 A ? cos2 B ? 1 其中正确的是( ) A. ①③ B. ②④
A? B ? sinC ,给出以下四个论断: 2

② 0 ? sin A ? sin B ? 2 ④ cos2 A ? cos2 B ? sin2 C C. ①④ ) D. ②③

2. 对任意的锐角 α ,β ,下列不等关系中正确的是(

A. sin(α +β )>sinα +sinβ C. cos(α +β )<sinα +sinβ

B. sin(α +β )>cosα +cosβ D .cos(α +β )<cosα +cosβ

1 sin 2? cos? ? sin? 3. 已知α 为锐角,且 tan? ? , 求 的值. 2 sin 2? cos 2? 3 1 4. 已知锐角三角形 ABC 中, sin(A ? B) ? , sin(A ? B) ? . 5 5

(Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高. 较容易的基础题的参考答案: 1. D 2. C 3. C

4. B

5. C

6. A

7.

A
10. 0

8.

4 3

9.

2 6 5
12. 7 25

11. 见解析

13. ?

1 7

1 7 14. ? , 7 6 3 ( 2 ? 6) . 4

15.

33 65

16. ? , ?

3 2

? ? 17. ?x | x ? k? ? , k ? Z 2 ? 第 5 题解析:

?,

14 5

18. ? 2 ? 3,

? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? (sin x ? cos x) 2 ?| sin x ? cos x | ? sin x ? cos x, 因此,选项C正确 .

第 6 题解析: 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6
或 2? ? 2k? ?

反之,当 cos 2? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

第 7 题解析:
p1中x ? R时,等式左边都为1; p 2中,显然当 y ? 0时,等式成立; p3中x ?[0, ? ]时, sin x ? 0,因此等式成立;p 4中,由sin x ? cos y ? x ? y ? 2k? ?

?
2

, k ? Z.

第 8 题解析:
由三角函数的定义知: tan? ? ?2, 所以 tan 2? ? 4 ? . 1 ? tan ? 3
2

2 tan?

第 10 题解析:
3 3? ?x ? 3? ?x ? x ? (1, ),??x ? (? , ), ? ( , ).因此, cos?x ? 0, cos ? 0. ? 原式 ? 0. 2 2 2 2 4 2 本题再次体现含有绝对 值符号题目的基本解题 思路:先讨论绝对值内 的正负,然后去绝对值.

第 11 题解析:
原式 ?
2 ( 1 ? sin x) 2

1 ? sin x 1 ? sin x 本题体现了含有根号的式子的化简思路:使根号内的式子化为完全平方的形式,尽量使 分母一样,这样就避免了通分. 然后就可以去根号,化为绝对值的题型来做了 .

?

(1 ? sin x) 2
2

?

| 1 ? sin x | | 1 ? sin x | 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? ? ? ?2 tan x. | cos x | | cos x | ? cos x

第 12 题解析:
由条件知小正方形的边 长为1,大正方形的边长为5,因此可以设较小的锐 角所对的边长为x, 另 一直角边为 x ? 1, 则在直角三角形中用勾 股定理得x ? 3. 得 cos? ? 4 7 , ? cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? . 5 25

第 13 题解析:
? tan? ? 2 tan

?
2

1 ? tan 2

?
2

?

4 4 ? tan? ? 1 1 ? ? ,? tan( ? ? )? ?? . ?3 3 4 1 ? tan? 7

第 14 题解析:

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3 4 6(? ) ? 1 4 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 7 3 (II)由(I), tan? ? ? , 所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3
第 15 题解析:
4 3 12 5 33 由三角函数的定义知: sin? ? ? , cos? ? ; sin ? ? , cos ? ? ? .所以cos( ? ? ?) ? . 5 5 13 13 65

第 16 题解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ? 第 17 题解析:

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

(Ⅰ)由 cos x ≠0 得 x ? k? ?

?

? ? ? (k ? Z ) ,故 f ( x) 的定义域为 ? x ? k? ? , k ? Z ? . 2 2 ? ?

(Ⅱ)因为 tan? ? ?

4 4 3 ,且 ? 是第四象限的角,所以 sin? ? ? , cos? ? . 5 3 5

故 f (? ) ?
?

1 ? 2 sin(2? ? cos?

?
4

)

?

1 ? 2(

2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 cos a

1 ? sin 2? ? cos 2? cos?

?

? 2(cos? ? sin? )

2 cos2 ? ? 2 sin? cos? cos? 14 ? . 5

第 18 题解析:
解法一: ?sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 2 , 2 1 ?cos(A ? 45? ) ? . 2

又 0? ? A ? 180? ,? A ? 45? ? 60? , A ? 105?.
? tgA ? tg(45? ? 60? ) ? 1? 3 1? 3 ? ?2 ? 3.

sin A ? sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin45? cos60? ? cos45? sin60? ? 1 1 2? 6 3 AC ? ABsin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) . 2 2 4 4 解法二: S ?ABC ?

2? 6 . 4

2 2 1 ? (sin A ? cos A) 2 ? 2 又? 0 ? ? A ? 180? , ?sin A ? cos A ?

(1)
? 2 sin A cos A ? ? 1 2 ? sin A ? 0, cos A ? 0.
3 , 2

? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ?

?sin A ? cos A ?

6 . 2

(2)
2? 6 . 4

(1)+(2)得: sin A ?
? tgA ? sin A ? cos A

2? 6 . 4

(1)-(2)得: cos A ?

2? 6 4 ? ? ?2 ? 3 .(以下同解法一) 4 2? 6

中等难度题的参考答案: 1. C 2. D 3.
5 4

4. (I)证明见解析; (II)2+ 6 .

第 1 题解析:
tan A? B ? ?C C C C C ? ? sin C ? tan ? sinC ? cot ? 2 sin cos ? cos ? cos C ? 0 ? C ? . 2 2 2 2 2 2 2

?A? B ?

. ? cot B ? tan A, ? tan A ? cot B ? 1不一定成立 . 2 ? cos B ? sin A, 因此 cos2 A ? cos2 B ? 1 ? sin2 C. sin2 A ? cos2 B ? 2 sin2 A ? 1不一定成立 . ? sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin(A ?

?

?
4

), 且A ? (0, ). ? 0 ? sin A ? sin B ? 2成立 .选C. 2

?

? 第 2 题解析:本题直接推导有点困难,可以令 ?、?都为 ,则易知只有选项D正确 . 6
第 3 题解析: 原式 ? 因为
sin? cos 2? . 2 sin? cos? cos 2? 1 tan? ? 时, sin? ? 0, cos 2? ? 0, 2

所以 原式 ?

1 . 2 cos?

1 2 因为 ? 为锐角,由 tan? ? 得 cos? ? . 2 5

所以原式 ?

5 . 4

第 4 题解析:
3 1 (Ⅰ)证明:? sin(A ? B) ? , sin(A ? B) ? , 5 5

3 2 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin A cos B ? , ? ? tan A ? ? 5 5 ?? ?? ? ? 2. tan B ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? 1 ? ? 5 5 ? ?

所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解:? 即

?
2

? A ? B ? ? , sin(A ? B) ? ,

3 5

3 ? tan(A ? B) ? ? , 4

tan A ? tan B 3 ?? 1 ? tan A tan B 4

,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得

2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.

解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值,得 tan B ? , 2 2

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6.

设 AB 边上的高为 CD.

则 AB=AD+DB=

CD CD 3CD ? ? . tan A tan B 2 ? 6

由 AB=3,得 CD=2+ 6 .

所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .


推荐相关:

各种三角函数类题型(老师用).doc

各种三角函数类题型(老师用)_数学_高中教育_教育专区。三角函数基本公式、重要题

(王)三角函数题型汇总(老师用).doc

(王)三角函数题型汇总(老师用) - 三角函数的基础知识与基本运算: 1.(20

(非常好)历年高考三角函数题型汇总(老师用).doc

(非常好)历年高考三角函数题型汇总(老师用) - 三角函数的基础知识与基本运算:

三角函数题型总结-教师版.doc

三角函数题型总结-教师版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。适合高三数学文理科...(Ⅰ)求 f( π 2 π )的值; 8 π 个单位后, 再将得到图象上...

高考题历年三角函数题型总结(教师版)_图文.doc

高考题历年三角函数题型总结(教师版) - 2017 年高考三角函数最全知识点总结

高中数学常考题型---三角函数(教师版).doc

高中数学常考题型---三角函数(教师版) - 高中数学常考题型---三角函数 题型 1、判断角的终边所在的象限 αα【1】若α 是第二象限角,试分别确定 2α,, ...

高考题型专题一三角函数教师版.doc

高考题型专题一三角函数(教师版) 【命题特点】 纵观前五年的三角试题 ,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,题型是一大一小或两小一大, 总体难度不大,解答...

三角函数知识要点2(教师用).doc

三角函数知识要点2(教师用) - § 2-1 三角函数部分相关题型: 三角函数部分相关题型: 一、角度制和弧度制 1、将角化为[0,2π]内的角和 2kπ的形式,求终边...

高考数学_题型专题冲刺精讲,_三角函数(教师版).doc

年高考题型专题冲刺精讲(数学) 2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一 三角函数【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,...

2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教....doc

2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教师版)_高三数学_数学_...纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,题型是一大一小...

必看:题型汇总【三角函数篇】_图文.doc

首先:我们就来说说其中一种题型:三角函数 三角函数主要的考法只有两种,一是三角...这种题在高考中出现完全属于数学老师“送分题” , 做这类题一是要保证...

(王)三角函数题型汇总(学生用)..doc

(李老师)三角函数题型汇总... 19页 2财富值 2012届全国省市高三上期... ...三角函数的基础知识与基本运算: 1.(2009汕头模拟)若角 α 和角 β 终边...

...高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教师版....doc

年高考题型专题冲刺精讲(数学) 2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一 三角函数【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,...

三角函数九类经典题型.doc

三角函数九类经典题型 - 三角函数九种经典类型题 类型一 同角三角函数关系式的应

全国各省 高三上期数学联考试题重组专题题型一 三角函数(教师版)_....doc

高三上学期数学联考试题重组专题 题型三角函数(教师版) 【备考要点】 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角 三角...

2013解答题题型及方法(一) 三角函数.doc

2013解答题题型及方法(一) 三角函数 - 2013 数学解答题题型及解题方法(一) 三角函数 类型 1:三角函数的恒等变换、与向量的综合 【解题策略】 掌握三角变换的...

高中三角函数常见题型与解法.doc

高中三角函数常见题型与解法 - 教育杏坛:edu910.com 三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,...

...高考数学+题型专题冲刺精讲+专题一+三角函数(教师版....doc

年高考题型专题冲刺精讲(数学) 2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一 三角函数【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大,...

2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教....doc

2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教师版)_高一数学_数学_...三角函数【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查...

...联考试题重组专题题型一 三角函数(教师版).doc

2012 届全国省市高三上学期数学联考试题重组专题 题型三角函数(教师) 三角函数(教师版)【备考要点】三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com