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集合间的基本运算(三)[1] 2

1.1.3 集合间的基本运算
一.课标要求: (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩图(Venn)表达两个简单集合间的关系及两个简单集合的运算,体 会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.问题引入 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加 法运算,两个集合是否也可以“相加”呢? 三.构建数学 1. 并集

考察下面的集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之前的关系吗? (1)A=﹛ x|x 是有理数﹜ B=﹛ x|x 是无理数﹜ C=﹛ x|x 是实数﹜ (2)A=﹛1、3、5﹜ B=﹛2、4、6﹜ C=﹛1、2、3、4、5、6﹜

一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集( Union) 记作:A∪B 即: 读作: “A 并 B”

A∪B={x|x∈ A,或 x∈B}

Venn 图表示:
A B

A∪ B

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素 组成的集合(重复元素只看成一个元素) 。 注:通过 Venn 图表示级并集的含义我们可以得到并集的性质: (1)A ? A∪B, B ? A∪B,A∪ A=A, A∪ ? =A,A∪ B=B∪A (2)若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 2. 交集

考察下面问题,集合 A、B 与集合 C 之间有什么关系? (1)A=﹛2、4、6、8、10﹜ B=﹛3、5、8、12﹜ C=﹛8﹜ (2)A=﹛x|x 是新华中学 2004 年 9 月在校的女同学﹜ B=﹛x|x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级同学﹜ C=﹛x|x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级女同学﹜ 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集( intersection) 。 记作:A∩B 读作: “A 交 B”

即: A∩B={x|∈ A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素 组成的集合。 交集的性质: (1)A∩B ? A,A∩B ? B,A∩ A=A, A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A (2)若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立。 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 3.补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那 么就称这个集合为全集( Universe ) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元 素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为 集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈ A}

补集的 Venn 图表示

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 补集的性质: (1) (CUA)∪ A=U, ( CUA)∩ A= ? (2) Cu (Cu A) =A, Cu (? ) ? U 三例题 1.( 2010 江西理数) 2.若集合 A= ? x | x ? 1,x ? R? , B= ? y | y ? x 2,x ? R? ,则

A ? B =(
A. C.

) B.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

D. ?

【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集 合 A、B; A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 0} ,解得 A B={x|0 ? x ? 1} 。在应试中 可采用特值检验完成。 2.( 2010 安徽文数) (1)若 A= ?x | x ?1 ? 0?,B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A B = (A)(-1,+∞) (B)(- ∞,3) C 【解析】 A ? (1, ??), B ? (??,3) , A B ? (?1,3) ,故选 C. 【方法总结】先求集合 A、B,然后求交集,可以直接得结论,也可以借助数轴 得交集. 3. ( 2010 辽宁理数) 1.已知 A, B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集, 且 A∩ B={3}, ?u B ∩A={9},则 A= (C)(-1,3) (D)(1,3)

(A){1,3} 【答案】D

(B){3,7,9}

(C){3,5,9}

(D){3,9}

【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合 的交集、补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集合问题的能力。 【解析】因为 A∩B={3},所以 3∈A,又因为
?u B∩A={9},所以 9∈ A,所以选 D。本题也可以用 Venn 图的方法帮助

理解。 四、课内练习
1. 设 A ? ?0,1,2,3,4,5?, B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} ,则 ( A A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} )
B) C 等于(

).

D. {1,3,6,7,8}

2. 设全集 U=R,集合 A ? {x | x2 ? 1} ,则 CU A =( A. 1 B. -1,1 C. {1} D. {?1,1}

3. 设 A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩ B= 4. 设 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,若 A



B ? ? ,求实数 a 的取值范围是



五、课堂小结 并集 A∪B=﹛x|x ? A 或 x ? B﹜ 交集 A ? B=﹛x|x ? A 且 x ? B﹜ 补集 CUA==﹛x|x∈U 且 x ? B﹜ 六、课外作业
选择题: 1. 已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} ) )

2. 已知 A={y|y=x2 -4x+3,x∈R} ,B={y|y=x-1,x∈R} ,则 A∩B=( A. {y|y=-1 或 0}B. {x|x=0 或 1} C. { (0,-1) , (1,0) }D. {y|y≥-1} 3. 已知集合 M={x|x- a =0} ,N={x| a x-1=0} ,若 M∩N=M,则实数 a =( A.1 B.-1 C.1 或-1 D.1 或-1 或 0



填空题:

4. 设 U=R,A={ x | a ? x ? b } ,CU A={x|x>4 或 x<3} ,则 a =________,b =_________. 5. 定义 A —B ={x|x∈A ,且 x? B },若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= 解答题:

.6. 已知关于 x 的方程 3x +px-7=0 的解集为 A ,方程 3x -7x+q=0 的解集为 B , 若 A ∩B ={-

2

2

1 },求 A ∪B . 3

7. 已知 A={x|x2 -px+15=0},B={x|x2 -ax-b=0},且 A∪ B={2,3,5},A∩ B={3},求 p,a,b 的值。

8. 设 U={2,4,3- a 2 },A={2, a 2 +2- a } ,CU A={-1} ,求 a .


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