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离散型随机变量及其分布列教案定稿


2.1.2 离散型随机变量及其分布列
一、教学目标
知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

二、教学重难点
教学重点:离散型随机变量的分布列的概念。 教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列。

三、教学过程
复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量 叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示。
王新敞
奎屯 新疆

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量。 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切 值,这样的变量就叫做连续型随机变量。 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续 型随机变量都是用 变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出。
? 若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则 也是随机变量,并且不改变其

属性(离散型、连续型) 。

讲解新课: 1. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,…,x3,…, ξ 取每一个值 xi(i=1,2,…)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列。 2. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P( A) ? 1 ,并且不可 能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随 机变量的分 布列都具有下面两个性质: Pi≥0,i=1,2,…; P1 +P2+…=1. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概 率的和即 P(? ? xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk ?1 ) ? ? ? ? 例题讲解: 例 1.在掷一枚图钉的随机试验中,令
?1,针尖向上; X= ? ?0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为 p ,试写出随机变量 X 的分布列. 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是( 1 ? p ) .于是,随机变量 X 的分 布列 是

ξ

0
1? p

1
p

P

像上面这样的分布列称为两点分布列。 两点分布列的应用非常广泛. 如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正 品;新 生婴儿的性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随 机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点分布,而称 p =P (X = 1)为成 功概率。 两点分布又称 0—1 分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所 以还称这种分布为伯努利分布。

P?? ? 0? ? q , P?? ? 1? ? p ,
0 ? p ? 1, p ? q ? 1 .

例 2.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,试求: (1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率. 解: (1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C10 ,从 100 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件次品的结果数为 C5 C95 ,那么从 100 件产品中任取 3 件, 其中恰有 k 件次品的概率为
k 3? k 3

P( X ? k ) ?

3? k C5k C95 , k ? 0,1, 2,3 3 C100 .

所以随机变量 X 的分布列是

X 0
3 C50C95 3 C100

1
1 2 C5 C95 3 C100

2
1 C52C95 3 C100

3
3 0 C5 C95 3 C100

P

(2)根据随机变量 X 的分布列,可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数, 则事件 {X=k}发生的概率为

P( X ? k ) ?

k n?k CM CN ?M , k ? 0,1, 2, n CN

,m
,

? 其中 m ? min{M , n} ,且 n ? N , M ? N , n, M , N ? N .称分布 列

X

0
0 n CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN



m
m n ?m CM CN ?M n CN

P



为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分布 课堂习题: 习题一.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖 游戏,在一个口袋中装有 10 个红 球和 20 个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖.求中奖的概率. 解: 设摸出红球的个数为 X, 则 X 服从超几何分布, 其中 N = 30 , M=10, n=5 . 于

是中奖的概率 P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 )十 P ( X = 5 )
3 5 ?3 4 5? 4 5 5?5 C10 C30 C10 C30 C10 C30 ?10 ?10 ?10 ? ? 5 5 5 C30 C30 ≈0.191. = C30

习题二.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿 球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取 出红球得 1 分,取出黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球 所得分数 ξ 的分布列. 分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所 有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为 n,由题意知 绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中的总数为 7n.
P(? ? 1) ? 4n 4 n 1 2n 2 ? P (? ? 0) ? ? P(? ? ?1) ? ? 7n 7 , 7n 7 , 7n 7 .



所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为 ξ 1
4 7

0
1 7

-1
2 7

P

四、小结
(1)根据随机变量的概率分步(分步列) ,可以求随机事件的概率; (2)两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布,它是概率论中最重要的几 种分布之一。 (3)离散型随机变量的超几何分布。


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