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推荐学习K12(全国通用版)2018-2019高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理

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第二章 2.3 2.3.4 平面向量基本定理

A 级 基础巩固

一、选择题 1.已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实数 m 等于( C )

A.- 2

B. 2

C.- 2或 2

D.0

[解析] 本题考查了向量的坐标运算,向量平行的坐标表示等.由 a∥b 知 1×2=m2,

即 m= 2或 m=- 2.

2.已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量 a=(1,2),若→AB∥a,则实数 y 的值为( C )

A.5

B.6

C.7

D.8

[解析] →AB=(3,y-1),又A→B∥a, 所以(y-1)-2×3=0,解得 y=7.

3.已知点 A(0,1),B(3,2),向量A→C=(-4,-3),则向量→BC=( A )

A.(-7,-4)

B.(7,4)

C.(-1,4)

D.(1,4)

[解析] 设 C(x,y),∵A(0,1),A→C=(-4,-3),

∴?????xy= -- 1=4-,3, 解得?????xy= =- -42, , ∴C(-4,-2),又 B(3,2),∴→BC=(-7,-4),

选 A.

4.已知向量 a=(32,sinα ),b=(sinα ,16),若 a∥b,则锐角 α 为( A )

A.30°

B.60°

C.45°

D.75°

[解析] ∵a∥b,∴sin2α =32×16=14,

∴sinα =±12.

∵α 为锐角,∴α =30°.

5.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λ b 平行,则 λ 的值等于( B )

A.-6

B.6

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C.2

D.-2

[解析] a+2b=(5,5),3a+λ b=(3+2λ ,9+λ ),

由条件知,5×(9+λ )-5×(3+2λ )=0,

∴λ =6. 6.若 a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则 m=( A )

A.-12

B.12

C.2

D.-2

[解析] 2a+b=2(1,2)+(-3,0)=(-1,4),

a-mb=(1,2)-m(-3,0)=(1+3m,2)

∵(2a+b)∥(a-mb)

∴-1=(1+3m)×2∴6m=-3,解得 m=-12

二、填空题

7.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 λ 为实数,(a+λ b)∥c,则 λ 的

值为

1 2



[解析] a+λ b=(1,2)+λ (1,0)=(1+λ ,2) ∵(a+λ b)∥c,

∴4(1+λ )-3×2=0,∴λ =12.

8.已知向量 a=(1,2),b=(-2,3).若 λ a+ub 与 a+b 共线,则 λ 与 u 的关系为__λ =u__.

[解析] ∵a=(1,2),b=(-2,3),

∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5),

λ a+ub=λ (1,2)+u(-2,3)=(λ -2u,2λ +3u). 又∵(λ a+ub)∥(a+b), ∴(-1)×(2λ +3u)-5(λ -2u)=0.∴λ =u.

三、解答题

9.平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)求 3a+b-2c;

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m 和 n;

(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k.

[解析] (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1

-8,6+2-2)=(0,6).

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(2)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).

∴?????-2mm++n=4n= 2.3,

??m=59, 解得???n=98.

∴m=59,n=89.

(3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). 又∵(a+kc)∥(2b-a), ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.

∴k=-1136.

10.已知向量→OA=(3,-4),O→B=(6,-3),→OC=(5-x,-3-y). (1)若点 A,B,C 不能构成三角形,求 x,y 满足的条件.

(2)若A→C=2B→C,求 x,y 的值. [解析] (1)因为点 A,B,C 不能构成三角形,则 A,B,C 三点共线.

由O→A=(3,-4),→OB=(6,-3),

→OC=(5-x,-3-y)得

→AB=(3,1),→AC=(2-x,1-y), 所以 3(1-y)=2-x. 所以 x,y 满足的条件为 x-3y+1=0.

(2)→BC=(-x-1,-y)

由A→C=2→BC得 (2-x,1-y)=2(-x-1,-y),

所以?????21- -xy= =- -22xy- ,2, 解得?????xy= =- -41, .

B 级 素养提升

一、选择题 1.已知向量 a=(-2,4),b=(3,-6),则 a 和 b 的关系是( B )

A.共线且方向相同

B.共线且方向相反

C.是相反向量

D.不共线

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[解析] 因为 a=(-2,4),b=(3,-6),所以 a=-23b,由于 λ =-23<0,故 a 和 b

共线且方向相反.

2.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( D )

A.k=1 且 c 与 d 同向

B.k=1 且 c 与 d 反向

C.k=-1 且 c 与 d 同向

D.k=-1 且 c 与 d 反向

[解析]

∵c∥d,∴c=λ

d,即 ka+b=λ

(a-b),又 a,b 不共线,∴???k=λ , ??1=-λ ,

∴?????λk==--11., .∴c=-d,∴c 与 d 反向.

3.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( D )

A.-2

B.0

C.1

D.2

[解析] 因为 a=(1,1),b=(2,x),所以 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由

于 a+b 与 4b-2a 平行,得 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 x=2.

4.已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ (4,5),

μ ∈R},则 M∩N=( C )

A.{(1,1)}

B.{(1,2),(-2,-2)}

C.{(-2,-2)}

D.?

[解析] 设 a∈M∩N,则存在实数 λ 和中 μ ,

使得(1,2)+λ (3,4)=(-2,-2)+μ (4,5),即(3,4)=(4μ -3λ ,5μ -4λ ).

∴???4μ -3λ =3

解得???λ =-1,

??5μ -4λ =4,

??μ =0,

∴a=(-2,-2).

二、填空题

5.(北京高考)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线, 则 k=__1__.

[解析] a-2b=( 3,3).因为 a-2b 与 c 共线,

所以

k= 3

33,解得

k=1.

6.已知点 P1(2,-1),点 P2(-1,3),点 P 在线段 P1P2 上,且|P→1P|=23|P→P2|,则求点 P

的坐标为 (45,35) .

[解析] 设点 P 的坐标为(x,y),

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由于点 P 在线段 P1P2 上,则有P→1P=23P→P2,

又P→1P=(x-2,y+1),P→P2=(-1-x,3-y),

??x-2=23 由题意得???y+1=23

-1-x , -y ,

??x=45, 解得???y=35,

∴点 P 的坐标为???45,35???.

三、解答题

7.已知△AOB 中,O(0,0),A(0,5),B(4,3),O→C=14O→A,O→D=12→OB,AD 与 BC 交于 M 点,

求点 M 的坐标.

[解析] ∵O(0,0),A(0,5),B(4,3),

∴O→A=(0,5),O→B=(4,3).

∵O→C=(xC,yC)=14→OA=(0,54),

∴点 C 的坐标为(0,54).

同理可得点

D

3 的坐标为(2,2).

设点 M(x,y),则→AM=(x,y-5),

则A→D=(2-0,32-5)=(2,-72).

∵A、M、D 共线,∴A→M与A→D共线.

∴-72x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20.①

而C→M=(x,y-54),C→B=(4-0,3-54)=(4,74),

∵C、M、B 共线,∴C→M与C→B共线.

∴74x-4(y-54)=0,即 7x-16y=-20.②

联立①②解得 x=172,y=2.

∴点 M 的坐标为(172,2).

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8.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且A→E=13A→C,B→F=13→BC. (1)求 E、F 的坐标; (2)判断→EF与→AB是否共线. [解析] (1)设 E(x1,y1)、F(x2,y2), 依题意得→AC=(2,2),→BC=(-2,3). 由A→E=13→AC可知(x1+1,y1)=13(2,2),

??x1+1=32 即???y1=23

??x1=-13 ,解得???y1=23

,∴E(-13,23).

由B→F=13→BC可知(x2-3,y2+1)=13(-2,3).

∴???x2-3=-23 ??y2+1=1

,解得???x2=73, ??y2=0.

∴F(73,0),



E

点的坐标为(-13,23),F

7 点的坐标为(3,0).

(2)由(1)可知→EF=→OF-→OE=(73,0)-(-13,23)=(83,-23),(O 为坐标原点),

又A→B=(4,-1),∴E→F=23(4,-1)=23A→B,

即E→F与A→B共线.

C 级 能力拔高

如图,已知直角梯形 ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点 C 作 CE⊥AB 于 E,M 为 CE 的 中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC; (2)D、M、B 三点共线. [解析] 如图,以 E 为原点,AB 所在直线为 x 轴,EC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 令|→AD|=1,则|D→C|=1,|→AB|=2.
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∵CE⊥AB,而 AD=DC, ∴四边形 AECD 为正方形. ∴可求得各点坐标分别为:E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). (1)∵E→D=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),B→C=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴E→D=B→C, ∴E→D∥B→C,即 DE∥BC. (2)∵M 为 EC 的中点,∴M(0,12), ∴M→D=(-1,1)-(0,12)=(-1,12), →MB=(1,0)-(0,12)=(1,-12). ∴M→D=-→MB,∴M→D∥M→B. 又 MD 与 MB 共点于 M, ∴D,M,B 三点共线.
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