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高中理科数学常见题型篇(数列的应用)


数列通项公式求法

知识点一:通项 任意数列

与前 n 项和 的前 n 项和

的关系 ;

注意:由前 n 项和 (1)求 ,

求数列通项时,要分三步进行:

(2)求出当 n≥2 时的

, 中的 n=1 时有 成立,则最后的通项公式可以统一写成

(3)如果令 n≥2 时得出的

一个形式,否则就只能写成分段的形式.

知识点二:常见的由递推关系求数列通项的方法 1.累加法:(等差数列) , 则 , ,…,

1

2.累乘法:(等比数列)







,…,

知识点三:数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心 是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立 数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ⑴明确问题属于哪类应用问题; ⑵弄清题目中的主要已知事项; ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字 语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式 (如函数关系、方程、不等式).

规律方法指导
1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想; 2.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式 等. 3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题 要注意: (1)通过知识间的相互转化,更好地掌握数学中的转化思想; (2)通过解数列与其他知识的综合问题,培养分析问题和解决问题的综合能力.

经典题型
题型一:累加法类比型

1.在数列

中,



,求

.

2

总结升华: 1. 在数列 中, ,若 为常数,则数列 不是等差数列. 的解析式,而 . 的和是可求 是等差数列;若 不

是一个常数,而是关于 的式子,则数列 2.当数列的递推公式是形如 的,则可用多式累(迭)加法得 举一反三: 【变式 1】已知数列 , ,

,求

.

【答案】

【变式 2】数列





,求通项公式

.

【答案】 类型二:累乘法类比型

.

2.设 它的通项公式 .

是首项为 1 的正项数列,且

,求

解析:由题意 ∴ ∵ ,∴ ,







,又


3

∴当 当

时, 时, 符合上式



∴ 总结升华: 1. 在数列 中,

.

,若

为常数且

,则数列

是等比数列;若

不是一个常数,而是关于 的式子,则数列 2.若数列有形如 多式累(迭)乘法求得 举一反三: . 的解析关系,而

不是等比数列. 的积是可求的,则可用

【变式 1】在数列

中,



,求

.

【答案】

【变式 2】已知数列

中,



,求通项公式

.

【答案】由



,∴







类型三:倒数法求通项公式

3.数列

中,

,

,求

.

4

思路点拨:对

两边同除以



即可.

总结升华: 1. 两边同时除以 可使等式左边出现关于 和 的相同代数式的差, 右边为一常数,

这样把数列

的每一项都取倒数, 这又构成一个新的数列

, 而

恰是等差数列.其通项

易求,先求

的通项,再求

的通项.

2.若数列有形如 再求得 .

的关系, 则可在等式两边同乘以

, 先求出



举一反三:

【变式 1】数列

中,



,求

.

【答案】

【变式 2】数列

中,

,

,求

.

【答案】 类型四:待定系数法求通项公式

.

4.已知数列

中,



,求

.

法一:设

,解得
5

即原式化为 设 ,则数列 为等比数列,且



法二:∵





由①-②得: 设 ,则数列 为等比数列







法三:





, ……,



∴ 总结升华: 1.一般地,对已知数列 的项满足 , ( 为常数, ),则

可设

得 转化为求等比数列

,利用已知得



,从而将数列

的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列.
6

这两种方法均是常用的方法. 2. 若数列有形如 举一反三: (k、 b 为常数) 的线性递推关系, 则可用待定系数法求得 .

【变式 1】已知数列





,求

【答案】令

,则





,即







为等比数列,且首项为

,公比









.

【变式 2】已知数列

满足

,而且

,求这个数列的通项公式

.

【答案】∵

,∴



,则

,即



∴数列

是以

为首项,3 为公比的等比数列,



,∴

.

7



.

类型五:



的递推关系的应用 中, 是它的前 n 项和,并且 ,求证:数列 是等比数列; , .

5.已知数列 (1)设

(2)设 (3)求数列 解析: (1)因为

,求证:数列 的通项公式及前 n 项和.

是等差数列;

,所以

以上两式等号两边分别相减,得

即 因为 由此可知,数列 由 所以 所以 , 所以 .

,变形得 ,所以 是公比为 2 的等比数列. , , ,

(2)

,所以



代入得

由此可知,数列

是公差为

的等差数列,它的首项



8



.

(3) 当 n≥2 时, ∴ 由于 故所求

,所以

也适合此公式, 的前 n 项和公式是 .

总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件, 通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数 列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常 见策略. 举一反三: 【变式 1】 设数列 (1)求证:数列 首项为 1, 前 n 项和 是等比数列; 满足 .

(2)设数列 的通项公式. 【答案】 (1)

的公比为

,作数列

,使



,求









又 ①-②




9



是一个首项为 1 公比为

的等比数列;

(2)





是一个首项为 1 公比为

的等差比数列



【变式 2】若

,

(

),求

.

【答案】当 n≥2 时,将 ∴ 整理得

代入 ,

,

两边同除以



(常数)



是以

为首项,公差 d=2 的等差数列,







.

【变式 3】等差数列 和 .

中,前 n 项和

,若

.求数列

的前 n 项

10

【答案】∵

为等差数列,公差设为

,

∴ ∴ ∴ , ,

,



,则

,



.

∵ ∴ ∴ ∴ ,∴

, , , ① ②

①-②得

∴ 类型六:数列的应用题 6.在一直线上共插 13 面小旗,相邻两面间距离为 10m,在第一面小旗处有某人把小旗 全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗 的位置上?最短路程是多少? 思路点拨: 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一 草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 解析:设将旗集中到第 x 面小旗处,则 从第一面旗到第 面旗处,共走路程为了 回到第二面处再到第 面处是 , ,

11

回到第三面处再到第 面处是 , 从第 面处到第 从第 面处到第 总的路程为:



面处取旗再回到第 面处的路程为



面处取旗再回到第 面处,路程为 20× 2,



,∴

时,

有最小值

答:将旗集中到第 7 面小旗处,所走路程最短. 总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前 项和公式,在求和后,利用二次函 数求最短路程. 举一反三: 【变式 1】某企业 2007 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 值的月平均增长率为( ) 倍,则该企业 2007 年年度产

A.

B.

C.

D.

【答案】D; 解析:从 2 月份到 12 月份共有 11 个月份比基数(1 月份)有产值增长,设为 , 则

【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入若干万元人民币,年利率为 1 日取款时被银行扣除利息税(税率为 A.1.5 万元 【答案】B;
12

,到 2007 年 1 月 3 )

)共计

元,则该人存款的本金为( D.2.5 万元

B.2 万元

C.3 万元

解析:本金 利息/利率,利息 利息税/税率 利息 本金 (元), (元)

【变式 3】 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 个月内累积的需求量

(万

件) 近似地满足 万件的月份是( ) A.5 月、6 月 【答案】C; 解析:第 个月份的需求量超过 万件,则 B.6 月、7 月

.按比例预测, 在本年度内, 需求量超过 C.7 月、8 月 D.9 月、10 月

解不等式,得

,即

.

【变式 4】某种汽车购买时的费用为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元, 汽车的维修费平均为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依次成等差数列递增,问这 种汽车使用多少年后报废最合算?(即年平均费用最少)

【答案】设汽车使用年限为 年,

为使用该汽车平均费用.

当且仅当

,即

(年)时等到号成立.

因此该汽车使用 10 年报废最合算.

13

高考题萃
1.(2008 四川)设数列 (Ⅰ)求 (Ⅱ)证明: (Ⅲ)求 的通项公式. ; 是等比数列; 的前 项和为 .

解析: (Ⅰ)因为 ∴ 由 所以 知 , , ∴ (Ⅱ)由题设和①式知 所以 (Ⅲ) 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ,得 ① ,

2.(2008 全国 II)设数列 (Ⅰ)设 (Ⅱ)若 ,求数列 ,

的前 项和为

.已知







的通项公式;

,求 的取值范围.

14

解析: (Ⅰ)依题意, 由此得 因此,所求通项公式为 (Ⅱ)由①知 于是,当 时, , , , . , .① ,即 ,



当 又

时, . .



综上,所求的 的取值范围是

3. (2008 天津) 已知数列 (Ⅰ)设 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)若 的等差中项. 是

中, ,证明



, 且 是等比数列;



的通项公式; 与 的等差中项,求 的值,并证明:对任意的 , 是 与

解析: (Ⅰ)由题设 即 又 所以 , . , ,得 ,

是首项为 1,公比为 的等比数列.
15

(Ⅱ)由(Ⅰ), 将以上各式相加,得



,……, .



所以当 上式对

时, 显然成立. 时,显然 可得 得 , 或 (舍去),于是 . ① 不是 与 , 的等差中项,故 .

(Ⅲ)由(Ⅱ),当 由 由 整理得 解得

另一方面,



. 由①可得 所以对任意的 , 是 与 . 的等差中项.

4.(2008 陕西)已知数列 (Ⅰ)求 的通项公式;

的首项







(Ⅱ)证明:对任意的







(Ⅲ)证明:



16

解析:

(Ⅰ)











是以

为首项,

为公比的等比数列.





(Ⅱ)由(Ⅰ)知



, 原不等式成立.

另解:设









时,

;当

时,





时,

取得最大值



原不等式成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 ,有

17





,则



. 原不等式成立.

学习成果测评
基础达标: 1.若数列 中, 且 (n 是正整数),则数列的通项 =____.

2. 对正整数 n, 设曲线 的前 n 项和的公式是____________.

在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为

, 则数列

3. 设 且

是等比数列, ,则数列

是等差数列,且

,数列

的前三项依次是



的前 10 项和为____________.

4. 如果函数 则

满足:对于任意的实数

,都有

,且



____________

5.已知数列

中,

,

(

),求通项公式

.

18

6.已知数列

中,





,求

的通项公式.

7.已知各项均为正数的数列 ,求 的通项公式.

的前 项和

满足

,且



8.设数列 (Ⅰ)求数列

满足 的通项;





(Ⅱ)设

,求数列

的前 项和



能力提升: 9.数列 的前 项和为 的通项 , ; . , .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)求数列

的前 项和

10. 数列 的大小关系.

的前 n 项和为

, 已知

是各项为正数的等比数列, 试比较



11.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 年交纳的数目均比上一年增加 , 因此, 历年所交纳的储备金数目

,以后每

是一个公差为

的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是 说,如果固定年利率为 第二年所交纳的储备金就变为 (Ⅰ)写出 与 ,那么,在第 年末,第一年所交纳的储备金就变为 ,…….以 的递推关系式; 表示到第 年末所累计的储备金总额. ,

19

(Ⅱ)求证:

,其中

是一个等比数列,

是一个等差数列.

12.2007 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%,从 2008 年开始,计划每年将非绿化面 积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化.

(1)设该县的总面积为 1,2007 年底绿化面积为 试用 表示 ; 的第 n+1 项 ;

,经过 n 年后绿化的面积为



(2)求数列

(3)至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)

综合探究: 13.已知函数 ,其中 (Ⅰ)用 表示 ,设曲线 为正实数. ; 在点 处的切线与 x 轴的交点为

(Ⅱ)若 (Ⅲ)若

,记 , ,

,证明数列 是数列

成等比数列,并求数列 的前 n 项和,证明 .

的通项公式;

参考答案: 基础达标: 1. 答案: 解析:由题设的递推公式可得

∴ 2. 答案:2n+1-2 解析:



,



20

曲线

在 x=2 处的切线的斜率为

, 切点为 (2, -2n) ,

所以切线方程为 y+2n=k(x-2),

令 x=0 得

,令

.

数列 3. 答案:978 4. 答案: 5.

的前 n 项和为 2+22+23+…+2n=2n+1-2

解析:将递推关系整理为

两边同除以 当 时,



, 将上面

,……,

个式子相加得到:

,即



∴ 当 时,



).

符合上式

故 6. 解析:由题设

.

21

∴ 所以数列 ∴ 即 7. 的通项公式为 是首项为

. ,公比为 , , . 的等比数列,

解析:由 由假设 ,因此

,解得 ,





又由 得 因 因此 故 8. 解析: 的通项为 ,故 ,从而 ,即 不成立,舍去. 或

, ,

是公差为 ,首项为 的等差数列, .

(Ⅰ)





∴当

时,



①-②得





在①中,令

,得

符合上式




22

(Ⅱ)

,∴

. , . ③ ④ .

④-③得







能力提升: 9. 解析:

(Ⅰ) 又 数列 ∴ 当

, ,



是首项为 ,公比为 的等比数列, . 时, ,

(Ⅱ) 当 当 时, 时, ;



, …………① ,…………② 得:

23



. 又 也满足上式,

. 10. 解析:∵ 则有 为各项为正数的等比数列,设其首项为 , , ( ), ,公比为 ,



,即

(1)当 而

时, ,



,



∴ (2)当

时, 时,

. , ,



24

①当

时,

, ∴

②当

时,





③当

时,

,∴

综上,(1)在

时恒有

(2)在

时,①若





②若





③若 11. 解析: (Ⅰ) (Ⅱ) 对 ,



.



反复使用上述关系式,得

, 在①式两端同乘 ,得



② ② ①,得



25





如果记



,则



其中

是以

为首项,以

为公比的等比数列;

是以 12. 解析:

为首项,

为公差的等差数列.

(1)设 2007 年底非绿化面积为 b1,经过 n 年后非绿化面积为 于是 a1+b1=1, 依题意, 是由两部分组成:

.

一部分是原有的绿化面积

减去被非绿化部分

后剩余面积



另一部分是新绿化的面积





.

(2)



.

数列

是公比为

,首项

的等比数列.



.

(3)由

,得






26

∴至少需要 7 年的努力,才能使绿化率超过 60%.

综合探究: 13. 解析: (Ⅰ)由题可得 所以曲线 即 令 ,得 . 在点 . ,即 . 处的切线方程是: .

显然

,∴



(Ⅱ)由

,知



同理







从而 所以,数列

,即 成等比数列.





,即



从而

,所以

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

,∴



27



时,显然





时,

∴ 综上, .



28


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