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几何证明选讲复习专题


几何证明选讲复习专题

相似三角形的判定及有关性质章节复习
一.知识归纳 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么 在其他直线上截得的线段 ( ) ) ) )

推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必( 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线( 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于 ,并且等(

2.平行线分线段成比例定理:两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线 截得的对应线段 .

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段( )

结论 1:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三 边与原三角形的三边 .

结论 2:三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两 边 。

结论 3:若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例,则此 直线与三角形的第三边 .

3.

相似三角形的判定定理:

(1)(SAS)

(2)(SSS)

(3)(AA)

推论:如果一条直线与三角形的一边平行,且与三角形的另两条边相交,则 相似三角形的性质定理:相似三角形的对应线段的比等于 比等于 . ,面积

4.

直角三角形的射影定理:直角三角形一条直角边的平方等于 .



斜边上的高等于

直线与圆的位置关系
1.圆周角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的( ②推论 (ⅰ)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也( ) );900 的圆周角所对 )

(ⅱ)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是( 的弦是直径。

(2)圆心有定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理

①定理 1:圆内接四边形的对角(

)。 )

②定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的( (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理:如果一个四边形的对角( 点共圆。 ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的( 的四个顶点共圆。 3.圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理及推论 (1)定理:圆的切线垂直于经过切点的( (2)推论: ①推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过( ②推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心( 4.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所平的弧所对的( 5.与圆有关的比例线段 圆中的比例线段 )

),那么这个四边形的四个顶

),那么这个四边形

) )

)。

定理名称 相交弦定 理

基本图形

条件

结论

应用 (1)在 PA、PB、 PC、PD 四 线段中知三 求一(2) 求弦长及角

弦 AB、CD (1)PA· PB=PC· PD 相交于圆内 点P (2) ⊿ACP∽⊿BDP

割线定理

PAB、PCD 是⊙ O 的割 线

(1) PA· PB=PC· PD (1)求线 (2) ⊿PAC∽⊿PDB 段 PA、 PB、PC、 PD 及 AB、CD (2)应用 相似求 AC、B

切割线定 理

PA 切⊙ O 于 A,PBC 是⊙ O 的割 线

(1)PA2=PB· PC (2) ⊿PAB∽⊿PCA

(1)已知 PA、PB、 PC 知二可 求一 (2)求解

AB、AC 切线长定 理 PA、PB 是 ⊙ O 的切线 (1)PA=PB (2)∠OPA=∠OPB (1)证线 段相等,已 知 PA 求 PB (2)求角 二.典型例题 1.如图,已知 AP 是⊙ O 的切线,P 为切点,AC 是⊙ O 的割线,与⊙ O 交 于 B,C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点。 (1)证明:A,P, O ,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小。

2.如图所示,已知⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙ O1 的切线交 ⊙ O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙ O1 、⊙ O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P。

(1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长。 3.如图 6,在 ΔABC 中,作直线 DN 平行于中线 AM,设这条直线交边 AB 与点 D,交边 CA 的延长线于点 E,交边 BC 于点 N. 求证:AD∶AB=AE∶AC.
E A D

B

N M 图6

C

4. 如图 7,E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,且
EB AF 1 ? ? . AB AD 3

求证:∠AEF=∠FBD.
A

F M

D

E B 图7 C

三.巩固提升 1.如图 1, l1 // l2 // l3 ,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16,则 DM= EK= ,FK= . ,

2.如图 2,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 80cm,梯上点 D 距墙 70cm,BD 长 55cm,则梯子的长为
A

cm.
A

C

A M K D

E

l1 l2 l3

┐ ┐ 图2

D D B B 图3 1 ╭ C A 图4

C

F

B 图1

┐ D

B

3.如图 3,ΔABC 中,∠1=∠B,则 Δ BD=2,则 AC= .

∽Δ

.此时若 AD=3,

4.如图 4,CD 是 RtΔABC 的斜边上的高. (1)若 AD=9,CD=6,则 BD= (2)若 AB=25,BC=15,则 BD= .
B F H


D

A E C

5.如图 8,ΔABC 中,点 D 为 BC 中点,点 E 在 CA 上,且 CE= 交于点 F,则 AF:FD= .

1 EA,AD,BE 2

6.一个等腰梯形的周长是 80cm,如果它的中位线长与腰长相等,它的高是 12cm,则这个梯形的面积为 cm2.

7.两个三角形相似,它们的周长分别是 12 和 18,周长较小的三角形的最短边 长为 3,则另一个三角形的最短边长为 8.如图 9,已知∠1=∠2,请补充条件: ΔABC∽ΔADE.
A A F B D 图8 E C 1 ╮ ╮2 图9 D B

. (写一个即可),使得
E C

9.已知 E 是圆内接四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,并且
?BAE ? ?CAD 。

求证:⑴ AB ? CD ? AC ? BE ;⑵ AD ? BC ? AC ? ED 。

10.如果一个圆过△ ABC 的顶点 B 和 C ,并且分别交 AB 、 AC 于点 D 和点 E 。 求证:
AD AE ? 。 AC AB

11.如图,已知: DE AB , EF BC 。求证: △ DEF ∽△ ABC 。

12 如图,△ ABC 是钝角三角形, AD 、 BE 、 CF 分别是△ ABC 的三条高。 求证: AD ? BC ? BE ? AC 。

13.如图,平行四边形 ABCD 中, AE ∶ EB =1∶2,求△ AEF 的周长与 △ CDF 的周长比。如果△ AEF 的面积等 于 6cm 2 ,求△ CDF 的面积。

14 如图,△ ABC 中, ?BAC ? 60 , CD ? AB ,求 证: BD ? AB ?
1 AC 。 2

15. AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠BAC=60° ,P 是 OB 上一点,过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,连结 OC,过点 C 作 CD⊥OC 交 PQ 于点 D.

(1)求证:△CDQ 是等腰三角形; (2)如果△CDQ≌△COB,求 BP∶PO 的值.

16. △ABC 内接于圆 O,∠BAC 的平分线交⊙O 于 D 点,交⊙O 的切线 BE 于 F,连结 BD,CD. 求证:(1)BD 平分∠CBE;(2)AB· BF=AF· DC.


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