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18版高中数学第三章指数函数和对数函数5.3对数函数的图像和性质学案北师大版必修1

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5.3 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复 合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特 点.
知识点一 y=logaf(x)型函数的单调区间 思考 我们知道 y=2f(x)的单调性与 y=f(x)的单调性相同,那么 y=log2f(x)的单调区间与 y=f(x)的单调区间相同吗?
梳理 一般地,形如函数 f(x)=logag(x)的单调区间的求法:①先求 g(x)>0 的解集(也就 是函数的定义域);②当底数 a 大于 1 时, g(x)>0 限制之下 g(x)的单调增区间是 f(x)的 单调增区间,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间;③当底数 a 大于 0 且小于 1 时,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调区间与 f(x)的单调区间正好相反. 知识点二 对数不等式的解法 思考 log2x<log23 等价于 x<3 吗?
梳理 一般地,对数不等式的常见类型:
1

当 a>1 时, ??f x > 可省略 ,
logaf(x)>logag(x)??g x >0, ??f x >g x ;
当 0<a<1 时, ??f x >0,
logaf(x)>logag(x)??g x > 可省略 , ??f x <g x
知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置 思考 y=log2x 与 y=log3x 同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎样区分它们在同 一坐标系内的相对位置?
梳理 一般地,对于底数 a>1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近 x 轴;对 于底数 0<a<1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近 x 轴. 知识点四 反函数的概念 思考 如果把 y=2x 视为 A=R→B=(0,+∞)的一个映射,那么 y=log2x 是从哪个集合到 哪个集合的映射?
梳理 一般地,像 y=ax 与 y=logax(a>0,且 a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=ax 的定义域 R,就是 y=logax 的值域,而 y=ax 的值域(0,+∞)就是 y=logax 的定 义域. (2)互为反函数的两个函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像关于直 线 y=x 对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
类型一 对数型复合函数的单调性
2

命题角度1 求单调区间 例 1 求函数 y=log 1 (-x2+2x+1)的值域和单调区间.
2
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间必须是定义域的子集,哪 怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则 f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则 f(g(x))为减 函数,简称“同增异减”. 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=log 1 (-x2+2x).
2
(1)求函数 f(x)的值域; (2)求 f(x)的单调性.
3

命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例 2 已知函数 y=log (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 1 2

反思与感悟 若 a>1,则 y=logaf(x)的单调性与 y=f(x)的单调性相同,若 0<a<1,则 y= logaf(x)的单调性与 y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义

域.

跟踪训练 2 若函数 f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则 a 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(1,3]

D.[3,+∞)

类型二 对数型复合函数的奇偶性

例 3 判断函数 f(x)=ln 22- +xx的奇偶性.

引申探究

若已知 f(x)=lnab- +xx为奇函数,则正数 a,b 应满足什么条件?

4

反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合 成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断,一般用 f(x)±f(-x)=0 来判断,运算相对简单. 跟踪训练 3 判断函数 f(x)=lg( 1+x2-x)的奇偶性.
类型三 对数不等式 例 4 已知函数 f(x)=loga(1-ax)(a>0,且 a≠1),解关于 x 的不等式:loga(1-ax)>f(1).
5

反思与感悟 对数不等式解法要点:

(1)化为同底 logaf(x)>logag(x). (2)根据 a>1 或 0<a<1 去掉对数符号,注意不等号方向.

(3)加上使对数式有意义的约束条件 f(x)>0 且 g(x)>0.

跟踪训练 4 已知 A={x|log2x<2},B={x|13<3x< 3},则 A∩B 等于(

)

A.???0,12???

B.(0, 2)

C.???-1,21???

D.(-1, 2)

1.如图所示,曲线是对数函数 f(x)=logax 的图像,已知 a 取

43 1 3,3,5,10,则对应于

C1,

C2,C3,C4 的 a 值依次为( )

A. 3,43,35,110

B. 3,43,110,35

C.43, 3,35,110

D.43, 3,110,35

2.如果 log 1 x ? log 1 y ? 0, 那么( )

2

2

A.y<x<1

B.x<y<1

C.1<x<y

D.1<y<x

3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)等于( )

A.log2x

1 B.2x

C. log 1 x
2

D.2x-2

4.已知函数 f(x)=ln 11+ +a2xx(a≠2)为奇函数,则实数 a=________.

5.函数 f(x)=ln x2 的减区间为____________.

1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
6

2.y=ax 与 x=logay 的图像是相同的,只是为了适应习惯用 x 表示自变量,y 表示因变量, 把 x=logay 换成 y=logax,y=logax 才与 y=ax 关于 y=x 对称,因为(a,b)与(b,a)关于 y=x 对称.
7

答案精析
问题导学 知识点一 思考 y=log2f(x)与 y=f(x)的单调区间不一定相同,因为 y=log2f(x)的定义域与 y=f(x) 的定义域不一定相同. 知识点二 思考 不等价.log2x<log23 成立的前提是 log2x 有意义,即 x>0, ∴log2x<log23?0<x<3. 知识点三 思考 可以通过描点定位,也可令 y=1,对应 x 值即底数. 知识点四 思考 如图,y=log2x 是从 B=(0,+∞)到 A=R 的一个映射,相当于 A 中元素通过 f:x→2x 对应 B 中的元素 2x,y=log2x 的作用是 B 中元素 2x 原路返回对应 A 中元素 x.
题型探究 例 1 解 设 t=-x2+2x+1,则 t=-(x-1)2+2. ∵y=log 1 t 为减函数,且 0<t≤2,
2
y=log 1 2=-1,即函数的值域为[-1,+∞).
2
又函数 log 1 (-x2+2x+1)的定义域为-x2+2x+1>0,由二次函数的图像知 1- 2<x<1+
2
2. ∴t=-x2+2x+1 在(1- 2,1)上递增,而在(1,1+ 2)上递减,而 y=log 1 t 为减函数.
2
∴函数 y=log (-x2+2x+1)的增区间为(1,1+ 2),减区间为(1- 2,1). 1 2
跟踪训练 1 解 (1)由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0, 由二次函数的图像知 0<x<2. 当 0<x<2 时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1],
8

∴log 1 (-x2+2x)≥log 1 1=0.

2

2

∴函数 y=log 1

(-x2+2x)的值域为[0,+∞).

2

(2)设 u=-x2+2x(0<x<2),v=log 1 u,
2

∵函数 u=-x2+2x 在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=log 1 u 是减函数,
2

∴由复合函数的单调性得到函数 f(x)=log 1 (-x2+2x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是
2

增函数.

例 2 解 令 g(x)=x2-ax+a,g(x)在???-∞,a2???上是减函数,∵0<12<1,∴y=log 1 g(x) 2

是减函数,而已知复合函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,
2

∴只要 g(x)在(-∞, 2)上单调递减,且 g(x)>0 在 x∈(-∞, 2)恒成立,

?? 即?

a 2≤2,

??g 2 =

2 2- 2a+a≥0,

∴2 2≤a≤2( 2+1),

故所求 a 的取值范围是[2 2,2( 2+1)].

跟踪训练 2 B [函数由 y=logau,u=6-ax 复合而成,因为 a>0,所以 u=6-ax 是减函 数,那么函数 y=logau 就是增函数,所以 a>1,因为[0,2]为定义域的子集,所以当 x=2 时,u=6-ax 取得最小值,所以 6-2a>0,解得 a<3,所以 1<a<3.故选 B.]

例3



2-x 由2+x>0

可得-2<x<2,

所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称.

方法一 f(-x)=ln 22+ -xx=ln(22- +xx)-1=-ln 22- +xx=-f(x),

即 f(-x)=-f(x),

所以函数 f(x)=ln

2-x 2+x是奇函数.

方法二 f(x)+f(-x)

=ln 22-+xx+ln 22+ -xx=ln(22- +xx·22+-xx)

=ln 1=0,

即 f(-x)=-f(x),

9

所以函数 f(x)=ln 22- +xx是奇函数.

引申探究

解 由ab-+xx>0 得-b<x<a.

∵f(x)为奇函数,

∴-(-b)=a,即 a=b.

当 a=b 时,f(x)=lnaa- +xx,

f(-x)+f(x)=lnaa+ -xx+lnaa- +xx

=ln???aa+-xx·aa- +xx???
=ln 1=0,

∴f(-x)=-f(x),

∴此时 f(x)为奇函数.

故 f(x)为奇函数时,a=b.

跟踪训练 3 解 方法一 由 1+x2-x>0 可得 x∈R,

所以函数的定义域为 R 且关于原点对称,

又 f(-x)=lg( 1+x2+x)

=lg

1+x2+x

1+x2-x

1+x2-x

1 =lg 1+x2-x

=-lg( 1+x2-x)=-f(x),

即 f(-x)=-f(x).

所以函数 f(x)=lg( 1+x2-x)是奇函数.

方法二 由 1+x2-x>0 可得 x∈R,

f(x)+f(-x)

=lg( 1+x2-x)+lg( 1+x2+x)

=lg[( 1+x2-x)( 1+x2+x)] =lg(1+x2-x2)=0,

所以 f(-x)=-f(x),

所以函数 f(x)=lg( 1+x2-x)是奇函数. 例 4 解 ∵f(x)=loga(1-ax),

10

∴f(1)=loga(1-a). ∴1-a>0,∴0<a<1. ∴不等式可化为 loga(1-ax)>loga(1-a).

∴?????11--aaxx><01,-a,

即?????aaxx< >1a, ,

∴0<x<1.

∴不等式的解集为(0,1).

跟踪训练 4 A [log2x<2,

即 log2x<log24,等价于?????xx><04, ,

∴A=(0,4).

13<3x<

1
3,即 3-1<3x< 32 ,

∴-1<x<12,B=???-1,21???,

∴A∩B=???0,12???.]
当堂训练

1.A 2.D 3.A

4.-2 5.(-∞,0)

11


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