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复数的四则运算导学案


复数的四则运算导学案
一. 学习目标 1. 理解和掌握服输的加、减、乘、除运算的定义,并能够用定义求 出两复数的和、差、积、商。 2. 了解复数加法满足交换律、结合律;了解乘法满足交换律、结合 律,乘法对加法的分配律,以及复数的正整数幂的的运算律。 二. 重、难点 重点:运算律的应用。 难点:运算律的应用。 三. 自主预习 阅读教材 P1 0 4 —— P1 0 5 1. 复数的加法、减法法则 设 a ? bi 和 c ? di ( a , b , c , d ? R )是任意两个复数,我们定义复数加 法、减法如下: ( a ? bi ) ? ( c ? d i ) = + 。 ,它的实部是原

即,两个复数的和(或差)仍然是一个 来的两个复数 的

的和(或差) ,它的虚部是原来的两个复数

和(或差) 。

2.复数的乘法法则 设复数 a ? bi 和 c ? di ( a , b , c , d ? R )是任意两个复数,我们定 义复数乘法法则如下:
( a ? b i )( c ? d i ) =



即两个复数的积仍然是一个复数, 复数的乘法与多项式的乘法是相似 的,但在运算中,需要用 i ? ? 1 进行化简,然后再把实部与虚部合
2

并。 3.共轭复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫 做互为相反数, 复数 z 的共轭复数用 z 表示, 也就是 z = a ? bi 时,

z =

。显然: z z =

=

= z

2

4. 复数的乘法运算律 (1)交换律: z 1 z 2 = (2)结合律: z1 ( z 2 z 3 ) = (3)分配律: z1 ( z 2 (4) z z = 5. 复数的除法法则 给出两个 a ? b i 和 c ? di ( c ? di
m n

; ; ;
m
n

? z3 ) =

,z

=

, ( z1 z 2 ) =

n



?

0) ,把满足( c ? di )

( x ? yi )的复数 x ? yi 叫作复数 a ? bi 除以 c ? d i 的商,记作
( a ? bi ) ? ( c ? di )

或者
?

a ? bi c ? di

其中:

a ? bi c ? di

( a ? b i )( c ? d i ) ( c ? d i )( c ? d i )

?

( a c ? b d ) ? (b c ? a d )i c ?d
2 2

可见,复数的除法分母有理化的方法类似,可用分母的共轭复数 同乘分子与分母后,再进行运算

四. 效果检测 1.设 m ? R ,复数 z1 ?
m ?m
2

m?2

? ( m ? 1 5) i , z 2 ? ? 2 ? m ( m ? 3) i ,若

z1 ? z 2 是实数,求 m 的取值范围。

2.已知 z1 ?

2a ? 1 ? ai(a ? R , 且 a ? ?

1 2

) , z ?? z 1? 若

? i) 对 1 (

应的点在第二象限,试求 a 的取值范围。

3.已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为 2 i , 4 ? 4 i , 2 ? 6 i , 求第四个顶点对应的复数。

4.(1)复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则 z ? 1 ? i 的最大值为 最小值为 。 。 。

(2)设 f ( z ) ? z , z1 ? 3 ? 4 i , z 2 ? ? 5 ? 7 i 则 f ? z1 ? z 2 ? = 5. (1) 设 i 是虚数单位, 复数 (2)若 z ?
1 ? 2i i

1 ? ai 2?i

为纯虚数, 则实数 a = 。

,则 z =

(3)复数 z ?

2?i 2?i

( i为 虚 数 单 位 ) 在复平面内对应的点在第

象限。

(4) i为 虚 数 单 位 , 则

1 i

?

1 i
3

?

1 i
5

?

1 i
7

?

。 。
2012

(5)复数 z ? 1 ? i , z为 z的 共 轭 复 数 ,则 z z ? z ? 1 ?
? m ? ni ? (6) i是 虚 数 单 位 , m , n ? R , 且 m (1 ? i ) ? 1 ? ni ,则 ? ? ? m ? ni ? ?

, 。

? m ? ni ? ? ? ? m ? ni ?

2013

?

? m ? ni ? ,? ? ? m ? ni ?

2014

?

? m ? ni ? ,? ? ? m ? ni ?

2015

=


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