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最新上海市静安区届高三二模数学试卷

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上海市静安区 2018 届高三二模数学试卷

2018.05

一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 A ? {1,3,5,7,9} , B ? {0,1,2,3,4,5} ,则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是 2. 若复数 z 满足 z(1? i) ? 2i ( i 是虚数单位),则| z | ?
3. 函数 y ? lg(x ? 2)的定义域为 4. 在从 4 个字母 a 、 b 、 c 、 d 中任意选出 2 个不同字母的试验中,其中含有字母 d 事件
的概率是
5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则 h ?

6. 如上右图,以长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点,过 D 的三条棱所在的直线

uuur

uuur

为坐标轴,建立空间直角坐标系,若 DB1 的坐标为 (4,3, 2) ,则 BD1 的坐标为

7. 方程 cos 2x ? ? 3 的解集为 2
8. 已知抛物线顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上

一点 M (a, ?4) (a ? 0) 到焦点 F 的距离为 5,则该抛物线的

标准方程为

9. 秦九韶是我国南宋时期数学家,他在所著的《数书九章》

中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算

法,右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入 n 、 x

的值分别为 4、2,则输出 q 的值为

(在算法语言中用“ ? ”表示乘法运算符号,例如 5?2 ?10)

10.

已知等比数列

{an

}

的前

n

项和为

S

n



n

?

N*

),且

S6 S3

?

?

19 8



a4

?

a2

?

?

15 8

,则

a3



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值为

11. 在直角三角形 ABC 中, ?A ? ? , AB ? 3, AC ? 4 ,E 为三角形 ABC 内一点, 2

且 AE ?

2

,若

uuur AE

?

?

uuur AB

?

?

uuur AC

,则 3?

?

4?

的最大值等于

2

12. 已知集合 A ? {(x, y) | (x ? y)2 ? x ? y ? 2 ? 0} ,

B ? {(x, y) | (x ? 2a)2 ? ( y ? a ?1)2 ? a2 ? a} ,若 A B ? ? ,则实数 a 取值范围为 2

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

13. 能反映一组数据的离散程度的是( )

A. 众数

B. 平均数

C. 中位数

D. 方差

14. 若实系数一元二次方程 z2 ? z ? m ? 0 有两虚数根? ,? ,且| ? ? ?| ?3 ,那么实数 m

的值是( )

A. 5 2

B. 1

C. ?1

D. ? 5 2

15. 函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (A ? 0,? ? 0) 的部分

图像如图所示,则 f (? ) 的值为( ) 3

A. 2

B. 3

C. 6

D. 0

2

2

2

16. 已知函数 f (x) ? x3 ? x ?10 ,实数 x1 、x2 、x3 满足 x1 ? x2 ? 0 ,x2 ? x3 ? 0 ,x3 ? x1 ? 0 ,

则 f (x1) ? f (x2 ) ? f (x3) 的值( )

A. 一定大于 30

B. 一定小于 30

C. 等于 30

D. 大于 30、小于 30 都有可能

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分)

17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数(即函数图像不间断). 昆虫密度 C 是指

每平方米的昆虫数量,已知函数 C(t) ? ???1000(cos(?2t

? 4? ) ? 2)2 ? 990,

8?t

? 16 ,

??m,

0 ? t ? 8或16 ? t ? 24

这里的 t 是从午夜开始的小时数, m 是实常数, m ? C(8) .

(1)求 m 的值;(2)求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.

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18. 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,两焦点分别 为 F1 和 F2 ,椭圆 ? 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12. 圆 Ak : x2 ? y2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为 Ak . (1)求△ Ak F1F2 的面积;
(2)若椭圆上所有点都在一个圆内,则称圆包围这个椭圆.
问:是否存在实数 k 使得圆 Ak 包围椭圆 ? ?请说明理由.
19. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,AC 与 BD 交于点 O ,OP ?底面 ABCD , 点 M 为 PC 中点, AC ? 2 , BD ?1, OP ? 2 . (1)求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值.
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20.

已知数列{an} 中,a1

?a

(a

?

R,

a

?

?

1 2

)

,an

? 2an?1 ?

1? n

1 n(n ?1)

,n ? 2 ,n ? N* .

又数列{bn} 满足: bn

?

an

?

1, n ?1

n ? N*

.

(1)求证:数列{bn} 是等比数列;

(2)若数列{an} 是单调递增数列,求实数 a 的取值范围;

(3)若数列{bn} 的各项皆为正数, cn ? log 1 bn ,设Tn 是数列{cn} 的前 n 和,问:是否存
2
在整数 a ,使得数列{Tn} 是单调递减数列?若存在,求出整数 a ;若不存在,请说明理由.

21. 设函数 f (x) ? | 2x ? 7 | ?ax ?1( a 为实数).

(1)若 a ? ?1,解不等式 f (x) ? 0 ;

(2)若当 x ? 0 时,关于 x 的不等式 f (x) ? 1成立,求 a 的取值范围; 1? x

2 x ?1

(3)设 g(x) ?

,若存在 x 使不等式 f (x) ? g(x) 成立,求 a 的取值范围.

?a x ?1

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参考答案

一. 填空题

1. {0,2,4} 6. (?4,?3,2)

2. 2

3. [?1,??)

7. {x | x ? k? ? 5? ,k ? Z} 12

4. 1

5. 4

2

8. x2 ? ?4 y

9. 50

10. 9 4

11. 1

12. [?19 ? 109 ,0] 14

二. 选择题 13. D

14. A

15. C

16. B

三. 解答题

17. 解(1) m ? C(8)=1000(cos0+2)2 ? 990 ? 8010 ;

……4 分

(2)当 cos(? ?(t ?8)) ? ?1 时,C 达到最小值,得 ? ? (t ? 8) ? (2k+1)? , k ? Z ,……8 分

2

2

又 t ?[8,16] ,解得 t ? 10 或 14.

所以在 10:00 或者 14:00 时,昆虫密度达到最小值 10. ……14 分

18.

解:(1)设椭圆方程为: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) ,……1 分

由已知有 2a ? 12, a ? 2b ,

……2 分

所以椭圆方程为: x2 ? y2 ? 1 , 36 9

…… 3 分

圆心 Ak (?k, 2)

……5 分

所以,△ Ak F1F2 的面积 SAk F1F2

?

1 2

F1F2

?

yAK

? 1?6 2

3?2 ? 6

3

(2)当 k ? 0 时,将椭圆椭圆顶点(6,0)代入圆方程得:

……6 分

62 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 15 ?12k ? 0 ,可知椭圆顶点(6,0)在圆外;……10 分

当 k ? 0 时, ( ? 6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 15 ?12k ? 0 ,可知椭圆顶点(-6,0)在圆外;

所以,不论 k 取何值,圆 Ak 都不可能包围椭圆 Γ.……14 分

19. 解:(1)因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD .又 OP ?底面 ABCD ,以 O 为原点,

直线 OA,OB,OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系. ……1 分

则 A(1, 0, 0) , B(0, 1 , 0) , P(0, 0, 2) , C(?1, 0, 0) , M (? 1 , 0,1) .

2

2

所以 AP ? (?1, 0, 2) , BM ? (? 1 , ? 1 ,1) , AP ? BM ? 5 ,

22

2

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| AP |? 5 ,| BM |? 6 . 2

……3 分

则 cos ? AP, BM ?? AP ? BM ? 5 ? 30 . | AP || BM | 5 ? 6 6

故异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 30 ……6 分 6

(2) AB ? (?1, 1 , 0) , BM ? (? 1 , ? 1 ,1) .

2

22

设平面 ABM 的一个法向量为 n ? (x, y, z) ,



??n ? ??n

? ?

AB BM

?0 ?0

,得

???? ? ????

x? 1x 2

1 2
?

y
1 2

? y

0 ?

z

?

0

,令

x

?

2

,得

y

?

4



z

?

3



得平面 ABM 的一个法向量为 n ? (2, 4, 3) .

……9 分

又平面 PAC 的一个法向量为 OB ? (0, 1 , 0) , 2

……10 分

所以 n ?OB ? 2 ,| n |?

29 ,| OB |? 1 .则 cos ? n,OB ?? n ?OB ?

2

| n || OB |

4 ?4 29 29

29 .

故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为 4 29 . 29

……14 分

20.

解:(1) an

?

n

1 ?1

?

2an?1

?

1 n

?

1 n(n ?1)

?

n

1 ?

1

?

2an?1

?

1 n

?

1 n

?

n

1 ?1

?

n

1 ?

1

2

1

?

2an?1

?

n

?

2(an?1

?

) n

……2 分

即 bn ? 2 bn?1

……3 分



b1

?

a1

?

1 2

?

a

?

1 2

,由

a

?

?

1 2

,则

b1

?

0

所以 {bn } 是以

b1

?

a

?

1 2

为首项,2

为公比的等比数列.

……4 分

(2) bn

?

(a

?

1 2

)

?

2n?1

,所以

an

?

? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n?1

?

1 n ?1

……6 分

若{an}是单调递增数列,则对于 n ? N* , an?1 ? an ? 0 恒成立 ……7 分

an?1

?

an

?

? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n

?

n

1 ?

2

?

? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n

?1

?

1 n ?1

=

? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n?1

?

1? n ?1

1 n?2

=

? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n

?1

?

1 (n ?1)(n ? 2)

……8 分



? ??

a

?

1 2

? ??

?

2n?1

?

(n

1 ? 1)(n

?

2)

?

0

,得

a

?

1 2

?

?

2n ?1 (n

1 ? 1)(n

?

2)

对于

n?

N*

恒成立,



?

2n ?1 (n

1 ? 1)(n

?

2)

递增,且

?

2n ?1 (n

1 ? 1)(n

?

2)

?

0



lim[?
n??

2n ?1 (n

1 ? 1)(n

?

] 2)

?

0



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所以 a ? 1 ? 0 ,又 a ? ? 1 ,则 a ? ? 1 .

2

2

2

……10 分

(3)因为数列 {bn } 的各项皆为正数,所以

a

?

1 2

?

0





a

?

?

1 2

. cn

?

log1 [(a
2

?

1 )2n?1] 2

?

?n

?1? log2 (a

?

1), 2

……13 分

若数列{Tn} 是单调递减数列,则 T2 ? T1 ,即

?2 log2 (a

?

1) 2

?1

?

? log2

(a

?

1 ), 2

log2 (a

?

1) 2

?

?1

,即

a

?

1 2

?

1 2



所以

?

1 2

?

a

?

0

.不存在整数

a

,使得数列 {Tn }

是单调递减数列.

……16 分

21. 解:(1)由 f (x) ? 0得 2x ? 7 ? x ?1, ……1 分

解不等式得

? ? ?

x

|

x

?

8 3

或x

?

6?? ?

(利用图像求解也可)

……4 分

(2)由 x ? 0 解得 0 ? x ?1.由 f (x) ?1得| 2x ? 7 | ?ax ? 0 , 1? x

当 0 ? x ?1时,该不等式即为 (a ? 2)x ? 7 ? 0 ;

……5 分

当 a=2 时,符合题设条件;

……6 分

下面讨论 a ? 2的情形, 当 a ? 2 时,符合题设要求;

……7 分

当 a ? 2 时, x ? 7 ,由题意得 7 ? 1,解得 2 ? a ? ?5;

2?a

2?a

综上讨论,得实数 a 的取值范围为?a | a ? ?5?

……10 分

2 x ?1

(3)由 g(x) ?

=2 x ?1 ? a(x ?1) ,

?a x ?1

……12 分

代入 f (x) ? g(x) 得| 2x ? 7 | ?2 | x ?1| ?1 ? a ,令 h(x) ?| 2x ? 7 | ?2 | x ?1| ?1,

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?

? 6, x ? 1



h(x)

?

????4x ?

? 10,1

?

x

?

7 2



? ??

?4, x ? 7 2

∴ h(x)min ? ?4

……15 分

?4 ? h(7) ? h(x) ? h(1) ? 6 , 2

若存在 x 使不等式 f (x) ? g(x) 成立,则 h(x)min ? a,即a ? ?4 . ……18 分

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