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2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题(1)


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题

一. 填空题(共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分) 1. 已知非空集合 A ? {1,2,?,2012 } , 且满足: 当 a ∈ A 时, 有 2013 ? a ∈ A , 则符合题意的集 合 A 共有

21006 ?1

2. 已知 P ( a, b ) 关于直线 l 的对称点为 P′( b + 1, a ? 1) ,则园 C : x 2 + y 2 ? 6 x ? 2 y = 0 关于 直线 l 对称的园 C′ 的标准方程为 ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) = 10 3.已知分段函数 f ( x ) = ? 的取值范围是程 ( ?∞,2 ) 4.设 a ,b 分别是方 log 513 x + x ? 2012 = 0 和 513 x + x ? 2012 = 0 的根,则 a + b = 2012 5. 已知四面体 A ? BCD 中, AB = CD = 2 13, BC = AD = 41, AC = BD = 61, 则该四 面体的体积是 40
2 2

? 3? x , x ≤ 0 ? , 若 f ( x) = x + a 有且仅有三个实数解, 则实数 a ? ? f ( x ? 1) , x > 0

6. 定义 A * B = ?

? C ( A) ? C ( B ) ,C ( A ) ≥ C ( B ) ? ,已知 A = {1,2} , B = x | x2 + ax + 1 = 0 , 其 C B ? C A , C A < C B ( ) ( ) ( ) ? ? ( )

{

}

中 C ( A ) 表示集合 A 中元素的个数 , 若 A * B = 1 , 由 a 的所有可能值构成的集合是 S , 那么

C (S ) = 3
7. 已知正三棱锥 P ? ABC 的侧棱长为 3 + 1 ,底面边长为 2 , Q 是侧棱 PA 的中点, 一条折线从点 A 出发,绕侧面一周到点 Q ,则这条折线长度的最小值是

15 + 5 2

8. 已 知 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 是 D , 若 对 于 任 意 的 x1 , x 2 ∈ D , 当 x1 < x2 时 , 都 有

f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数, 设函数 y = f ( x ) 在 [ 0,1] 上为非减函数, 满
足条件: ? f (0) = 0 ;? f ? ? = f ( x ) ;? f (1 ? x ) = 1 ? f ( x) , 则 f ? ? + f ? ?= ?3? 2 ?3? ? 2012 ? 128 9.(选做题) . (必修 3) 在 6 个产品中有 4 个正品和 2 个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回), 直到 2 个次品都找到为止,则恰好经过 4 次检查将 2 个次品全部找到的概率是 4 15

?x?

1

?1?

? 1 ?

65

(必修 4)如图 1 所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 是以 A 为圆心,AB 为半径的圆 弧 BD 上的任意一点,设向量 AC = λ DE + ? AP(λ , ? ∈ R), 则 λ + ? 的最小值是

??? ?

??? ?

??? ?

1 2

10.已知 m ∈ N ,且函数 f ( x ) = 2 x ? m 10 ? x ? m + 10 存在整数零点,则符合题意的一切

m 的取值构成的集合是

{0,3,14,30}

二、(本题满分 20 分) 如图 2 所示, KL 和 KN 是 ⊙ C 的两条切线,其中, L, N 为切点. 在 KN 的延长线上取一点 M , ?KML 的外接圆与 ⊙ C 的另一交点为 P , ML 和 ⊙ C 的另一交点 为 R ,延长 PR 交 MK 于 T .过 N 作 NQ ⊥ ML 于 Q ,连接 QP . 证明:(1) ?MTR ∽ ? PTM ; (2) ∠MPQ = 2∠KML. 证明:(1) 连接 PL. 因为 KL 为切线, 所以 ∠KLM = ∠RPL . ∵ ∠TMP = 180 ° ? ∠KLP = 180 ° ? ∠KLM ? ∠PLM =180 ° ? ∠RPL ? ∠PLR = ∠ LRP = ∠ TRM ; ∠ MTR = ∠ PTM .∴ ? MTR ∽ ? MTP . (2)连接 TQ , 由(1)知, ?MTR ∽ ? PTM ; ∴ TM 2 = TR ? TP . 由于 TN 为 ⊙C 的切线,则

TN 2 = TR ? TP ,∴TM = TN . ∵ NQ ⊥ ML, ∴T 是 ?MNQ 的斜边中点, ∴TQ 2 = TN 2 = TR iTP

? ?TRQ ∽ ?TPQ ? ∠TPQ = ∠TQR = ∠KML ? ∠MPQ = 2 ∠KML. 三. (本题满分 20 分) 如图 3 所示,已知单位正方体 ABCD ? EFGH 的棱长 AD 和 BC 上

分别有动点 Q,P.. 若直线 PQ 和 BD 交于点 N ,直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M,BE 的中点是 S, 设 AQ= x ( 0 ≤ x ≤ 1) ,MN=y .(1)求证: D,M,S 三点共线;(2)求 y 的最小值关于 x 的解析式.

证明: (1)连接 AF, DG.因为点 Q 在边 AD 上, 所以直线 GQ 在平面 ADGF 内. 又因为直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M, 所以 M 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点.而 BE 的中点是 S,故 S 是 AF 的中点,所以 S 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点. 显然 D 是平面 ADGF 和平面 BDE 的 交点,因此 D,M,S 三点共线. (2)过 M 作 MN ′ ⊥ BD 于 N ′ ,连接 QN ′ 并延长交直线 BC 于点 P′ ,取点 P′ 为 P, 点 N ′ 为 N ,此时 y=MN 最小。连接 DS(经过点 M )并延长交 GF 的延长线于 T,连接 TE, 则 TE // BD。 记 E(也就是 T)到直线 BD 的距离为 d。 由于 ?BDE 是边长为 2 的正三角形, 故d = 2 ×

6 (1 ? x ) 3 6 DM 1 ? x MN DM 1 ? x = ,∵ = ,∴ = = ?y= ( 0 ≤ x ≤ 1) 。 2 2 MT 2 d DT 3 ? x 2 ( 3 ? x)

四、 (本题满分 20 分) (必修 3)函数 f ( x ) = log 2 4 + 16 ? x2 . (1)求函数的值域; (2)若在区间 [?4,1] 上随机取一个数 a,求方程 f 2 ( x ) + af ( x ) + 1 = 0 有实数根的概率。 解: (1) [2,3] 。 (2)设 f(x)=t, 则 t 2 + at + 1 = 0 在 [2,3] 上有实根。 由于两根之积为 1, 故该方程在 [2,3] 10 5 ? 10 5 1 上仅有一根。设 g (t ) = t 2 + at + 1 , ∴ g ( 2 ) g (3 ) ≤ 0, ? ≤ a ≤ ? 。故概率是 3 2 = . 3 2 5 6

(

)

π? (必修 4)已知对于任意的 x ∈ ? (1)存在唯一 ? 0, 2 ? , sin x < x 恒成立,利用此结论证明: ? ?
的实数对 ( c, d ) ,其中 c, d ∈ ? 0,

? π? (2)在(1)的条件下 ? ,使 sin(cosc)=c,cos(sind)=d 成立; ? 2?

证明:c<d 。 证明: (1)构造函数 f ( x) = sin(cos x) ? x, g( x) = cos(sin x) ? x, x ∈ ?0,

? π? ?. ? 2?

π π ? f (0) = sin1 > 0, f ( ) = ? < 0 ? 2 2 π? ? ,因此由零点定理知:存在 c , d ∈ ? ∵? 0, ? , ? π? π ? 2? ? g (0) = 1 > 0, g ? ? ? = cos1 ? < 0 ? 2 ?2 ? ?
? π? 因此存在唯 f (c ) = 0, g ( d ) = 0. 由复合函数的单调性知 f ( x ), g ( x ) 在 ? 0, ? 上单调递减。 ? 2? 一的实数对 ( c, d ) ,其中 c, d ∈ ? 0,

? π? ? ,使 sin(cos c) = c,cos(sin d ) = d . ? 2? ? π? ? π? ,∴sin d ∈ ( 0,1) ? ? 0, ? , 由 ? ? 2? ? 2?

( 2 ) ∵ cos(sin d ) = d ,∴sin(cos(sin d )) = sin d . ∵ d ∈ ? 0, (1)中的唯一性知, c = sin d .而 sin d < d , 因此 c < d .

?1, x > 0 ? 五、 (本题满分 20 分)函数 sgn( x) = ?0, x = 0 , f ( x) = x3 + x ? log 2 ( x 2 + 1 ? x). ??1, x < 0 ?
(1)求证:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数; (2)对于任意实数 a ,b (a + b ≠ 0) ,求

? f ( a) + f ( b) ? sgn ? ? . 的值。 3 3 ? a +b ?
解: (1) ∵ x2 + 1 > x ≥ x,∴ f ( x) 的定义域是 R。

∵ f ( ? x) = ( ? x ) + ( ? x ) ? log 2 = ? x ? x ? log 2 = ? x3 ? x ? log 2 = ? x3 + x ? log 2
3

3

(

(?x )

2

+1 ? (? x )

)

( (

x2 + 1 + x
2

)( ))

x2 + 1? x

)

x +1? x
1

x2 + 1 ? x x 2 + 1 ? x = ? f ( x)
∴ f ( x) 是定义在 R 是的奇函数。

(

∵ f ( x) = x3 + x ? log 2 = x 3 + x ? log 2
(2)

(

x2 + 1 ? x

)
因此 f (x ) 在 [0, +∞ ) 上显然递增。由于

( x2 + 1 ? x)( x2 + 1 + x)

x2 + 1 + x

= x 3 + x + log 2

(

x 2 + 1+ x .

)

f ( x) 是定义在 R 的奇函数,因此函数 f (x ) 在 R 上是递增的。


a3 + b3 b ? 3b 2 ? = a 2 ? ab + b 2 = ? a ? ? + >0 a +b 2? 4 ?

2

? f ( a ) + f (b ) ? ? f ( a ) + f (b ) ? ∴ sgn ? ? = sgn ? ?. 3 3 a+b ? a +b ? ? ? ∵ a + b > 0 ? a > ? b ? f ( a ) > f (? b) ? f ( a) > ? f ( b ) ? f ( a ) + f ( b ) > 0;

a + b < 0 ? a < ?b ? f ( a ) < f ( ?b ) ? f (a ) < ? f (b ) ? f (a ) + f (b ) < 0.


f ( a) + f ( b) ? f ( a) + f ( b) ? ? f ( a) + f ( b) ? > 0,∴sgn ? ? = sgn ? ? = 1. 3 3 a +b a +b ? a +b ? ? ?


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