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高中数学苏教版必修5学案:2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式含解析

2.3 2.3.1 2.3.2 等比数列 等比数列的概念 等比数列的通项公式 等比数列的概念及通项公式 第 1 课时 1.理解等比数列的概念,能在具体情景中,发现数列的等比关系.(重点) 2. 会推导等比数列的通项公式, 并能应用该公式解决简单的等比数列问题. (重点) 3.会证明一个数列是等比数列.(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 等比数列的概念 阅读教材 P49 的有关内容,完成下列问题. 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那 么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q≠0). 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)等比数列中,各项与公比均不为零.( (2)数列 a,a,…,a 一定是等比数列.( (3)等比数列{an}中,a1,a3,a5 一定同号.( 【答案】 教材整理 2 (1)√ (2)× (3)√ ) ) ) 等比数列的通项公式 阅读教材 P51~P52,完成下列问题. 如果数列{an}是等比数列,首项为 a1,公比为 q,那么它的通项公式为 an= a1qn-1(a1≠0,q≠0). 1.在等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16,则 an=________. 【解析】 ∵a4=a1q3,∴q3=8,∴q=2, ∴an=a1qn-1=2· 2n-1=2n. 【答案】 2n 2.在等比数列{an}中,已知 a1=3,q=3,若 an=729,则 n=________. 【解析】 ∵an=a1qn-1,a1=3,q=3, ∴729=3· 3n-1=3n, ∴n=6. 【答案】 教材整理 3 6 等比中项 阅读教材 P54 第 11 题,完成下列问题. 1.若 a,G,b 成等比数列,则称 G 为 a 和 b 的等比中项,且满足 G2=ab. 2.若数列{an}是等比数列,对任意的正整数 n(n≥2),都有 a2 an+1. n=an-1· 1.若 2 【解析】 【答案】 2是 b-1,b+1 的等比中项,则 b=________. ∵(b-1)(b+1)=(2 ± 3 2)2,∴b2-1=8,∴b2=9,∴b=± 3. 2.若 1,a,4 成等比数列,则 a=________. 【解析】 ∵1,a,4 成等比数列, ∴a2=1×4=4, ∴a=± 2. 【答案】 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________ ± 2 [小组合作型] 等比数列的判定 与证明 设数列{an}满足 a1=1,an+2an-1+3=0(n≥2).判断数列{an+ 1}是否是等比数列? 【精彩点拨】 只需证明 an+1+1 =非零常数即可. an+1 【自主解答】 由题意知 an+1+2an+3=0(n≥2)成立,∴an+1=-2an-3, an+1+1 -2an-3+1 ∴ = =-2(常数). an+1 an+1 又 a1+1=2, ∴数列{an+1}是以 2 为首项,以-2 为公比的等比数列. 要判断一个数列{an}是等比数列,其依据是 q,对一切 n∈N*且 n≥2 恒成立. an an-1 =q(q 是非零常数)或 an+1 = an [再练一题] 1.判断下列数列是否为等比数列. (1)1,-1,1,-1,…; (2)1,2,4,6,8,…; (3)a,ab,ab2,ab3,…. 【解】 (1)是首项为 1,公比为-1 的等比数列. 6 8 (2) ≠ ,不是等比数列. 4 6 (3)当 ab≠0 时,是等比数列,公比为 b,首项为 a; 当 ab=0 时,不是等比数列. 等比数列的通 项公式 (1)若{an}为等比数列,且 2a4=a6-a5,则公比为________. (2)在等比数列{an}中,若 a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则 n=________. 【91730035】 【解析】 (1)∵a6=a4q2,a5=a4q,∴2a4=a4q2-a4q,∴q2-q-2=0,∴ q1=-1,q2=2. ? ?a2+a5=a1q+a1q4=18,③ 因为? 2 5 ? ?a3+a6=a1q +a1q =9,④ (2)法一 由 ④ 1 得 q= ,从而 a1=32,又 an=1, ③ 2 ?1? ? ? 所以 32×? ?n-1=1, ?2? 即 26-n=20,所以 n=6. 法二 1 因为 a3+a6=q(a2+a5),所以 q= . 2 由 a1q+a1q4=18,知 a1=32. 由 an=a1qn-1=1,知 n=6. 【答案】 (1)-1 或 2 (2)6 等比数列基本量的求法 a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来, 法一是常规解法,先求 a1,q,再求 an,法二是运用通项公式及方程思想建立方 程组求 a1 和 q,这也是常见的方法. [再练一题] 2.(1)若等比数列的前三项分别为 5,-15,45,则第 5 项是________. (2)一个各项均为正数的等比数列, 每一项都等于它后面两项的和, 则

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