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河南省郑州市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


河南省郑州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、单项选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2
x

≤0”的否定是() B. 存在 x0∈R,2 ≥0
x

>0

C. 对任意的 x∈R,2 ≤0

D.对任意的 x∈R,2 >0

2. (5 分)设 p:x<﹣1 或 x>1,q:x<﹣2 或 x>1,则?p 是?q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若 b≤﹣1,则方程 x ﹣2bx+b +b=0 有实根”的逆否命题; ④“若 A∪B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题是() A.①② B.②③ C.①③ 4. (5 分)在△ ABC 中,a=1,b= A. B. 或 ,∠A= ,则∠B 等于() C. 或 D.
2 2

D.③④

5. (5 分)在△ ABC 中,如果 sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC 等于() A. B. C. D.

6. (5 分)已知 a,b 是正实数,A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 等比中项,则() A.ab≤AG B.ab≥AG C.ab≤|AG| D.ab>AG 7. (5 分)某人从 2011 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期) ,若年利率为 r 保持不变,每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期,到 2015 年 1 月 1 日将所有存 款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单位为元) () A.a(1+r)
5

B.

C.a(1+r)

6

D.

8. (5 分)下列函数中最小值为 4 的是()
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A.y=x+
x
﹣x

B. y=

C. y=e +4e

D.y=sinx+

, (0<x<π)

9. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0) 2 x ∪ (0, +∞) 上的如下函数: ①f (x) =x ; ②f (x) =2 ; ③f (x) = ; ④f (x) =ln|x|. 则 其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为() A.①② B.③④ C.①③ D.②④

10. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的

最大值为 12,则 + 的最小值为() A. B. C. 6 D.5

11. (5 分)设集合 A={(x,y)|x,y,1﹣x﹣y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区 域(不含边界的阴影部分)是()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围() A. B. C.(0,2) D.

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二、填空题(共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多 一个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a4,2=8.则 a63,54 为.

14. (5 分)△ ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,所对的三边 a、b、c 成等比数列,则 A ﹣C=. 15. (5 分)不等式(m﹣1)x +2(m﹣1)x+m>0 对任意实数 x 都成立,则 m 的取值范围 是. 16. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部和 边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则实 数 m=.
2

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知数列{ }是公差为 2 的等差数列,且 a1=1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an?an+1}的前 n 项和 Tn. 18. (12 分)已知不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集为 A,不等式 x +4x﹣5<0 的解集为 B. (1)求 A∪B. (2)若不等式 x +ax+b<0 的解集是 A∪B,求 ax +x+b<0 的解集. 19. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,命题 P:函数 y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数; 2 命题 Q:曲线 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴相交于不同的两点.若 P 为真,Q 为假,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻 关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最 少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近 似的表示为: ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值
2 2 2 2

为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

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(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损? 21. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, △ ABC 的面积为 6,D 为△ ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围. 22. (12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 , 数列{bn}满足 b1=﹣1, bn+1=bn+ (2n﹣1) (n=1, 2,3,…) . (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{bn}的通项 bn; (3)若 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n

,a=3,

河南省郑州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、单项选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2
x

≤0”的否定是() B. 存在 x0∈R,2 ≥0
x

>0

C. 对任意的 x∈R,2 ≤0 考点: 专题: 分析: 解答:

D.对任意的 x∈R,2 >0

特称命题;命题的否定. 简易逻辑. 根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定命题即可. 解:根据特称命题的否定是全称命题,得; ≤0”的否定是
x

命题“存在 x0∈R,2

“对任意的 x∈R,都有 2 >0”. 故选:D. 点评: 本题考查了全称命题与特称命题的应用问题, 解题时应根据特称命题的否定是全称 命题,写出答案即可,是基础题. 2. (5 分)设 p:x<﹣1 或 x>1,q:x<﹣2 或 x>1,则?p 是?q 的()
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A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 可先判 p 是 q 的什么条件,也可先写出?p 和?q,直接判断?p 是?q 的什么条件. 解答: 解:由题意 q?p,反之不成立,故 p 是 q 的必要不充分条件,所以?p 是?q 的充分 不必要条件. 故选 A 点评: 本题考查充要条件的判断问题,属基本题. 3. (5 分)有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; 2 2 ③“若 b≤﹣1,则方程 x ﹣2bx+b +b=0 有实根”的逆否命题; ④“若 A∪B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题是() A.①② B.②③ C.①③

D.③④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 常规题型. 分析: 逐个加以判别:根据两个实数互为倒数的定义,不难得到①是真命题;对于②, 可以举两个周长相等的三角形,但它们不相似,说明②是假命题;运用一元二次方程根的 判别式,结合不等式的基本性质,可得③是真命题;根据集合包含关系和并集的含义,可 举出反例说明④是假命题,最终得出正确的选项. 解答: 解:对于①,“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是: 若 x,y 互为倒数,则 xy=1. 符合倒数的定义,故①是真命题; 对于②,“相似三角形的周长相等”的否命题是: 不相似的两个三角形的周长不相等, 可举反例: △ ABC 中,AB=BC=CD=4,三角形是等边三角形且周长为 12, △ DEF 中,DE=3,EF=4,FD=5,三角形是直角三角形且周长为 12, 两个三角形不相似但周长相等,故②是假命题; 2 2 对于③,“若 b≤﹣1,则方程 x ﹣2bx+b +b=0 有实根”逆否命题是: 2 2 若 x ﹣2bx+b +b=0 没有实数根,则 b>﹣1. 2 2 若 x ﹣2bx+b +b=0 没有实数根,可得△ =﹣4b<0?b>0?b>﹣1, 2 2 可知当 x ﹣2bx+b +b=0 没有实数根时,b>﹣1 成立,故③正确 对于④,“若 A∪B=B,则 A?B”的逆否命题是: 若“A?B,则 A∪B≠B” 举反例:A={1,2},B={1, 2,3} 此时 A?B,但 A∪B={1,2,3}=B,故④是假命题. 综上所述,①③是正确的. 故选 C.

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点评: 本题以倒数、相似三角形、一元二次方程的根的判别式和集合包含关系为例,主要 考查了四种命题及其真假判断等知识点,属于基础题. 4. (5 分)在△ ABC 中,a=1,b= A. B. 或

,∠A=

,则∠B 等于() C. 或 D.

考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 首先根据正弦定理解得 sinB= 解答: 解:已 a=1,b= 利用正弦定理知: 解得:sinB= 由于 a<b 所以:B= 故选:B 点评: 本题考查的知识要点:正弦定理的应用,特殊角的三角函数值. 5. (5 分)在△ ABC 中,如果 sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC 等于() A. B. C. D. ,∠A= , ,进一步根据 a<b,解得 B 的值.

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得;sinA:sinB:sinC=a:b:c,可设 a=2k,b=3k,c=4k(k>0) , 由余弦定理 可求得答案.

解答: 解:由正弦定理可得;sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:3:4 可设 a=2k,b=3k,c=4k(k>0) 由余弦定理可得, 故选:D 点评: 本题主要考查了正弦定理 于基础试题. 及余弦定理在解三角形中的应用,属 =

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6. (5 分)已知 a,b 是正实数,A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 等比中项,则() A.ab≤AG B.ab≥AG C.ab≤|AG| D.ab>AG 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差中项和等比中项的概念把 A 和 G 用含有 a,b 的代数式表示,然后利用基本 不等式可得结论. 解答: 解:∵a>0,b>0,且 A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 的等比中项, ∴A= ,G=± . ? ≥ab.

由基本不等式可得:|AG|=

故选:C. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的性质, 考查了等差中项和等比中项的概念, 训练 了利用基本不等式进行实数的大小比较,是基础题. 7. (5 分)某人从 2011 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期) ,若年利率为 r 保持不变,每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期,到 2015 年 1 月 1 日将所有存 款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单位为元) () A.a(1+r)
5

B.

C.a(1+r)

6

D.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题属于复利计息问题,逐年推导即可. 解答: 解;2011 年 1 月 1 日有 a 元,2012 年 1 月 1 日本息和为 a+a(1+r)元; 2 2013 年 1 月 1 日本息和为 a+(a+a(1+r) ) (1+r)=a(1+r) +a(1+r)+a 2 3 2 2014 年 1 月 1 日本息和为(a(1+r) +a(1+r)+a) (1+r)+a=a(1+r) +a(1+r) +a(1+r) +a 2015 年 1 月 1 日本息和为 a(1+r) +a(1+r) +a(1+r) +a(1+r) =a =
4 3 2

故选 B 点评: 本题考查数列的应用,解题时要正确理解题意,仔细计算,避免盲目出错. 8. (5 分)下列函数中最小值为 4 的是() A.y=x+
x
﹣x

B. y=

C. y=e +4e

D.y=sinx+

, (0<x<π)

考点: 基本不等式.
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专题: 不等式的解法及应用. 分析: A. 当 x<0 时, 利用基本不等式的性质, y=﹣ ≤﹣4, 可知无最小值;

B.变形为

,利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4;

C.利用基本不等式的性质即可判断出满足条件; D.利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4. 解答: 解:A.当 x<0 时, x=﹣2 时取等号.因此此时 A 无最小值; B.
2

=﹣4,当且仅当

=

=4,当且仅当

x +2=1 时取等号,但是此时 x 的值不存在,故不能取等号,即 y>4,因此 B 的最小值不是 4; C. =4,当且仅当 ,解得 e =2,即 x=ln4 时取等号,即 y 的
x

最小值为 4,因此 C 满足条件; D. 当 0<x<π 时, sinx>0, ∴ =4, 当且仅当 ,

即 sinx=2 时取等号,但是 sinx 不可能取等号,故 y>4,因此不满足条件. 综上可知:只有 C 满足条件. 故选 C. 点评: 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键,特别注意“=”是否取到. 9. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0) 2 x ∪ (0, +∞) 上的如下函数: ①f (x) =x ; ②f (x) =2 ; ③f (x) = ; ④f (x) =ln|x|. 则 其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为() A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考点: 等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据新定义,结合等比数列性质 解答: 解:由等比数列性质知 ① ② ③ = ≠ , =f (an+1) ,故正确; =f (an+1) ,故不正确; =f (an+1) ,故正确;
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2 2 2

,一一加以判断,即可得到结论.

④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠

=f (an+1) ,故不正确;

2

故选 C 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键.

10. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的

最大值为 12,则 + 的最小值为() A. B. C. 6 D.5

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 画出不等式组表示的平面区域, 求出直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点 (4, 6)时,观察当目标函数过(4,6)时,取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,要求 + 的最小值,先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值. 解答: 解:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 = +( )≥ = =( ) .

,当且仅当 a=b= ,取最小值

故选 B.

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.
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11. (5 分)设集合 A={(x,y)|x,y,1﹣x﹣y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区 域(不含边界的阴影部分)是()

A.

B.

C.

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 先依据 x,y,1﹣x﹣y 是三角形的三边长,利用三角的两边之和大于第三边得到关 于 x,y 的约束条件,再结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出图形即可. 解答: 解:∵x,y,1﹣x﹣y 是三角形的三边长∴x>0,y>0,1﹣x﹣y>0, 并且 x+y>1﹣x﹣y,x+(1﹣x﹣y)>y,y+(1﹣x﹣y)>x





故选 A. 点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 12. (5 分)在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围() A. B. C.(0,2) D.

考点: 正弦定理;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理得 cosB 的取值范围即可. ,再根据△ ABC 是锐角三角形,求出 B,

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解答: 解:由正弦定理得 角均为锐角, 即有 解得 ∴ < <

,∵△ABC 是锐角三角形,∴三个内

,0<π﹣C﹣B=π﹣3B< ,又余弦函数在此范围内是减函数.故 <cosB< .

故选 A 点评: 本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是 B 角的范 围确定不准确. 二、填空题(共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多 一个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a4,2=8.则 a63,54 为 2007.

考点: 数列的应用. 专题: 规律型. 分析: 由题意可知,a63,54=(1+2+3+…+62)+54= =2007.

解答: 解:由题意可知,第一行有一个数,第二行有两个数,第三地有三个数,…,第 62 行有 62 个数,第 63 行有 63 个数, ∴a63,54=(1+2+3+…+62)+54= =2007.

答案:2007. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 14. (5 分)△ ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,所对的三边 a、b、c 成等比数列,则 A ﹣C=0. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 2 分析: 利用等差数列及等比数列的性质得到 2B=A+C,b =ac,求出 B 的度数,利用余弦 2 定理列出关系式,把 cosB 及 b =ac 代入得到 a=c,利用等边对等角得到 A=C,即可确定出 A﹣C 的值. 2 解答: 解:由题意得:2B=A+C,b =ac,
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∵A+B+C=180°,∴B=60°, 由余弦定理得:cosB=
2

=

= ,

整理得: (a﹣c) =0,即 a=c, ∴A=C,即 A﹣C=0, 故答案为:0 点评: 此题考查了余弦定理,以及等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的 关键. 15. (5 分)不等式(m﹣1)x +2(m﹣1)x+m>0 对任意实数 x 都成立,则 m 的取值范围 是{m|m≥1}. 考点: 专题: 分析: 解答: 二次函数的性质. 不等式的解法及应用. 分类讨论,利用判别式,即可得到结论. 解:m﹣1=0,即 m=1 时,1>0,恒成立; ?m>1,
2

m﹣1≠0 时,

综上 m 的取值范围是{m|m≥1}, 故答案是{m|m≥1}. 点评: 本题考查不等式恒成立问题,考查学生的计算能力. 16. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部和 边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则实 数 m=1. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得:y=﹣ x+ z,若 m>0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距同号, 当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 AC 的斜率相等时, 目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个;若 m<0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距异号,当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC 的斜率相等时,目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个.但由于 AC 与 BC 的斜率为负,则不满足第二种 情况,由此不难得到 m 的值. 解答: 解:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为﹣1,所以 m=1.
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故答案为:1.

点评: 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变 形,化成斜截式②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反③根据分析结果,结合图 形做出结论④根据斜率相等求出参数. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知数列{ }是公差为 2 的等差数列,且 a1=1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an?an+1}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (1)∵数列{ ∴ =1+2(n﹣1) ,解得 an= }是公差为 2 的等差数列,且 a1=1. . = . …+

(2)∵an?an+1= ∴数列{an?an+1}的前 n 项和 Tn= = = .

点评: 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”,考查了计算能力,属于基础题. 18. (12 分)已知不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集为 A,不等式 x +4x﹣5<0 的解集为 B. (1)求 A∪B. 2 2 (2)若不等式 x +ax+b<0 的解集是 A∪B,求 ax +x+b<0 的解集.
2 2

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考点: 一元二次不等式的解法;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)求出不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集确定出集合 A,求出不等式 x +4x﹣5<0 的 解集确定出集合 B,然后求出两集合的并集即可; 2 (2)由(1)中求出的 A∪B,确定出不等式 x +ax+b<0 的解集,进而得到解集中两端点 的 x 的值为原不等式左边等于 0 方程的两根, 把两端点的值代入方程得到关于 a 与 b 的二元 一次方程组,求出方程组的解即可求出 a 与 b 的值,把 a 与 b 的值代入到原不等式中,即可 求出解集. 2 解答: 解: (1)解不等式 x ﹣2x﹣3<0, 得 A={x|﹣1<x<3}. (2 分) 2 解不等式 x +4x﹣5<0, 得 B={x|﹣5<x<1}(4 分) ∴A∪B={x|﹣5<x<3}; (6 分) 2 (2)由 x +ax+b<0 的解集为{x|﹣5<x<3}, ,解得 ∴2x +x﹣15<0, ∴不等式解集为 (12 分)
2 2 2

(10 分)

点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,考查了并集的运算,是一道中档题.掌握解集 中两端点的 x 的值为原不等式左边等于 0 方程的两根是解本题的关键. 19. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,命题 P:函数 y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数; 2 命题 Q:曲线 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴相交于不同的两点.若 P 为真,Q 为假,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 命题 P 为真等价于 0<a<1,命题 Q 为真等价于 0<a< ,a> ,由题意可得

,解之即可. 解答: 解:∵a>0 且 a≠1,∴命题 P 为真等价于 0<a<1, 命题 Q 为真等价于 ∵P 为真,Q 为假, ∴ 故实数 a 的取值范围是 二氧化碳的每吨平均处理成本为: (4 分) ,解得 ≤a<1, ,解得 0<a< ,a> ,

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, 当且仅当 ,即 x=400 时,

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (8 分) (2)设该单位每月获利为 S, 则 S=100x﹣y (10 分) = =

因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值﹣40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损. (16 分) 点评: 此题是一道实际应用题, 考查了函数的最值和不等式的基本性质, 及运用配方法求 函数的最值. 21. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, △ ABC 的面积为 6,D 为△ ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围. 考点: 余弦定理;简单线性规划. 专题: 综合题;数形结合. 分析: (1)把已知的条件 变形后,利用余弦定理得到 cosA 的值,

,a=3,

然后根据 A 的范围,利用同角三角函数间的基本关系即可求出 sinA 的值; (2)根据三角形的面积公式及 ,a=3,联立即可求出 b 与 c 的值;

(3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z,利用间接法求出三角形面积并让其等于 6 得到关 于 x、y 和 z 的等式,而 d 等于 x+y+z,两者联立消去 z 后表示出 y 的关系式,利用距离大 于等于 0 得到一个不等式组, 画出此不等式组所表示的平面区域, 在平面区域内得到 d 的最 小值和最大值即可得到 d 的取值范围. 解答: 解: (1)由

变形得

,利用余弦定理得

因为 A∈(0,π) ,所以 sinA= (2)∵

=

= ;

,∴bc=20

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及 bc=20 与 a=3

解得 b=4,c=5 或 b=5,c=4; (3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z, 则

又 x、y 满足 由 d= + (2x+y)得到 y=﹣2x+5d﹣12,画出不等式表示的平面区域得:y=﹣2x+5d﹣12

是斜率为﹣2 的一组平行线, 当该直线过不等式表示的平面区域中的 O 点即原点时与 y 轴的截距最小,把(0,0)代入 到方程中求得 d= ;

当该直线过 A 点时,与 y 轴的截距最大,把 A(4,0)代入即可求得 d=4, 所以满足题意 d 的范围为:

点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理、 三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系 化简求值,会进行简单的线性规划,是一道中档题. 22. (12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 , 数列{bn}满足 b1=﹣1, bn+1=bn+ (2n﹣1) (n=1, 2,3,…) . (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{bn}的通项 bn; (3)若 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n

考点: 数列递推式;数列的概念及简单表示法;数列的求和. 专题: 计算题.

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分析: (1)当 n≥2 时,根据 Sn=2 ,得到 Sn﹣1=2 ,两者相减即可得到 an 的通项公式, 当 n=1 时,求出 S1=a1=2,分两种情况:n=1 和 n≥2 写出数列{an}的通项 an; (2)分别令 n=1,2,3,…,n,列举出数列的各项,得到 b2﹣b1=1,b3﹣b2=3,b4﹣b3=5,…, bn﹣bn﹣1=2n﹣3,以上各式相加后,利用等差数列的前 n 项和公式化简后,将 b1=﹣1 代入 即可求出数列{bn}的通项 bn; (3)分两种情况:n=1 和 n≥2,把(1)和(2)中分别求出的两通项公式代入 ,

n

n﹣1

得到数列{cn}的通项公式, 列举出数列{cn}的前 n 项和 Tn, 两边同乘以 2 后, 两等式相减后, 利用等比数列的前 n 项和公式化简后,即可得到数列{cn}的前 n 项和 Tn 的通项公式. n n﹣1 解答: 解: (1)∵Sn=2 ,∴Sn﹣1=2 , (n≥2) . n n﹣1 n﹣1 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 (n≥2) . 1﹣1 当 n=1 时,2 =1≠S1=a1=2, ∴

(2)∵bn+1=bn+(2n﹣1) , ∴b2﹣b1=1,b3﹣b2=3,b4﹣b3=5,…,bn﹣bn﹣1=2n﹣3, 以上各式相加得 . ∵b1=﹣1,∴bn=n ﹣2n
2

(3)由题意得 ∴Tn=﹣2+0×2 +1×2 +2×2 +…+(n﹣2)×2 , 2 3 4 n ∴2Tn=﹣4+0×2 +1×2 +2×2 +…+(n﹣2)×2 , ∴﹣Tn=2+2 +2 +…+2
n 2 3 n﹣1 1 2 3 n﹣1

﹣(n﹣2)×2 =
n

n

=2 ﹣2﹣(n﹣2)×2 =﹣2﹣(n﹣3)×2 , n ∴Tn=2+(n﹣3)×2 . 点评: 此题考查学生灵活运用数列的递推式确定数列为等比数列, 在求通项公式时应注意 检验首项是否满足通项, 会利用错位相减的方法求数列的和, 灵活运用等差数列及等比数列 的前 n 项和公式化简求值,是一道中档题.

n

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