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浙江省杭州二中2013-2014学年高二下学期期中理科数学试卷 Word版含答案


杭州二中 2013 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 (理科)
注意:本试卷不得使用计算器 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 a、b、m 为正实数,则不等式 A.a< b B. a> b

a?m a ? 成立的条件是( b?m b
C. a ? b )

) D. a ? b

2.已知 x, y ? R ,则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.函数 f ( x) ? x 2 ? 2ln x 的单调减区间是( ) A. (0, 1] B. [1, ? ?) C. (??, ? 1] 及 (0, 1] D.[ ?1, 0) 及 (0, 1]

4. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M= AN=
2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 3



) D.不能确定

A.相交

B.平行

C.垂直

5.已知点 P 是抛物线 x 2 ? 2 y 上的一动点,焦点为 F ,若定点 M (1, 2) ,则当 P 点在 抛物线上移动时, PM ? PF 的最小值等于 A. ( C. )

5 2

B. 2

3 2

D. 3

6. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为 “可换命 题”.下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线平行; ②垂直于同一平面的两个平面平行; ③平行 于同一直线的两条直线平行;④平行于同一平面的两条直线平行.其中是 “可换命题”的是 ( A.①② ) B.①④ C.①③ ) C.21 个 D.22 个 D.③④

7.各位数字之和等于 6 的三位数共有( A.17 个 B.18 个

8. 如图,点 A,B,C 的坐标分别为(0,2),(-2,0),(2,0),点 M 是边 AB 上异

于 A,B 的一点,光线从点 M 出发,经 BC,CA 反射后又回到起点 M.若光线 NT 交 y 轴于 点(0,

2 ),则点 M 的坐标为( 3



1 5 A. ( ? , ) 3 3
C. ( ?1,1)

2 4 B. (? , ) 3 3 4 2 D. (? , ) 3 3

9.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数,数到 2014 时对应 的指头是( A.大拇指 C.中指 ) B.食指 D.无名指

10. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近 a 2 b2
,设 O 为坐标原点,若 ) D.

线于 A,B 两点,与双曲线的其中一个交点为

OP ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,且 mn ?
A.
3 2 2

2 ,则该双曲线的离心率为( 9
C.
3 2 4

B.

3 5 5

9 8

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知直线 l 与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的倾斜角 ? ? .

12. 已知某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积 是 .

13. 二项式 ( 2x ? y)5 的展开式中,含 x2 y3 的项的系数是_________.(用数字 作答)

14. 函数 y= x ? sin 2 x(0 ? x ? ? ) 的递减区间为___________.

15. 已知圆 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P, Q 两点,若 OP ? OQ ( O 为坐 标原点) ,则 m 的值为___________.

16. 已知命题:在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABC 的顶点 A(? p,0) 和 C ( p, 0) ,顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C 1 x2 y 2 .试 ? (其中 e 为椭圆的离心率) ? ? 1(m ? n ? 0, p ? m2 ? n2 ) 上,则 sin B e m2 n2
将该命题类比到双曲线中,给出一个真命题:在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABC 的顶点
A(? p , 0) 和 C ( p, 0) , 顶 点 B 在 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, p ? m2 ? n2 ) 上 , m2 n2





17. 如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将 ?ADE 沿直线 DE 翻转成 ?A1 DE .若 M 为 线段 A1C 的中点,则在 ?ADE 翻转过程中,正确的命题是 .

① BM|是定值; ② 点 M 在圆上运动; ③一定存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE.

杭州二中 2013 学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分 8 分) 数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N ? ) , (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

19. (本题满分12分)
AB / / CD , AD ? CD ?

如图,在梯形 ABCD 中, AD ? CD

1 AB ? a ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 2

M 在线段EF上.
(1)求证: AM ? BC ;

1 (2)若 EM ? EF ,求二面角 B ? AM ? D 的余弦值. 3
E

F M

D

C

A

B

1 1 20. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 1) x , 3 2
(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(0,0)处的切线方程; (2)当 a 为何值时,函数 y ? f ( x) 有极值?并求出极大值.

21. (本题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0) ,
y

1 且椭圆 C 的离心率 e ? .(1)求椭圆 C 的方程; 2
( 2 )设椭圆 C 的上下顶点分别为 A1 , A2 , Q 是椭圆 C 上异于
A1 , A2 的任一点 ,直线 QA1 , QA2 分别交 x 轴于点 S , T ,

O

x

证明: OS ? OT 为定值,并求出该定值; (3)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) ,使得直线 l : mx ? ny ? 2 与圆 O : x 2 ? y 2 ?

16 相交于不同的两点 A, B ,且 ?OAB 的面积最大?若存 7

在,求出

点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

高二数学理科参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 A A A B A C C B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.

3? (或 135 ) ; 4
16.

12.7;

13.20;

14. [ ? , ? ]

1 3

2 3

15.3;

17. ①②④

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 8 分) 【解析】 (1)解 当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2= .
3 2

当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3= . 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4= 由此猜想 an=
2n ? 1 2 n ?1
15 . 8

7 4

(n∈N*).

(2)证明 ①当 n=1 时,a1=1,结论成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak= 那么 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak,
2 ? ak = 2
2? 2k - 1
k?1 -1 2 k- 1 = 2 , k 2 2

2k ?1 2 k ?1

,

∴ak+1=

这表明 n=k+1 时,结论成立, 由①②知猜想 an=
2 n ?1 2
n ?1

(n∈N*)成立.

19. (本题满分 10 分) (1) 证明: 在梯形 ABCD 中,AD ? CD AB / / CD , AD ? CD ?

1 AB ? a , 2

得 AC ? BC ? 2a , BC ? AC ,又四边形 ACFE 是矩形,则 EA ? AC ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,平面 ACFE ? 平面 ABCD =AC,则 AE ? 平面 ABCD ,平面 BC ? 平面 ABCD , 则 AE ? BC ,则 BC ? 平面 ACFE ,则 AM ? BC ; (2)解:以点 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过点 D 平行与 EA 的直线为 Z 轴,则 D(0,0,0) ,A(a,0,0) ,B(a,2a,0) ,M ( a, a, a ) ,得平面 DAM 得法相量为

2 3

1 3

? x1 ? 0 ? x2 ? 3 1 ? ? ? y1 ? ?3 ,同理可得平面 ABM 的法向量为 ? y2 ? 0 ,则所求的余弦值为 ? ; 10 ?z ? 1 ?z ? 1 ? 1 ? 2
20. (本题满分 12 分) 解: f ?( x) ? x2 ? ax ? a ? 1 ? ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] (1)当 a ? 1 时, f ?(0) ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点(0,0)处的切线方程 y ? x ; (2)显然,当 a ? 1 ? 1 时,即 a ? 2 时函数有极值。 ①当 a ? 2 时,即 a ? 1 ? 1 时,有

x
f ?( x) f ( x)

(??, a ? 1)
+ 递增

a-1 0

(a ? 1,1)
- 递减

1 0

(1, ??)
+ 递增

此时,函数函数 y ? f ( x) 极大值为 f (a ? 1) ? ②当 a ? 2 时,即 a ? 1 ? 1 时,有 x
f ?( x) f ( x)

4?a (a ? 1)2 . 6

(??,1)
+ 递增

1 0

(1, a ? 1)
- 递减

a-1 0

(a ? 1, ??)
+ 递增

此时,函数 y ? f ( x) 极大值为 f (1) ?

a 2 ? . 2 3
?4 ? a (a ? 1)2 ,(a ? 2) ? ? 6 ?? . ? a ? 2 ,(a ? 2) ? ?2 3

综上,函数 y ? f ( x) 极大值为 f ( x)极大值

21. (本题满分 12 分)

解: (1)由题意:

,解得:

3分

所以椭圆

4分

(2) 由(1)可知 直线 : ,令

,设 ,得

, ; 5分

直线

:

,令

,得

;

6分



,

7分



,所以

,

所以

8分

(3)假设存在点

满足题意,则

,即

设圆心到直线 的距离为

,则

,且

9分

所以

10 分

所以

11 分

因为

,所以

,所以

所以

12 分

当且仅当

,即

时,

取得最大值



,解得

13 分

所以存在点

满足题意,点

的坐标为

此时

的面积为

.


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