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讲课用26.2用函数观点看一元二次方程课件


复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
> 0 = 0 < 0

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 ?(1)有两个交点 ?(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根

一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

有两个相等 的实数根
没有实数根

以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向 击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需 要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需 要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

解:(1)当 h = 15 时,20 t – 5 t 2 = 15

t 2 - 4 t +3 = 0

t 1 = 1,t 2 = 3

∴当球飞行 1s 和 3s 时,它的高度为 15m .

你能结合图形指出

为什么在两个时间
球的高度为15m?
15 m
1s 3s

20 m
2s (2)当 h = 20 时, 20 t – 5 t 2 = 20 你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为20m?

t 2 - 4 t +4 = 0 t1=t2=2
∴当球飞行 2s 时,它的高度为 20m .

(3)当 h = 20.5 时, 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 - 4 t +4.1 = 0 因为(-4)2-4×4.1 < 0 ,所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.

你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
20.5 m

0m 0s (4)当 h = 0 时, 20 t – 5 t 2 = 0 4s

t 2- 4 t = 0 你能结合图形指出 从上面我们看出, 对于二次函数

t 1 = 0,t 2t = 4 t2中,已知h的值,求时间 h= 20 – 5 为什么在两个时间 t?其实就是把函数值h换成常数,求 当球飞行 0s 和 4s 时,它的高度为 0m ,即 球的高度为0m吗? 一元二次方程的解。 0s时,球从地面飞出,4s 时球落回地面。

1、已知二次函数 y=20x-5x2 。 (1)当y=15时,x值是多少? 20x-5x2=15 (2)当y=20时,x值是多少? 20x-5x2 =20 (3)当y=22时,x值是多少? 20x-5x2 =22 (4)当y=0时,x值是多少? 20x-5x2 =0

y

y=22 y=20 y=15

o

1 2

3 4

x

y=0

Y
20

下面是函数 h ? 20t ? 5t 2 的图象

15
10

5

O

2

4

X

图(1)

由图(1)可以看出,当球飞行1 s和3 s时,它的高度为 15 m;飞行2 s时,它的高度为20 m;球的飞行高度达不

到20.5 m;当球飞行0 s和4 s时落回地面。

二次函数

y ? a x + bx + c, 当给定 y值时 , 则二次函数
2

可转化为一元二次方程.

如 : 二次函数y ? ? x + 4 x的值为3, 求自变量x的值,
2

可以解一元二次方程 ? x + 4 x ? 3(即 x ? 4 x + 3 ? 0).
2 2

反过来, 解方程 x ? 4 x + 3 ? 0又可以看作已知二次
2

函数y ?

x

2

? 4 x + 3的值为0, 求自变量x的值.

探索:求直线y=kx+b与二次函数 2 y=ax+bx+c的交点坐标。
? 方法是:解方程组
y=kx+b y=ax2+bx+c 方程组有两组不同解 有两个交点 >0

方程组有两组相同解

有一个交点 =0

方程组无解

无交 点

<0

探究:用函数图象解不等式
? 把下列点的坐标标入直角坐标系中。
(- 1,4) (3,1) (0,2) (-1, - 2) (2,-1) (0,-2) (1,0) (-2,0)

点的纵坐标决定点的高低。纵坐标越大点越高。

纵坐标大于0点在x轴上方,小于0在x下方,等于0在x轴上.

随堂测验
2 2

抄题,画图

如图是二次函数y=x ? 4 x ? 5的图像,回答问题 (1)方程x ? 4 x ? 5 ? 0的解是_______ (2)x_________,y?0? (3)____x_____,y?0?
(4)抛物线的对称轴是_____, 当x_____时,y随x的增大而增大
-1
5

当x_____时,y随x的增大而减小

5、下图为二次函数y=ax2+bx+c( a≠0)的图象, 根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根。x1=1, x2=3 (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集。 1<x<3 (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的 x≥2 取值范围。 (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数 根,求k的取值范围。

k<2

y=k

开动脑筋
如图是二次函数y=x + 3x ? 4的图像,回答问题
2 2

x 1= - 4,x (1)方程x + 3x ? 4 ? 0的解是_______2=1
-4 1

>1或x<- 4 (2)x_________,y?0?

- 4< <1 (3)____x_____,y?0? 当x_____时,y随x的增大而增大 >-1.5

x=-1.5 (4)抛物线的对称轴是_____,

当x_____时,y随x的增大而减小 <-1.5

x=-1.5

练习1、下图为二次函数y = -x2+2x+m的部分图 象,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m =0的解为 ____________。

x1=-1, x2=3

练习1、抛物线y =ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程 ax2+bx+c-3=0的根的情况是( C )

A、有两个不相等的实数根 B、有两个异号的实数根. C、有两个相等的实数根. D、没有实数根.

3.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是
(-2,0)、( ,0) 与x轴的交点坐标是_______.

5 x1= -2 ,x2= , 那么二次函数y= 3 x2+x-10 3 5

3

3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=___
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的 方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( A )

A 有两个不相等的实数根
B 有两个异号的实数根
-1

y

3
o

C有两个相等的实数根
D 没有实数根

1.3

.

x

X=-1

y

4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2 与x轴的公共点有两个, (1)求k的取值范围; (2)当k=1时,求抛物线与 x x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标; (3)观察图象,当x取何值时,y=0,y>0,y<0? (4)在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使 S⊿ABP是S⊿ABC的一半,若存在,求出P点的坐 标,若不存在,请说明理由.

?

5.王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球, 1 2 8 y ? ? x ,其中y + x 其飞行路线满足抛物线 5 5 (m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水 平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m. (1)请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行 的最大水平距离.
(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞 行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路 线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.

课后探究

驶向胜利的 彼岸

校运会上,某运动员掷铅球,铅球的 高y(m)与水平距离x(m)之间的函数 关系式为y=-0.2x2+2x+1.7,则此 运动员的成绩是多少?


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