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变化率与导数及计算


基 础 知 识 梳 理 聚 焦 考 向 透 析

第11课时

变化率与导数、导数的计算

感 悟 经 典 考 题 课 时 规 范 训 练

1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y=x3, 1 y=x,y= x的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数.

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【知识梳理】 1.平均变化率及瞬时变化率 Δy f?x2?-f?x1? (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是 = . Δx x2-x1 (2)f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是

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2.导数的概念 (1)f(x)在 x=x0 处的导数 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0? = Δx 处的导数,记作 f′(x0)= (2)导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数 值记作 f′(x):f′(x)= f?x+Δx?-f?x? ,则 f′(x)是关于 x 的 Δx Δy ,称其为函数 y=f(x)在 x=x0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? . Δx
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函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数,通常也简称为导数.

(3)导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 切线的斜率. (3)导函数也简称导数.所以
? ?f?x?在一点x0处的导数 ? ? ? ?个别与 “导数” ? ? ?导函数 ?
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一般 (4)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x =x0 处的函数值.

3.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α 是实数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a
x

导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα
-1

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f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=a ln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xlna 1 f′(x)= x
x

f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx

4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? (3) ′= (g(x)≠0). 2 g ? x ? [ g ? x ? ] ? ?

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【基础自测】 1 3 1.f′(x)是函数 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为 3 ( ) A.1 B.3 C.1 或 3 D.4 解析:∵ f′(x)=x2+2,∴f′(-1)=3. 答案:B

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1 2.曲线 y=x -x在点(1,0)处的切线方程为(
2

)

A.3x-y+3=0 C.3x-y-3=0

B.x+3y-3=0 D.x+3y-1=0

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1 解析:∵k= f′(1)=2x+ 2=3,∴切线方程为 y=3(x-1),即 x 3x- y-3=0. 答案:C

3.已知函数 y= f(x)= 2x2 图像上一点 (1,2)及附近一点 (1+ Δx,2 Δy +Δy),则 等于( Δx )

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A.3+2Δx B.4+Δx C.4+2Δx D.3+Δx 解析:∵ Δy=2(1+Δx)2-2=2Δx2+4Δx,
2 Δx 2Δx +4Δx ∴ = =2Δx+4,故选 C. Δy Δx

答案:C

4.(教材改编题)函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为________. 解析:f′(x)= (x-a)2+ (x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案:3(x2-a2) 5.(2011· 高考江西卷改编)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为________. 4 2?x-2??x+1? 解析:令 f′(x)= 2x-2-x= >0,解得 x>2. x 答案:(2,+∞)

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◆一条原则 函数求导的原则: 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导 时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不 必要的运算失误.

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◆两个关系 (1)“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的关系 ①函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; ②函数 y= f(x)的导函数, 是针对某一区间内任意点 x 而言的. 如 果函数 y= f(x)在区间 (a,b)内每一点 x 都可导,是指对于区间(a,b) 内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0).这样就在 开区间(a, b)内构成了一个新函数, 就是函数 f(x)的导函数 f′(x). 在 不产生混淆的情况下,导函数也简称导数.

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(2)曲线 y= f(x)在“点 P(x0,y0)处的切线与”过点 P(x0,y0)的切 线的关系 曲线 y= f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,若切线斜率 存在时,切线斜率为 k= f′(x0),是唯一的一条切线;曲线 y= f(x) 过点 P(x0, y0)的切线,是指切线经过 P 点,点 P 可以是切点,也可 以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

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考向一

导数的定义

用导数定义,求函数 y= x在 x=1 处的导数. 【审题视点】 利用导数定义求解.

【解】

∵ f(x)= x,
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∴ Δy=f(1+ Δx)- f(1)= 1+ Δx-1, 1+ Δx-1 ? 1+ Δx?2-12 Δy ∴ = = Δx Δx Δx? 1+ Δx+1? Δx = Δx? 1+ Δx+1? 1 = . 1+ Δx+1 Δy 1 1 当 Δx→0 时, → ,∴ f′(1)= . Δx 2 2

【方法总结】 根据导数的定义,求函数 y= f(x)在 x=x0 处导 数的方法是: (1)求函数值的增量 Δy= f(x0+ Δx)- f(x0); Δy f?x0+ Δx?- f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)计算导数 f′(x0)=liΔm x→0 Δx.

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1 1.用导数定义求函数 f(x)= 的导数. x +2 Δy f?x+ Δx?- f?x? 解: = Δx Δx 1 1 - x+2+ Δx x+2 = Δx ?x+2?-?x+2+ Δx? = Δx?x+2??x+2+ Δx? -1 = , ?x+2??x+2+ Δx?

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∴ f′(x)= liΔm x→0

Δy Δx

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-1 =liΔm x→0 ?x+2??x+2+ Δx? 1 =- . ?x+2?2

考向二

导数的计算

求下列函数的导数.(1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=x2sin x; ln x (3)y= 2 ; x +1 (4)y=ln(2x+5). 【审题视点】 观察所给的函数形式,化简变形后,利用导数

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公式和求导法则求导.

【解】

(1)法一:∵y= (3x3-4x)(2x+1)

=6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=24x3+9x2-16x-4. 法二:y′= (3x3-4x)′(2x+1)+ (3x3-4x)(2x+1)′ = (9x2-4)(2x+1)+ (3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. (2)y′= (x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x.

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?ln x?′?x2+1?- ln x· ?x2+1?′ (3)y′= ?x2+1?2 1 2 x?x +1?-2xln x = ?x2+1?2 x2+ 1-2x2ln x = . x?x2+ 1?2 (4)设 y=ln u, u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, 1 2 ∴y′= · (2x+ 5)′= . 2x+5 2x+5

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【方法总结】

求导之前,应利用代数、三角恒等式变形对函

数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减 少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前 利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以 避免使用商的求导法则,减少运算量. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的 基础. (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导.

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2.(2013· 亳州月考)求下列各函数的导数: (1)y=e · ln
x

? 2 1 1? x;(2)y=x?x +x+ 3 ?; x? ?

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x x (3)y=x-sin cos ; 2 2 (4)y=(
? x+1)? ? ? 1 -1?. x ?

解:(1)y′= (ex· ln x)′ 1 x? 1? ? ? =e ln x+ e · x= e ?ln x+x?.
x x

1 2 (2)∵ y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x

(3)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y= x-sin cos =x- sin x, 2 2 2
? ? 1 1 ? ? ∴y′= x- sin x ′=x′- (sin 2 2 ? ?
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1 x)′= 1- cos x. 2

1 1 (4)先化简,y= x· - x+ -1 x x 1 1 =-x +x- , 2 2 1 1 1 3 ∴y′=- x- - x- 2 2 2 2 1 ? 1? ?1+ ?. =- 2 x? x?

考向三

导数的几何意义

(2012· 高考辽宁卷)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线 交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 【审题视点】 解方程组可得结果. 先利用导数求出切线斜率,写出切线方程后,

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【解】

x2 y= ,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2, 2

点 P 的坐标为(4,8),点 Q 的坐标为(-2,2), ∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2), 即
? ?y= 4x-8, y=-2x-2,解? ? ?y=-2x-2

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得 A(1,-4),则 A 点的纵坐

标为-4. 【答案】 -4

【方法总结】

首先要分清是求曲线 y= f(x)在某处的切线还是

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求过某点曲线的切线. (1)求曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线方程可先 求 f′(x0),利用点斜式写出所求切线方程; (2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标 后再写切线方程.

3.已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解:(1)f′(x)=3x2-8x+5 f′(2)= 1,又 f(2)=-2 ∴曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y- (- 2)=x-2,即 x-y-4=0.

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2 (2)设切点坐标为 (x0,x3 0-4x0+5x0-4)

f′(x0)= 3x2 0-8x0+5 则切线方程为 y- (- 2)= (3x2 0-8x0+5)(x-2)
2 3 2 2 又切线过 (x0,x3 - 4 x + 5 x - 4) 点,则 x - 4 x + 5 x - 2 = (3 x 0 0 0 0 0 0 0-

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8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)= 0, 解得 x0=2,或 x0=1, 因此经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2= 0.

导数几何意义应用的易错点

基 础 知 识 梳 理

(2013· 烟台模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 y=ax + 15 x-9 都相切,求 a 的值. 4 【解题指南】 因为点 (1,0)不在曲线 y=x3 上,所以应从设切点 15 入手来求切线方程,再利用切线与曲线 y=ax + x- 9 相切求 a 的 4
2

3

2

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值.

【规范解答】 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点 (x0,x3 0),所以
2 2 3 切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0,又 (1,0)在切线上,
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3 则 x0= 0 或 x0= , 4 分 2 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ 分 3 27 27 15 2 当 x0= 时, 由 y= x- 与 y=ax + x- 9 相切可得 a=-1.10 2 4 4 4 分 25 综上,a=- 或 a=-1.12 分 64 15 25 x-9 相切可得 a=- ,8 4 64

阅卷点评

解答导数几何意义问题的关键是抓住切点,看准题
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目所求的是 “在曲线上某点处的切线方程 ”还是 “过某点的切线方 程”. 误区警示 答. (2)当所给点不是切点时,无法与导数几何意义联系. 备考建议 解决与导数的几何意义有关的问题时,以下几点在 (1)审题不仔细,分不清 (1,0)点是不是切点,盲目解

备考时要高度关注: (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键; (2)熟练掌握导数公式和运算法则. (3)熟练掌握直线方程和斜率公式的求解.

1. (2011· 高考重庆卷)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程 为( ) A.y=3x-1 C.y=3x+5 B.y=-3x+5 D.y=2x

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解析:由 y′=-3x2+6x 知,切线斜率为 k=-3+6=3.所以切 线方程为 y-2=3(x-1),即 y=3x-1. 答案:A

2. (2012· 高考课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线 方程为________. 3 解析:y′=3ln x+1+x· x=3ln x+4,k=y′|x=1=4,切线方程 为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 答案:y=4x-3 3.(2012· 高考广东卷)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程 为________. 解析:易知 y′=3x2-1,∴曲线在点(1,3)处切线的斜率 k=2, ∴切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+ 1=0. 答案:2x-y+1=0
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1 4. (2012· 高考安徽卷)设定义在(0, +∞)上的函数 f(x)=ax+ax+ b(a>0). (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 2 的值. 1 解:(1)解法一:由题设和均值不等式可知,f(x)=ax+ax+b≥2 +b,其中等号成立当且仅当 ax=1, 1 即当 x=a时,f(x)取最小值 2+b.
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1 a x -1 解法二: f(x)的导数 f′(x)=a- 2= , ax ax2
?1 ? 1 当 x>a时,f′(x)>0, f(x)在?a,+∞?上递增; ? ? ? 1 1? 当 0<x<a时,f′(x)<0, f(x)在?0, a?上递减. ? ?

2 2

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1 所以当 x=a时,f(x)取最小值 2+b.

1 (2)f′(x)=a- 2, ax 1 3 1 由题设知,f′(1)= a-a= ,解得 a=2 或 a=- (不合题意, 2 2 舍去). 1 3 将 a=2 代入 f(1)=a+a+b= ,解得 b=-1. 2 所以 a=2,b=-1.

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