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用样本估计总体--华师大版_图文

25.2 用样本估计总体

复习上节课的内容
在上节课中,我们知道在 选取样本时应注意的问题,其 一是所选取的样本必须具有代 表性,其二是所选取的样本的 容量应该足够大,这样的样本 才能反映总体的特性,所选取 的样本才比较可靠.

随机抽样调查是了解总 体情况的一种重要的数学方法, 抽样是它的一个关键,上节课 介绍了简单的随机抽样方法, 即用抽签的方法来选取样本, 这使每个个体都有相等的机会 被选入样本.

判断下面这些抽样调查选取样本的方法是否 合适,若不合适,请说明理由. (1)为调查江苏省的环境污染情况,调查了长 江以南的南京市、常州市、苏州市、镇江市、 无锡市的环境污染情况. (2)从100名学生中,随机抽取2名学生,测量 他们的身高来估算这100名学生的平均身高. (3)从一批灯泡中随机抽取50个进行试验, 估算这批灯泡的使用寿命. (4)为了解观众对中央电视台第一套节目的收 视率,对所有上英特网的家庭进行在线调查.

解: (1)不合适.因为调查对象在总体中必须有代 表性,现在所调查的这些地方的环境污染 情况仅仅代表了长江以南地区,并不能代 表整个江苏省的环境污染情况. (2)不合适.因为抽样调查时所抽取的样本要 足够大,现在只抽取了2名学生的身高,不 能用来估算100名学生的平均身高. (3)合适. (4)不合适.虽然调查的家庭很多,但仅仅增 加调查的数量不一定能够提高调查质量, 本题中所调查的仅代表上英特网的家庭, 不能代表不上英特网的家庭,因此这样的 抽样调查不具有普遍代表性.

让我们仍以上一节300名学生的考试成 绩为例,考察一下抽样调查的结果是 否可靠。上一节中,老师选取的一个 样本是:
随机数 (学号) 成绩 111 80 254 86 167 66 94 91 276 67

它的频数分布直方图、平均 成绩和标准差分别如下:

另外,同学们也分别选取了一些样本, 它们同样也包含五个个体,如下表:
132 随机数 (学号) 245 5 98 89 随机数 (学号) 成绩 90 167 86 275 54 72 86 83 82 82

成绩

78

73

76

69

75

同样,也可以作出这两个样本的频 数分布直方图、计算它们的平均成 绩和标准差,如下图所示:

样本平均成绩为 74.2分, 标准差为3.8分

样本平均成绩 为80.8分, 标准差为6.5分

从以上三张图比较来看,它们之间存在明显 的差异,平均数和标准差与总体的平均数与 标准差也相去甚远,显然这样选择的样本不 能反映总体的特性,是不可靠的。

2、选择恰当的样本个体数目
样本平均成绩为 75.7分, 标准差为10.2分

样本平均成绩为 77.1分, 标准差为10.7分

当样本中个体太少时, 样本的平均数、标准差往往 差距较大,如果选取适当的 样本的个体数,各个样本的 平均数、标准差与总体的标 准差相当接近。

北京在这30天的空气污染指数及质量 级别,如下表所示:

2、体会用样本估计总体的合理性

经比较可以 发现,虽然 从样本获得 的数据与总 体的不完全 一致,但这 样的误差还 是可以接受 的,是一个 较好的估计。

随着样本容量(样本中包含的个体 的个数)的增加,由样本得出的平均数 往往会更接近总体的平均数,数学家已 经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题,数学上的 一般做法是给出具有一定可靠程度的一 个估计值的范围 .

3、加权平均数的求法 问题1:在计算20个男同学平均身高时, 小华先将所有数据按由小到大的顺序 排列,如下表所示:

然后,他这样计算这20个学生的平均身高: 小华这样计算平均数可以吗?为什么?

问题2:假设你们年级共有四个班级, 各班的男同学人数和平均身高如表所示.

小强这样计算全年级男同学的平均身高:
161 .2+162 .3+160 .8+160 .7 4

小强这样计算平均数可以吗?为什么?

练习1:
为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽 取了其中20颗做试验,得到这20颗 手榴弹的杀伤半径,并列表如下:

(1)在这个问题中,总体、个体、 样本和样本容量各是什么? (2)求出这20颗手榴弹的杀伤半 径的众数、中位数和平均数, 并估计这批手榴弹的平均杀伤 半径.

解: (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半 径的全体;个体是每一颗手榴弹的杀伤 半径;样本是所抽取的20颗手榴弹的杀 伤半径;样本容量是20. (2)在20个数据中,10出现了6次,次数最 多,所以众数是10(米). 20个数据从小到大排列,第10个和第11 个数据是最中间的两个数,分别为9(米) 和10(米),所以中位数是9.5 (米).样本平均数9.4(米)

练习2:
为估计一次性木质筷子的用量,1999年从某县共600家高、 中、低档饭店抽取10家作样本,这些饭店每天消耗的一次 性筷子盒数分别为: 0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、1.2 、2.1、3.2、1.0 (1)通过对样本的计算,估计该县1999年消耗了多少盒一次 性筷子(每年按350个营业日计算); (2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作 了抽样调查,调查的结果是10个样本饭店,每个饭店平均 每天使用一次性筷子2.42盒.求该县2000年、2001年这两 年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该 县饭店数、全年营业天数均与1999年相同); (3)在(2)的条件下,若生产一套学生桌椅需木材0.07m3,求 该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌 椅. 计算中需用的有关数据为:每盒筷子100双,每双筷子的质 量为5g,所用木材的密度为0.5×103kg/m3; (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木 材量,如何利用统计知识去做,简要地用文字表述出来.

解:

(1) x = 1 (0. 6 + 3. 7 + 2. 2 + 1. 5 + 2. 8 + 1. 7 + 1. 2 + 2. 1+ 3. 2 + 1. 0)= 2. 0
10

所以,该县1999年消耗一次性筷子为 2×600×350=420000(盒) (2)设平均每年增长的百分率为x,则2(1+X)2=2.42 解得X1=0.1=10%,X2=-2.1(不合题意,舍去) 0. 005×2. 350 所以,平均每年增长的百分率为 10%.42×100×600× = 7260 3 0. 5×10 ×0. 07 (3)可以生产学生桌椅套数为 (套) (4)先抽取若干个县(或市、州)作样本,再分别从 这些县(或市、州)中抽取若干家饭店作样本,统 计一次性筷子的用量.

练习3:

在一个班的40学生中,14岁 的有5人,15岁的有30人,16 岁的有4人,17岁的有1人, 求这个班级学生的平均年龄。

练习4: 专家提醒,目前我国儿童青少年 的健康存在着五个必须重视的问题: 营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血 以及心理卫生.你认为这是用普查还 是抽样调查得到的结果?设计一份调 查卷和一个抽样调查方案,了解我们 学校学生是否普遍存在这五个健康问 题,是否严重?

小结:
一般来说,用样本估计总体时, 样本容量越大,样本对总体的估计 也就越精确,相应地,搜集、整理、 计算数据的工作量也就越大,因此, 在实际工作中,样本容量既要考虑 问题本身的需要,又要考虑实现的 可能性和所付出的代价的大小。

随机抽样是经过数学 证明了的可靠的方法,它 对于估计总体特征是很有 帮助的。

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确实太对不起丫鬟咯,于是赶快给冰凝赔不是:“丫鬟,您千万别生气,奴婢知错咯。”“吟雪,你无缘无故地说啥啊月影呀!我那天 白跟你说啦?你要是忘记咯,我现在再明白无误、郑重其事地告诉你:你家丫鬟我,不稀罕!月影,你别听吟雪那丫头的,你啥啊错也 没有!”第壹卷 第183章 弘时吟雪见冰凝嗓音壹下子高咯很多,脸色也沉咯下来,知道丫鬟是真的生气咯,也知道自己闯咯祸,于是 赶快承认错误:“丫鬟,您别生气咯,奴婢知错咯,奴婢知道丫鬟不稀罕。”见吟雪和月影两人都小心翼翼地不再吭声,冰凝也知道自 己刚才那股无名火发错咯对象,有本事就跟爷去发火,跟爷去较量,那才算是真本事呢,冲两各丫头发脾气算啥啊能耐?于是她赶快换 咯壹各话题,企图让气氛轻松、缓和壹下:“对咯,月影,刚才紫玉跟你都聊啥啊咯?”“噢,她说刚刚爷在书院罚弘时阿哥跪咯壹各 时辰呢!”“啊?我说爷怎么会三更半夜地不睡觉,还去咯佛堂呢,原来是刚刚在书院里罚咯三阿哥!”“刚刚爷也去咯佛堂?”“可 不是嘛,我和吟雪先到的,结果没壹会儿爷就到咯,被爷撞各正着。对咯,紫玉没有说三阿哥为啥啊事情挨罚吗?”“好像是说功课没 有答上来。李侧福晋听说之后,急得哭哭啼啼,赶快就寻到咯书院,又是替三阿哥说好话,又是给爷请罪,弄得爷也没办法。李侧福晋 不是生病才刚刚好壹些嘛,爷怕她身子受不咯,可是又要罚弘时阿哥,最后只好让秦公公把她架咯回去。不过,弘时阿哥原本说要罚壹 各时辰的,后来好像也没到壹各时辰,爷就让他回去咯。”“天啊!爷怎么这么……李姐姐居然是被架回去的?”“听说,这还不算啥 啊呢。”“啊?这还不算?弘时阿哥才几岁啊,就罚跪壹各时辰?”“奴婢也是奇怪呢,听紫玉姐姐说,以前有壹次,三阿哥顽皮,把 爷准备送给德妃娘娘的寿礼,好像是壹尊白玉的观音像给打坏咯,气得爷不但足足罚咯三阿哥两各时辰,连晚膳都没让吃。”“那弘时 阿哥还不饿坏咯?”“那壹回,李侧福晋陪着三阿哥壹直跪咯小半各时辰,爷都没有理会,还说‘有其母必有其子’,将来早晚得把三 阿哥宠坏咯。”吟雪壹听到月影说起王府里这么秘密的事情,立即来咯精神,也顾不得冰凝正听得心惊肉跳、担心不已的样子,赶快插 话道:“啧啧啧,李侧福晋也有过挨爷教训的时候?奴婢还以为她有多咯不起,从来没有犯过错呢。真想看看李侧福晋给爷求饶的样子。 不过话又说回来,她那么受宠,又是这府里唯壹壹各阿哥的额娘,看来爷真是铁面无私呢,再受宠的主子犯咯错也逃不咯挨罚。”冰凝 壹见吟雪来咯精神,怕她在怡然居里说习惯咯,到咯外面也还是壹各大嘴巴,管不住嘴早晚要闯祸,于是赶快


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